打麻將的數學冷知識(二):如何一眼就知食胡未

打麻將的數學冷知識(二):如何一眼就知食胡未
圖片來源:電影劇照

我們想讓你知道的是

要判斷聽牌,得先知道胡牌的牌型,如同要準備晚餐的食材之前,得先知道晚餐想吃什麼。

文:郭君逸(國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家)

打麻將的數學冷知識(一):攞牌時最能合作「作弊」的,是對家

麻將胡牌的演算法

一個人會不會打麻將有一項基本的判斷方法,「能夠判斷是否胡牌」。在實戰中,判斷的速度越快越好,如此才能在取捨牌的時候,很快的知道打哪張牌聽的牌比較好,也不會因為停下來比畫思考,被看穿手裡擁有的牌型。

要知道聽什麼牌,最快的方式是背起來。常打麻將的人,腦中自然背了不少牌型,常見牌型瞬間就能判斷,除非拿了許多同花色的牌才會造成困擾。

電腦程式如何判斷聽牌?

要判斷聽牌,得先知道胡牌的牌型,如同要準備晚餐的食材之前,得先知道晚餐想吃什麼。

一般都是刪除「一刻(3張相同牌)」或「一順(3張連續牌)」,也就是所謂的「搭子」,再利用「遞迴」程序處理。這樣做的效率並不太優,雖然判斷一副牌還是瞬間完成,但若要判斷十萬副牌局,效率好壞造成的影響非常之大。

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圖片來源:作者提供

2017年,威廉斯堡大學數學系的李志光教授等人,發表了一項麻將研究,論文中提出了一套高效率的判斷胡牌演算法。以下版本由筆者修改呈現。

定理1

一副牌P,若把一個對子(俗稱眼睛)拿掉後,假設此時數字最小的牌是x,

  • 若x的張數是3張以上,則拿掉3張x(一刻)後,剩下牌為Q。
  • 否則拿掉x, x+1, x+2(一順)之後,剩下的牌為Q。(若無法拿,則P沒胡)

則「P胡」若且唯若「Q胡」。

舉個例子說明:

例1:判斷P = 33345678是否胡牌?

P中唯一能當眼睛的地方,就是3,因此把33一對眼睛拿掉,變成Q=345678,Q是胡牌型,所以P也是。

例2:判斷P = 55666777889是否胡牌?

其中55、66、77、88都可以當眼睛,每種情況都試一次。

  • 若55當眼,剩下666777889;最小的6有三張,直接拿掉666,剩777889,再拿777,得889,所以沒胡。
  • 若66當眼,剩下556777889;最小的是兩張5,但沒有辦法拿掉兩個567了,所以沒胡。
  • 若77當眼,剩下556667889;最小的是兩張5,但沒有辦法拿掉兩個567了,所以沒胡。

各種能拿掉眼睛的方式都試過,都無法胡,所以P不是胡牌型。

這樣做的好處,是只要拿掉一副牌的眼睛後,就可以一路由最小的牌取到最大的牌,依序檢驗,「線性時間」即可判斷是否胡牌,避免來來去去的反覆嘗試,省下非常多的計算時間。

已經學會胡牌型之後,判斷聽牌就簡單了。

只要試著加入任何一張牌,再嘗試拿掉各種可能的眼睛,利用定理1判斷是否可以胡牌,即可得知聽哪些牌,僅需要O(n3)的時間。

例3:判斷3456667888聽什麼牌?

  • 加入1,剩13開頭,沒胡
  • 加入2

拿掉66,剩234567888,胡!
拿掉88,剩234566678,沒胡

  • 加入3

拿掉33,剩456667888,沒胡
拿掉66或88,剩334開頭,沒胡

  • 加入4

拿掉44,剩35開頭,沒胡
拿掉66或88,剩3445開頭,沒胡

  • 加入5,略,胡
  • 加入6,略,胡
  • 加入7,略,胡
  • 加入8,略,胡
  • 加入9,略,胡

上述方法雖然是電腦的判斷方式,但其實人腦判斷,也是相同道理,先把可能的眼睛拿出來,然後最小牌能拿走一刻即拿走一刻,否則試著拿走一順,由於人腦很強大,會自動省略一些無關緊要的判斷步驟,因此執行速度並不會太慢。

