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沒有人明白的數學證明能否成立?

沒有人明白的數學證明能否成立?
Photo Credit: Frances Roberts / Levine Roberts Photography / Newscom / 達志影像

我們想讓你知道的是

沒有人明白的數學證明,到底能否算作成立?這得視乎我們如何理解「數學證明」這回事。

對於相信數學知識絕對客觀、不受人為因素影響甚至超越時空的人而言,第二個定義比較難接受——因為按照這個「社群式」定義,能夠說服數學家社群的就是成立數學證明,這似乎取決於人本身,那豈不是可能出現「過去並不接受的數學證明,未來可能視作成立」又或者「過去接受的數學證明,未來或會被推翻」等情況?

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Photo Credit: Vasily Fedosenko / REUTERS / 達志影像

不過想深一層,這個定義其實並沒有表面上看那麼奇怪。即使你接受「數學柏拉圖主義」——相信有一個超越時空限制的抽象數學世界,而任何數學命題是真是假取決於那個抽象世界,而非我們身處的現實世界——問題是,我們仍然身處這個世界,你如何得到那個世界的知識?如果我們要靠數學證明來確認數學命題是否成立,不論是讀到書上的證明抑或只靠腦中推演,這始終涉及現實世界。[6]

此外,以「說服數學界的論證」來定義「數學證明」,也不會令「甚麼是數學證明」的條件變得任意和主觀,因為推理是否有效、步驟合不合邏輯等問題在大部分情況下均有客觀標準(而每個數學家判斷時均會參考這些標準),引起分歧之處往往在於證明寫得不夠詳細、清晰。如果整個數學界對於「怎樣才算有效推理」「證明怎樣寫才算足夠清楚」等問題的看法有極端改變,說服數學家的過程除需要時間外,更需要有好理由——而我們應該接受,在數學問題上以整體數學界的意見為準,是最可靠的做法。[7]

其實我們也難以堅持「形式證明才是唯一絕對可靠的證明」這種立場,哥德爾不完備定理(Gödel Incompleteness Theorem)對形式系統的限制,令數學家無法靠形式系統來確保現時使用的數學理論沒有矛盾——即使我們有非常可靠的證據相信那些數學理論沒有問題。[8]

人類的數學知識

正如上文所述,數學史上也出現過「以往被普遍接受的做法,後來不為數學界接受」的情況,當數學家不斷研究下去,總有可能發現以往沒發現的漏洞、未曾考慮的假設,更別說不計其數的大意錯誤、不完整的證明了。數學知識會隨學界共識而改變,其實沒那麼奇怪。數學研究是人類活動,而人總有可能犯錯,追求絕對無誤純屬奢望,我們應該接受這個事實,同時數學仍然是人類知識當中最可靠的一環。[9]

假如望月新一的證明是個形式證明,我們或能夠說「這個證明也許成立,但我們暫時不知道」,可是它並非形式證明。現在沒有人能夠明白的數學證明,我們無法視作成立(因為它未能說服數學界),假如未來有人明白該證明,並成功向其他數學家解釋,說服他們證明正確,那時候我們才能夠說證明成立。

但我相信一定會有人問︰如果我們用電腦來協助證明、檢查證明呢?這是個有趣問題,將留待另一篇文章討論。

相關文章︰

註︰

  1. Skepticism surrounds renowned mathematician's attempted proof of 160-year-old hypothesis (Science)
  2. Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture (Quanta Magazine)
  3. 這並非指數學家都參照《幾何原本》來寫證明。以現今標準,歷史上不少數學理論其實不甚嚴謹,例如舉足輕重的數學家歐拉(Leonhard Euler)推導公式時,就用上現時不被接受的方法(但後人亦有用嚴格方式證明其公式);微積分剛出現時,數學家都使用不清晰的「無限小」,要到後來有人嚴格定義「極限」等概念,這門學科才有可靠的基礎。(而到了20世紀,包含「無限小」的數學模型同樣有嚴格基礎。)
  4. Wikipedia: Pasch's axiom
  5. 例如《Weapons of Math Destruction》作者Cathy O'Neil在2012年討論望月新一的證明時曾提到這種觀點,數學家Keith Devlin在美國數學協會的網誌上亦有提及此定義,另外亦可參考由Devlin所寫、一段討論數學證明的師生對話
  6. 如想了解數學哲學中的柏拉圖主義,可參考《史丹福哲學百科》的相關條目︰Platonism in the Philosophy of Mathematics
  7. 當然這種定義亦有難題待處理,例如人類只餘下一個數學家的話,是不是這位數學家寫的任何證明都成立?又例如一條定理在何時才算被證明?不過我沒打算在本文處理這類問題。
  8. 關於這問題,可以參考我在〈如何知道數學無矛盾?〉一文中的討論。
  9. 我認為即使柏拉圖主義者也能夠接受這個看法,因為這並不涉及數學的本質問題(我不打算處理這問題),而是跟人類如何獲得數學知識有關,當然柏拉圖主義本身在知識論方面亦有難題需要解決。

核稿編輯︰王陽翎