沒有人明白的數學證明能否成立?

沒有人明白的數學證明能否成立?
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我們想讓你知道的是

沒有人明白的數學證明,到底能否算作成立?這得視乎我們如何理解「數學證明」這回事。

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近來數學界有兩宗大新聞。一是曾獲數學界最高榮譽菲爾茲獎(Fields Medal)和阿貝爾獎(Abel Prize)、年屆89歲的大數學家阿蒂亞(Michael Atiyah)宣稱已解決世紀難題「黎曼猜想」(Riemann Hypothesis),並在演講中介紹自己的證明。不過數學界並不看好他的證明成立。[1]

另一則是今年剛獲得菲爾茲獎的舒爾斯(Peter Scholze)與數學家史迪思(Jakob Stix)合撰報告,指京都大學教授望月新一2012年放上網絡、以其自創數學理論證明「abc猜想」的數百頁論文中有「無法修補」的漏洞,因此猜想仍然懸而未決。[2]

不過,數學不是一門明確的學科嗎?一切內容應該寫得清楚明白,為甚麼會有「這到底算不算證明了」的爭議?沒有人能夠明白的數學證明,還算成立嗎?

這得由「甚麼是數學證明」說起。

公理系統

傳統上,數學證明是一組論證,可以使用的前提包括理應是「不證自明」、所有人都接受的公理(axiom),以及其他已被證明的數學定理,再透過邏輯推論、數學運算,最後得出想要證明的數學命題——這時候,該命題便是正式的數學定理了。

這種「公理方法」最早可追溯自古希臘數學家歐幾里德(Euclid)的經典著作《幾何原本》(Elements),他在書中列出公理和定義,然後一步一步推導出不少定理,例如著名的畢氏定理(Pythagorean theorem)。學界普遍相信歐幾里德並非獨自發現書中定理,而是整理當時已知的數學結果。

在公元前約300年寫成的《幾何原本》長時間以來是西歐國家的重要課本,書中所用的公理方法亦被視為數學證明的典範。[3] 中世紀的伊斯蘭數學家亦發展出重要的算術和代數技巧,使證明不再單靠幾何直覺。

但《幾何原本》的系統亦非完全無誤,除了證明中一些錯處外,歐幾里德有時暗中使用了一些假設而未有明確列出,例如柏齊公理(Pasch axiom)[4]或連續性公理(continuity axiom)。

既然再嚴謹的人也有可能走漏眼,以致證明的步驟之間有漏洞——而且這還是相對簡單的歐氏幾何,現代數學要複雜得多——那麼如何能夠確保證明無誤?

形式系統

到了19世紀末,數學界開始出現一場危機。樸素集合論的一些悖論——例如著名的「羅素悖論」(Russell's Paradox)——令數學家擔心數學的基礎隱含矛盾,開始研究如何為數學奠下穩固的根基。數理邏輯及集合論在這段期間發展迅速,逐漸成為數學界的主流語言。

數學家希爾伯特(David Hilbert)提倡以純符號操作的「形式系統」(formal system)重構涉及無限的數學,再用數學方式去研究這個系統的符號變化,企圖證明不會推導出代表矛盾句(例如「0=1」)的公式,從而確保數學根基穩妥。

簡單來說,一個形式系統會規定可以用的符號,這些符號組合起來就稱為「公式」,其中能夠由系統推導出來的公式就稱作「定理」。形式系統包含變換規則,會清楚列出如何把一條定理中的符號改變,從而得出另一條定理。當然,系統亦會首先「免費」提供一些定理,符合特定條件的公式可以成為「公理」(公理也是一種定理)。

形式系統是希望把數學中「由公理出發,推導出結論」的證明方法,以一種抽象方式嚴格定義,讓數學家可以用數學方法去研究數學本身。而形式系統中的證明——簡稱為「形式證明」——就是一串順序排列的公式,每一句要麼是系統中的公理,或者由較早出現的公式應用變換規則得出來。

理想和現實

回到如何確保證明無誤的問題。如果能夠把用文字及數學公式寫成的證明「翻譯」成純粹符號組成的形式證明,那麼,檢查證明是否成立的工作,便可化約為檢查公式之間的符號改變是否合乎規則——後者理應像下棋時,檢查每一步棋有否遵守規則一樣簡單。

在形式證明之中,每一步驟之間的變化減至最小,就只是按規則增加、刪除或轉換公式中的符號,這樣就能夠避免數學家一不留神在證明中犯錯——例如用上未寫清楚的假設、推導過程有誤等。嚴格來說,只要知道形式系統的規則,不懂數學的人都可以檢查證明。

理論上,形式證明可以確保嚴謹,避免推理過程有漏洞。可是在絕大多數的數學書、期刊論文上,你不會見到形式證明,數學界所使用的證明仍然以文字及數學公式為主,原因很簡單︰純粹由符號構成的形式證明並不實用,把所有細節都寫出來會令證明又長又繁瑣,令作者或讀者均不好受。

相比之下,混合文字解說與數學公式的非形式證明,在大部分情況下能夠兼顧「嚴謹」及「易讀」兩項要求(當然是否真正易讀,也得視乎作者寫作功力和讀者知識水平)。當然,那些數學證明應該能夠「翻譯」成形式證明,不過在有人(或機械)把形式證明寫出來檢驗之前,這想法仍只是個信念——雖有大量證據支持,可是兜了一大個圈,似乎還是難以確保證明絕對嚴謹無誤。

另一個定義

現實中無法使用理想的形式證明,可見數學證明應該不只是形式證明,那麼應該如何判斷證明是否成立?