奴役電腦幫你辦事

有了快速判斷聽牌、胡牌的方法後,就可以開開心心奴役電腦幫我們做一些血汗計算了。

李志希教授的電腦幫忙跑了所有的情況,發現十三張麻將除了「國士無雙」(俗稱十三么)可以聽十三張牌之外,聽九個洞的情況只有一種:1112345678999,俗稱「九連寶燈」。而聽八個洞的情況有16種;聽七個洞的情況有79種。

筆者自己也計算了台灣麻將十六張的情況:聽九個洞的情況有11種,有1122233345678999、1112345667788999、1112345666777888、1112345566778999、1112344556678999,或是上述平移、對稱的牌型。聽八洞的情況有94種;聽七個洞的則有532種。

眼睛的判斷

李教授的方法告訴我們判斷胡牌與否,先找出眼睛會比較快。一旦眼睛的選擇多,事情就變得越複雜,電腦當然沒問題,但人腦判斷可能稍微慢了一點。此時,數學可以派上用場。

方法是這樣的,先只看同個花色,把所有的牌分成3堆:「一四七」堆,「二五八」堆,「三六九」堆,接著觀察每堆的張數。

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圖片來源:作者提供

例如上面的牌型,其中三六九牌共7張,二五八牌共6張,一四七牌共4張。

這樣一眼就知道沒有胡牌,完全不用去試。

什麼!?為什麼可以這麼快?因為我有獨門秘技。

獨門秘技

若要胡牌的話,要抓成三個三個一組的搭子再搭配一對眼睛,搭子若是「順」,貢獻這三堆的個數必同時都加1;搭子若是「刻」,則某一堆會加3。

因此,若先不看眼睛,這三堆的牌數除以3的餘數應該要相等。再加上眼睛,就只會讓某一堆個數與其他兩堆不同。

以上例來說,三堆的張數分別為7、6、4張,除以3的餘數為1、0、1,於是,眼睛只有可能出現在第二堆,也就是二五八。若55拿掉,前半的33344無法湊成兩搭,因此沒胡;若88拿掉,依定理1,333也可以拿掉,剩下的局部44556也無法湊成兩搭,所以也無法胡牌。

我們再將這個結果寫成定理(沒辦法,數學家就是喜歡這樣XD)

定理2

一副牌,依一四七、二五八、三六九分成三堆,每堆的張數除以三的餘數必有一個與另兩個不同,則眼睛就在不同的那堆裡。

回到古天樂手上拿的牌型來說:23333444455556666是否胡牌呢?

因為一四七有4張,二五八有5張,三六九有8張,除以3分別餘1、2、2,所以眼睛只可能是44,接著把44拿掉,剩下 233334455556666,然後利用定理1依序去拿,得到234、333、456、555、666,所以是胡牌型。

有了定理2,判斷胡牌時眼睛的可能性,可縮減到一堆,檢驗至多三次,大幅提升計算效率。

當整副牌同時有萬、筒、條、字的時候,因為眼睛只會在其中一種花色,因此其它花色一定都是3的倍數,利用張數就可以推判眼睛在哪個花色,所以只要能判斷其中一種花色即可。


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5G帶來的低延遲、高頻寬與多連結等特性,在產業上也創造出更多場景應用。但在打造場景背後,存在著不少需要被突破的技術與人才需求,此時,產學合作就成了重要關鍵,由產業出題,讓學生們得以在求學時期就先學以致用,才能快速掌握5G未來的致勝關鍵。

隨著基礎建設的逐步完備,5G頓時成了推動各式產業向前躍進的大浪,即便各式場景都將因5G而進入下一章,但也考驗著當前掌舵手從技術到場域整合的實力,這艘船應該怎麼順著5G浪潮航行,更凸顯產業對「有能力駕馭5G場景應用」人才的渴求。

對此,經濟部工業局也超前部署,為解決未來5G產業人才缺口,推動「5G+產業新星揚帆啟航計畫」,藉由企業對市場敏銳的嗅覺進行出題,攜手學子的創新與創意,以產學合作的方式讓人才有機會搶先跨入實戰場域,不只是學以致用,更能為研究計畫或職涯規劃帶入全新觀點。

