打麻將的數學冷知識(一):在拿牌階段最能合作作弊的,是對家

打麻將的數學冷知識(一):在拿牌階段最能合作作弊的,是對家
圖片來源:電影劇照

我們想讓你知道的是

今天就來聊聊一個歷時百餘年的古老桌遊:「麻將」。閱讀本文之前,讀者須對麻將的基本規則有初步的了解,至少了解一些專有名詞:胡、吃、碰、聽等等。接下來,我們將從數學的角度,來探討一些麻將中的冷知識。

文:郭君逸(國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家)

歷久不衰的桌遊——麻將

這幾年來,桌上遊戲的產量驚人,各地桌遊店林立,深受各年齡層的喜愛,每個月都有許多新桌遊被開發出來。在這之中比較受歡迎的桌遊,往往都有個特性,就是「運氣+鬥智」。一個桌遊,若完全沒有運氣,玩的人就會很少,例如:「」。因為,懂得方法的人就一定贏,這樣誰想玩?但若完全靠運氣的桌遊,玩的人也一定不多,因為沒有策略運用的空間。因此,受歡迎的桌遊,通常都運氣與鬥智各半,運氣的部份大多都是要抽牌、丟骰子;鬥智方面就是要做一些計算、優化,讓自己提高勝算。

今天就來聊聊一個歷時百餘年的古老桌遊:「麻將」。閱讀本文之前,讀者須對麻將的基本規則有初步的了解,至少了解一些專有名詞:胡、吃、碰、聽等等。接下來,我們將從數學的角度,來探討一些麻將中的冷知識。

骰位

打麻將每雀(將)開始前,要先抽牌(一般用東西南北四張牌)決定座位,稱為「骰位或抓位」。由於規則中的吃牌只能吃上家丟出的牌,加上每個牌手打牌的風格不一,因此上下家的關係就頗為重要。

比如說,如果婆婆坐在妳的上家,那妳講話就要特別小心一點,否則她會一直餵到妳叫嫑嫑的,千萬不要以為婆婆老人痴呆了。

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圖片來源:電影劇照

一雀結束後,為了避免四家牌手的座位關係和上一雀相同,當骰到與上一雀座位關係不變時,有重新骰位的規定。

那請問重骰的機率有多高呢?

學過高中數學環狀排列單元的話,你知道四人的環狀排列只有3!=6種情況,每種發生的機率相同,所以重骰的機率是1/6。

如果你已經把排列組合還給高中數學老師,參考一下這個直觀的算法。自己的上家和前一雀一樣的機率為1/3,下家又一樣的機率剩1/2,一旦上下家都決定,對家只剩一人沒得選也就固定了,因此,重骰機率1/3 x 1/2也是1/6。

我猜你應該也有一種牌友,輸了很愛「牽拖」上家,經常牌桌上會有類似對話出現:

「婆婆~妳這是盯我啊!」

「運氣已經很差了還坐在雀壇影印機的下家!」

為了避免有人輸了「牽拖」,建議大家可以直接約好打六雀,把六種座位組合都輪一次,均衡一下上下家關係造成的影響。換位的作法其實很常見,你看籃球、排球、足球、羽球……也都是要換場,確保場地因素的公平性。

抓牌

每一風有四個莊,每人輪流當莊家,每一局開始前,會由莊家丟三顆骰子(一般六面那種),依照三顆骰子總和,決定從哪裡開始抓牌。規則是先看要拿誰的門前牌(逆時針方式數),再看從哪裡開始拿(順時針方式數)。例如14就是從莊家上家(由莊家開始逆時針數到14會數到上家)的門前牌,留下14組,從第15組開始依序抓牌。

在這種規則下,每次從哪裡開始抓牌的機率會一樣嗎?

我們先計算骰出3~18每種點數的機率:

點數 骰到誰 出現次數 出現機率
3 1 1/216=0.46296%
4 3 1/72=1.38889%
5 6 1/36=2.77778%
6 10 5/108=4.62963%
7 15 5/72=6.94444%
8 21 7/72=9.72222%
9 25 25/216=11.57407%
10 27 1/8=12.5%
11 27 1/8=12.5%
12 25 25/216=11.57407%
13 21 7/72=9.72222%
14 15 5/72=6.94444%
15 10 5/108=4.62963%
16 6 1/36=2.77778%
17 3 1/72=1.38889%
18 1 1/216=0.46296%
總計 216 100%

接下來,

統計表 骰到誰開始 次數 機率
除以四餘1 55 25.46%
除以四餘2 莊的下家 53 24.54%
除以四餘3 莊的對家 53 24.54%
除以四餘4 莊的上家 55 25.46%

由上表可知,莊家骰到的起始抓牌處之機率並不相等,骰到自己與上家的機率大了一點點。

再細分下去,每張牌在抓牌階段,被不同家拿到的機率也不盡相同。請參照下面的示意圖(這是筆者從excel直接拷過來的,原諒我沒有把所有的字轉正)。洗完牌後,每個人前面會砌18落牌,從莊家前,由右而左開始編號,依拿牌方向(順時針)編號1至72落牌,然後把骰到3點、4點……到18點,各種拿牌的情形,每張牌被每一玩家拿到的次數加起來,就是下表。

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圖片來源:作者提供

舉例來說,莊家最右手邊的一落牌(如上圖圈起來的地方),不管骰多少,在抓牌階段,只會被莊家自己或其對家拿到,機率分別是55/216與50/216,一定不會被左右兩家拿到。因此,在拿牌階段最能合作作弊的,是對家。利用簡單的堆牌合作,雙方就能夠掌握一手好牌。

比如說莊家洗牌時,把一堆萬子,放在編號1、5、9、10、14、18的地方,然後對家也把萬子放在編號39、43、44、47、48、52的地方,則抓完牌後,兩家拿到萬子數量將會大大增加,另外兩家拿到萬子的機會就會下降。這是機率大小和期望值發揮作用的地方。當然,如果遇上真正的老千,藉由精準操控骰子,基本上要從哪裡開始拿已經被完全掌握住了。

這裡以台灣牌(16張麻將)為例,香港牌(13張麻將)也是差不多;若是打台灣南部牌(不玩花牌)的話,每個人只砌17落,也是會有類似的情況。如果打的是美國牌,那就不好說了,因為莊家有權要求再換三張。

總之,一坐上牌桌第一件事,要先問清楚打的是什麼牌。打麻將的學問還真不少,光是骰位和拿牌就藏了許多眉角,遑論實戰中出入每張牌所涉及的優化策略之複雜。

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圖片來源:電影劇照
手裡拿到上面17張牌,自摸了嗎?

打麻將的數學冷知識(二):如何一眼就知道胡牌了沒

本文經UniMath授權轉載,原文刊載於此

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:潘柏翰