我們不妨考慮數學證明實際上扮演甚麼角色。除了上文提到傳統上「由公理出發、以邏輯推導的論證」外,亦有人把「數學證明」定義為「用來說服數學界(相關領域專家)某數學命題成立的論證」[5],而判斷證明是否成立的標準,就取決於能否說服到數學界。

對於相信數學知識絕對客觀、不受人為因素影響甚至超越時空的人而言,第二個定義比較難接受——因為按照這個「社群式」定義,能夠說服數學家社群的就是成立數學證明,這似乎取決於人本身,那豈不是可能出現「過去並不接受的數學證明,未來可能視作成立」又或者「過去接受的數學證明,未來或會被推翻」等情況?

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不過想深一層,這個定義其實並沒有表面上看那麼奇怪。即使你接受「數學柏拉圖主義」——相信有一個超越時空限制的抽象數學世界,而任何數學命題是真是假取決於那個抽象世界,而非我們身處的現實世界——問題是,我們仍然身處這個世界,你如何得到那個世界的知識?如果我們要靠數學證明來確認數學命題是否成立,不論是讀到書上的證明抑或只靠腦中推演,這始終涉及現實世界。[6]

此外,以「說服數學界的論證」來定義「數學證明」,也不會令「甚麼是數學證明」的條件變得任意和主觀,因為推理是否有效、步驟合不合邏輯等問題在大部分情況下均有客觀標準(而每個數學家判斷時均會參考這些標準),引起分歧之處往往在於證明寫得不夠詳細、清晰。如果整個數學界對於「怎樣才算有效推理」「證明怎樣寫才算足夠清楚」等問題的看法有極端改變,說服數學家的過程除需要時間外,更需要有好理由——而我們應該接受,在數學問題上以整體數學界的意見為準,是最可靠的做法。[7]

其實我們也難以堅持「形式證明才是唯一絕對可靠的證明」這種立場,哥德爾不完備定理(Gödel Incompleteness Theorem)對形式系統的限制,令數學家無法靠形式系統來保證現時使用的數學理論沒有矛盾——即使我們有非常可靠的證據相信那些數學理論沒有問題。[8]

人類的數學知識

正如上文所述,數學史上也出現過「以往被普遍接受的做法,後來不為數學界接受」的情況,當數學家不斷研究下去,總有可能發現以往沒發現的漏洞、未曾考慮的假設,更別說不計其數的大意錯誤、不完整的證明了。數學知識會隨學界共識而改變,其實沒那麼奇怪。數學研究是人類活動,而人總有可能犯錯,追求絕對無誤純屬奢望,我們應該接受這個事實,同時數學仍然是人類知識當中最可靠的一環。[9]

假如望月新一的證明是個形式證明,我們或能夠說「這個證明也許成立,但我們暫時不知道」,可是它並非形式證明。現在沒有人能夠明白的數學證明,我們無法視作成立(因為它未能說服數學界),假如未來有人明白該證明,並成功向其他數學家解釋,說服他們證明正確,那時候我們才能夠說證明成立。

但我相信一定會有人問︰如果我們用電腦來協助證明、檢查證明呢?這是個有趣問題,將留待另一篇文章討論。

相關文章︰

註︰

  1. Skepticism surrounds renowned mathematician's attempted proof of 160-year-old hypothesis (Science)
  2. Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture (Quanta Magazine)
  3. 這並非指數學家都參照《幾何原本》來寫證明。以現今標準,歷史上不少數學理論其實不甚嚴謹,例如舉足輕重的數學家歐拉(Leonhard Euler)推導公式時,就用上現時不被接受的方法(但後人亦有用嚴格方式證明其公式);微積分剛出現時,數學家都使用不清晰的「無限小」,要到後來有人嚴格定義「極限」等概念,這門學科才有可靠的基礎。(而到了20世紀,包含「無限小」的數學模型同樣有嚴格基礎。)
  4. Wikipedia: Pasch's axiom
  5. 例如《Weapons of Math Destruction》作者Cathy O'Neil在2012年討論望月新一的證明時曾提到這種觀點,數學家Keith Devlin在美國數學協會的網誌上亦有提及此定義,另外亦可參考由Devlin所寫、一段討論數學證明的師生對話
  6. 如想了解數學哲學中的柏拉圖主義,可參考《史丹福哲學百科》的相關條目︰Platonism in the Philosophy of Mathematics
  7. 當然這種定義亦有難題待處理,例如人類只餘下一個數學家的話,是不是這位數學家寫的任何證明都成立?又例如一條定理在何時才算被證明?不過我沒打算在本文處理這類問題。
  8. 關於這問題,可以參考我在〈如何知道數學無矛盾?〉一文中的討論。
  9. 我認為即使柏拉圖主義者也能夠接受這個看法,因為這並不涉及數學的本質問題(我不打算處理這問題),而是跟人類如何獲得數學知識有關,當然柏拉圖主義本身在知識論方面亦有難題需要解決。

核稿編輯︰王陽翎