今年,有不少加入「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的實驗室與學生,透過計畫豐富的資源,在各自研究的領域上有了全新體驗。「5G+產業新星揚帆啟航計畫」經過密集聯繫了解後,找出三所各有特色的學校教授,作為本次訪談對象,其中包括:推動跨域人才的國立臺灣科技大學主任秘書暨電子工程系呂政修教授和科技管理所黃振皓助理教授;國立成功大學工程科學系綠能元件實驗室張御琦教授;以及專攻天線應用領域的國立高雄科技大學電訊工程系所天線及微波工程實驗室陸瑞漢教授。

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從推薦學生加入「5G+產業新星揚帆啟航計畫」後,教授們觀察到學生有什麼樣的改變?以及如何以傳道授業解惑的角度帶領同學成長?以下是本次《關鍵評論網》直擊各實驗室教授們對於5G全新世代的見解,也帶大家了解產官學如何方向一致的航行在5G大浪上,發現市場與需求的新契機。

鼓勵學生參與計畫,發揮創意接招產業出題挑戰

Q1:您對於經濟部工業局推動「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的看法及觀察為何?

國立臺灣科技大學(以下簡稱臺科大)呂政修教授:這就像「試婚」過程。產業始終在面臨人才荒,若能藉由產學合作會是個好的開始,透過企業出題,尋求學界支援,讓業界培養未來所需人才,同時學生也能在步入職場前了解市場上正面對的挑戰及自我欠缺的技能,加速未來5G產業的落地應用,特別是也有機會培育出跨域人才,讓5G發展更加多元。

國立成功大學(以下簡稱成大)張御琦教授:我認為這是一個很棒的計畫。我們的學生在台郡科技股份有限公司業師的帶領下,發揮自己課堂所學,捲起袖子動手解決產業提出的挑戰,對技術落地、成本考量以及跨部門溝通都有大幅度進步,這是課本無法提供的寶貴經驗,並且產學合作的計畫中,讓學生能更快了解他們的所學究竟在解決未來5G產業的哪些問題,相當有意義。

國立高雄科技大學(以下簡稱高科大)陸瑞漢教授:就我觀察,這樣的計畫能發揮兩個不同價值,其一是率先掌握產業需要的技術研發、其二則是培育產業人才庫。我一直很鼓勵學生在能力可及下多參與這樣的計畫,目的是希望藉由產業合作過程中,減少產學之間的落差,特別是5G產業發展日新月異,需要更有韌性的學習態度才能因應未來各種挑戰。

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左起為:獵戶科技股份有限公司柯承佑執行長、國立臺灣科技大學主任秘書暨電子工程系呂政修教授、國立臺灣科技大學科技管理所黃振皓助理教授。

Q2:「5G+產業新星揚帆啟航計畫」對未來產業將帶來哪些潛在的影響?

臺科大呂政修教授:5G產業的應用已不再是單一領域,需要集結跨域人才一同找出解方。當獵戶科技股份有限公司願意任用非本科系的研習生時,我想就已成功一半。因為產業需要整合有技術、創意與場域應用等各式人才,透過計畫讓學生能學到跨域知識,同時創造彼此的溝通機會,對未來推動5G產業發展將能激盪出更有創意的火花。

成大張御琦教授:產學合作是串起業界跟學界的橋樑。學生目前所面臨到的產業題目,多半都還是跟製程有關,但當全球都在倡議淨零碳排的此刻,實驗室所賦予他們的能力或許在不久的將來有機會導入到產業中,可以說在計畫的推動下,開始讓學生學習多元思考,從不同角度看問題,就能為產業未來的發展注入一股創意活水,創造產業與學界互利、共創價值的生態。

高科大陸瑞漢教授:我們所投入的產業比較專一,就是以天線技術為本位,相比其他應用領域可能需要的跨域人才,這塊所追求的反而是,在本職學能上的實際場域該如何落地應用。因此,在計畫的推動下,我相信能讓學生們更早了解在整個5G產業鏈中,筆電、移動裝置、電動車等不同應用上,天線的設計該如何發揮最佳效益,以求為產業未來發展取得最佳利基點。

陸瑞漢教授

Photo Credit:陸瑞漢教授提供

國立高雄科技大學電訊工程系所天線及微波工程實驗室陸瑞漢教授,分享產業與學界應如何互助合作,開創更多產業發展新機會。

企業靠計畫超前部署,培育5G場域人才應戰

Q3:您認為「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的產學合作能如何紓解求才若渴的現象?

