數學家阿蒂亞演講中稱已證明「黎曼猜想」 論文未經同行審查

數學家阿蒂亞演講中稱已證明「黎曼猜想」 論文未經同行審查
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曾獲菲爾茲獎和阿貝爾獎的數學家阿蒂亞,在演講中宣稱自己證明了黎曼猜想,然而他的證明細節似乎來自另一篇未正式發表的論文。

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上星期傳出數學家阿蒂亞(Michael Atiyah)會於今日海德堡桂冠論壇(Heidelberg Laureate Forum)的演講中宣布證明「黎曼猜想」(The Riemann Hypothesis)的消息,令不少人關注這場演講。

日前網絡上亦流傳據說是阿蒂亞證明黎曼猜想的手稿,全文只有5頁,內容跟他的演講相符。證明中引用了他另一篇以〈精細結構常數〉(The Fine-structure constant)為題的論文——而那篇論文已提交《皇家學會報告A系列》(Proceedings of the Royal Society Series A),但值得留意的是該文目前仍在審查階段,未正式刊登。(兩篇文章的連結見文末。)

論壇官網設有網上直播,但也許因為太多人連線,演講開始前一段時間網站難以連上。後來論壇的Twitter表示因為太多人連線,網站串流直播出現問題,在Twitter上同時直播阿蒂亞的演講。

阿蒂亞在演講初段主要介紹黎曼猜想的歷史,包括歐拉乘積公式(Euelr product formula),以及這個猜想成立的話會蘊涵的後果,例如描述質數分布、早已獲證明的質數定理(The Prime Number Theorem)及其誤差在「可能上最好的範圍內」的結果。

他介紹了數學家漢密頓(William Rowan Hamilton)發現的四元數(quaternions)和以數學家歐拉(Leonhard Euler)命名的「歐拉公式」eπi+1=0,然後提到馮諾曼(von Neumann)與希策布魯赫(Hirzebruch)的研究協助把歐拉公式推廣至四元數上,得出他稱為「歐拉—漢密頓公式」的結果。

阿蒂亞其後講述其證明中扮演重要地位的托特函數(Todd Function)——函數由希策布魯赫在1966年的著作中定義,以阿蒂亞的老師托特(J. A. Todd)命名——他宣稱這個函數T把「歐拉公式」映射至「歐拉—漢密頓公式」,並跟物理學中的「精細結構常數」有關。

他更指自己原本希望以托特函數解釋精細結構常數,其後才想到可用來證明黎曼猜想。利用托特函數的幾個特性,阿蒂亞以反證法完成他所宣稱的「黎曼猜想證明」——但他沒有明確解釋如何構造函數。從簡報看來,托特函數是阿蒂亞的證明能否成立的關鍵,而這似乎取決於他那篇尚未通過同行審查的〈精細結構常數〉。

由於演講超時,問答環節大幅縮短。這部分亦未有直播,僅靠在現場者——例如數學博客《The Aperiodical》及天文物理學家波素爾(Markus Pössel)‏——的Twitter文字直播,據稱阿蒂亞要求讓學生發問。

第一個問題關於證明是否成立,以及阿蒂亞能否獲得美國克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute)的百萬美元獎金。阿蒂亞表示,他認為自己的確證明了黎曼猜想,並應該獲得獎金。

第二個問題關於這個證明何時能夠給其他人檢查,阿蒂亞則表示他發現很難讓人刊出他的論文,但他樂意提供副本。他的論文似乎亦被論文預印本存庫arXiv拒絕刊登。最後一位提問者想知道,阿蒂亞對於別人不相信他能夠證明黎曼猜想有甚麼感覺,他表示希望其他人會聽他說話,並指自己的證明有新想法,別人應該嘗試看看。

《The Aperiodical》在Twitter表示,阿蒂亞提出的證明未能說服他們黎曼猜想成立︰

而波素爾指出,阿蒂亞的證明需要經過同行審查,確保每一步可靠——克雷數學研究所更要求論文在頂級期刊刊登,並在刊出兩年後獲數學界接受,才能獲得百萬美元獎金。

在有任何進展之前,單憑阿蒂亞的演講就宣稱他已證明了黎曼猜想,明顯言之過早。

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網絡流傳的兩篇論文手稿(PDF)︰