如何用三元一次聯立方程式，解姚文智「沉默螺旋民調再加15%」問題？

文：陳宏賓（UniMath創辦人、中興大學應用數學系助理教授）

隨著年底選舉日期逼近，各種關於民調的議題持續浮上檯面。前幾天，一則關於選舉民調的新聞吸引我的目光，標題是〈「綠營選民沉默螺旋」姚文智：我的民調應該再加15％〉。

圖片來源：電視節目<鄭知道了>截圖

「沉默螺旋」是政治學領域發展出來的詞彙，由德國政治學家伊莉莎白．諾爾－諾伊曼（Elisabeth Noelle-Neumann）於1974年提出，主要概念是，

如果人們覺得自己的觀點是公眾中的少數，將不願意說出自己的看法；反之，如果覺得自己與多數人的意見一致，則更會大聲的說出來。形成少數的聲量越來越小，多數的聲量越來越大的趨勢。

依據沉默螺旋效應理論，在進行民意調查時，民眾可能會因為覺得自己是少數，或者其他緣故，而拒絕表態支持自己心中所支持的對象。

這類情況其實並不難想像，比方說支持某台北市長參選人的粉絲專頁推出宣傳動畫稱「叮叮～叮叮～熱愛台北生活的我們，都是叮叮」，然而網路用語「丁丁」一詞暗喻「腦殘」，這則宣傳毫不意外地引來網友冷嘲熱諷。在此情況下，想像有一個工作人員拿著民意調查問卷請你填寫，你能鼓起勇氣當著工作人員的面勾選該位候選人，承認自己是個叮叮嗎？

回到姚文智的推論，在沉默螺旋效應下，民進黨支持者有15％選擇沉默，這個推論有沒有根據我們不得而知。本文想探討的是這個「姚文智難題」是不是有比較科學的方法來解決呢？

姚文智難題：

因為沉默螺旋效應的影響，民進黨支持者究竟有多少百分比（％）選擇沉默？

敏感性問題調查早有研究

在調查中拒絕表態的理由眾多，不只局限於選舉意向，還有些調查涉及個人隱私，或者非法行為，或與一般社會傳統價值觀有所衝突：性傾向、性經驗、薪水、藥物（毒品）、墮胎等等。這類敏感性問題的資料蒐集，較容易因為受訪者拒絕回答或者隱瞞事實而產生誤差。

如何解決受訪者拒絕回答或者隱瞞真相的問題？其實有個簡單的方法──解聯立方程式。

這個方法是我在今年（2018年）初一次偶然機會，從逢甲大學統計系李燊銘教授的演講中得知。敏感性問題民調是李教授的專長之一，最早起源自Stanley L. Warner 1965年的一篇論文，提出以隨機作答（Randomized Response Technique）的方法來蒐集敏感性問題的資料。就我所知，逢甲大學校園內有些涉及敏感性問題的調查（像是性傾向、藥物使用），也是採用這套設計。除此之外，選舉民調也是李教授的研究主題，有興趣的讀者可以參考他和中研院三位研究員謝淑惠、杜素豪、王千文合作發表的研究論文：台灣2012年總統選舉隨機作答模式調查探討。

以2087年天線市長選舉的3組候選人丁丁、顆顆、遙遙為例，傳統民調問卷會直接向受訪者提問：

天線市長選舉的3位候選人中，請問您支持哪一位？

1. 丁丁
2. 顆顆
3. 遙遙
4. 尚未決定

有些受訪者的支持意向實際上已定，但因某種緣故不願表態，可能直接拒絕回答問題或改選（4）隱瞞真相。

為了改善這種情況，我們可以將問題設計成以下形式：

請問天線市長選舉的3位候選人中，您支持哪一位？

請不用告訴我是誰，只需要依據下表對照您的生日月份回答是A、B或者C即可。由於您回答的是「Ａ、Ｂ、Ｃ」，每位候選人都有可能，因此我們完全不會知道您真正支持哪一位候選人，請放心回答。