臺科大呂政修教授:我們希望能「以戰養才」,而這項計畫相比單點式的競賽而言,更具全面性及前瞻性。透過企業出題讓學生能將實驗室及課堂所學與實務結合,在了解產業問題之前也能洞察自己本職學能的不足,進而誘發學生主動求知的慾望,想必對未來5G產業的人才培育上將有長足的助益。

成大張御琦教授:我們有不少博士生加入這項計畫。過去社會整體氛圍一直對博士生有偏見、認為他們多以學術研究為主要任務,在實務經驗上相對缺乏,但我認為博士生的技術養成是條漫漫長路,同時也為培育未來人才帶來機會:產業能善用博士生的獨立思考和解決問題的能力訓練他們在本職學能上的深化,同時在實驗室研究計畫的時間管理上,也能發揮統御能力,例如掌握好碩士班學弟妹的研究進度,為未來成為管理職做準備,透過計畫是博士生領導力培養的最佳練兵場。

高科大陸瑞漢教授:我們已經與川升股份有限公司簽訂MOU,可以見得產業相當積極希望透過產學合作育才、留才。我也告訴實驗室的學生們,市場上不只有一個護國神山,其實還有許多領域值得去關注,並發揮解決問題的能力,所以我不認為市場上真的存在人才荒,反倒是企業應挹注資源與學界合作,儘早培育產業需要的人才技能;而學生也該透過這樣的訓練,找出自己的興趣,提早對未來職涯作出規劃,深度挖掘自己的潛能。

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Photo Credit:TNL Brand Studio
國立成功大學綠能元件實驗室的同學們一同參與本次訪談,分享自身參與學習經驗。

Q4:您如何看待「5G+產業新星揚帆啟航計畫」中,教授與學生其角色扮演的重要性?

臺科大黃振皓教授:學生比我們都還要積極爭取這項計畫的實習機會。對我們來說,學生在其中得到的不只是與業界溝通的能力,也能將經驗帶入研究計畫,並傳承給學弟妹為學習帶來更正向的影響;而作為教授,則是盡量讓學生自由發揮,確保學生在加入計畫後能獲得有系統的訓練,而這項計畫也確實為學生規劃了非常紮實的內容,這也是為什麼我會支持學生持續參與。

成大張御琦教授:技職體系的學生有比較多銜接產業的技能,我認為高教體系的教授應該要站在「鼓勵」的角度出發,讓學生能多參與這類讓學生可近距離接觸產業的計畫,提早培養跨域的技能與接觸相關環境,唯有教授願意放手讓學生嘗試,學生才會在求學過程中找出自己的興趣並學以致用,5G產業的多元性也才能遍地開花。

高科大陸瑞漢教授:身為教授非常贊成學生投入產學合作,但我認為參與計畫不應因噎廢食,反而要懂得學習時間分配,實驗室的計畫、論文的研究及實習的案子,都能帶來不同的學習與腦力激盪,不只是本職學能更是職場態度的磨練,每個角色對學生都充滿挑戰,能為實驗室裡注入活力,學生更應該要感激政府這類的人才培育計畫帶來的學習機會。

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國立成功大學工程科學系綠能元件實驗室張御琦教授與參與「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的實驗室學生。

計畫持續進行,助5G產業揚帆升級

面對學生加入這項「5G+產業新星揚帆啟航計畫」,教授們不約而同地認為從個人到實驗室,學生們都像是脫胎換骨般帶來了全新活力,對於知識的渴求也比過往更加積極,並且讓學弟妹們看見參與計畫帶來的前後改變。正因5G列車已經開始啟動,臺灣作為全球產業鏈中的要角,接棒人才更應持續強化技術量能保有即戰力、並更接地氣,而透過未見歇止的計畫推動,在這個趨勢浪潮上縱使產業發展仍充滿挑戰,但能攜手產官學各方力量,在不同場域中持續磨刀練兵,依舊能為下個新世代在5G產業裡找到自己發揮的舞台與新天地。

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