圖片來源：作者提供

運用這種形式的問卷進行調查，可以達到在不知道每一個人的支持意向下，卻知道整體對每位候選人的支持率之目的。接下來將要採用的數學分析方法，建立在一個重要的前提之上──假設受訪者生日月份的分配和他支持意向無關。

在此，無關的意思有兩個層面：

1. 是說在丁丁的支持群眾中，不會有某一些月份生日的人特別支持他，同理，顆顆和遙遙的支持者也是
2. 在8月份生日的受訪者中，其對每位候選人的支持率分配應大致和全體的支持率分配相同，同理，其他月份也必須遵守這個前提

令「丁」、「顆」、「遙」3個未知數，分別代表3位候選人在此次調查中的得票數。根據（1）和（2），我們可以推估受訪者中：

支持丁丁且是1－2月份出生的人，佔了丁丁所有支持者中的2/12，

支持丁丁且是3－6月份出生的人，佔了丁丁所有支持者中的4/12，

支持丁丁且是7－12月份出生的人，佔了丁丁所有支持者中的6/12。

同理，顆顆和遙遙的部分也能夠估計出來，如下表所示。

圖片來源：作者提供

舉例來說，如果收回來的有效問卷數量為1215份，有375個A，465個B，375個C。則我們可以根據上方表格，列出下面3條方程式：

圖片來源：作者提供

又是大家非常熟悉的解三元一次聯立方程組，今年6月《菜市場政治學》網站王宏恩教授的一篇文章＜如何估計手機族對民意調查的影響？解三元一次聯立方程式＞也用了同樣招式。不管是運用簡單代入消去法，或者加減消去法，很快就能夠解出方程組的解：

丁=405；顆=585；遙=225，除以總數1215即可算出3人的民調支持度大約是33.3％支持丁丁，48.1％支持顆顆，18.6％支持遙遙。（以上數據純屬虛構，如有雷同實屬巧合）

「受訪者的生日月份」可否換成別的？

「受訪者的生日月份」可否換成別的？當然可以。理論上，只要能夠知道該項隨機變數對於候選人支持率的分配就可以了，也就是表格中所假設的這些比值2/12，4/12，6/12要能夠盡量準確估計。

例如，換成「讓受訪者自行投擲一顆骰子」，3項目分別對應到（點數1，點數2或3，點數4或5或6），如此一來，

支持丁丁的受訪者們且投擲點數為1，佔所有支持丁丁的受訪者的1/6，

支持丁丁的受訪者們且投擲點數為2或3，佔所有支持丁丁的受訪者的2/6，

支持丁丁的受訪者們且投擲點數為4或5或6，佔所有支持丁丁的受訪者的3/6。

同理可知其他2位候選人的情況類似。此處1/6，2/6，3/6也並非一定如此不可，也能使用其他數字比例，中學數學觀念沒有還給數學老師的話，我們知道只要避免3個方程式線性相依，就會有唯一解。

用科學方法解決姚文智難題

值得一提的是，上述的方法我簡化了很多細節問題，只為了呈現解決敏感性民調問題的關鍵數學原理，竟然是國中算到爛掉的解聯立方程組。實際上，真正要操作尚需要專業的統計方法去執行，並非如我寫的這樣簡單。例如，隨機變數在各方面的比例如何選取也可能會影響整體估計的準確度、要收集多少份資料才能讓生日在每個月份的分布接近1/12等等。這些過程中的細節都可能會產生誤差，需要專業的統計方法去執行和評估。

綜合以上，姚文智若要解決選舉民調的沉默螺旋效應，建議可委任統計調查專業人士，採用這套專門對付敏感性問題民調的方法，說不定民調結果不只加15％，甚至可能再加50％。總而言之，閃開，讓專業的來。This is science！

後記閒談

今年首次舉辦的UniMath聚會中，我和幾位喜愛數學寫作的好友提起這個解決敏感性問題民調的方法，會後得到不少回饋，教師國數館館長莊惟棟老師更是神速分享這套方法在班級經營和魔術表演的應用，滿腦子靈活創意，隨時能將新接觸的知識，通化融入自己的專業領域中。