日本寺廟的幾何難題

日本寺廟的幾何難題
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我們想讓你知道的是

日本佛教與神道教追求神聖的美感,與幾何學不謀而合,於是漸漸有日本人把幾何學問題畫上繪馬上,把它獻給神明,這種寫上數學題目的繪馬叫做「算額」。

前陣子去日本旅行,認識了不少有趣的日本文化。相信大家都參觀過日本的寺廟,也見過祈福用的繪馬。原來在江戶時期,日本人曾經透過繪馬分享數學知識,並在寺廟中發展中一套特有的幾何學。

話說日本在16世紀,葡萄牙商船首次來到日本,日本人也開始接觸到西方文化。歐洲人除了把宗教、技術、文化傳到日本,也把幾何知識帶到了日本。歐氏幾何充滿美感,令到美學情有獨鍾的日本人也愛上了它。不過,德川幕府害怕西方文化影響自己的統治,於是在1639年宣佈鎖國,日本自始與西方文化接近完全隔絕。但幾何學的種子已經埋藏了在日本人的血液中,一發不可收拾。

日本人在沒有西方微積分、坐標幾何的知識下,發展出一套自己特色的幾何知識。雖然缺乏最先進的數學工具,他們依然可以用自己的方式處理複雜的數學問題。日本佛教與神道教追求神聖的美感,與幾何學不謀而合,於是漸漸有日本人把幾何學問題畫上繪馬,把它獻給神明,感謝神佛的恩賜。這種寫上數學題目的繪馬叫做「算額」。寺廟及神社成了當時人們交流數學的場地。把數學題目寫上算額放在寺廟及神社,就是當時數學家公開自己研究的途徑。

大致上,一塊算額有一至十道幾何問題。一般來說,算額包括了一幅彩色的幾何圖案,接下來就是題目、答案、解法、出題者的流派與老師。

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在名古屋市熱田神宮的算額。
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在名古屋市熱田神宮的算額。

這些日本寺廟幾何題目似乎有幾個特徵。首先,它們的圖案都非常具美術感,可以見到當年日本人研究數學時,亦很在乎美學的元素。另外,有別於西方的幾何在乎證明,日本的幾何更著重於計算,例如求邊長、圓形半徑、圖形周界、面積等,而且他們似乎對內接與外接的概念情有獨鍾,有很大部分的日本寺廟幾何題目都牽涉到一個圖形外接或者內接於另一個圖形。

日本寺廟幾何題目範圍很廣泛,牽涉到三角形、正方形、圓形,甚至是橢圓形。西方傳統的歐氏幾何學對橢圓形的興趣並不大,日本和算卻花了不少精力在橢圓形的研究上。日本寺廟幾何題目有易有難,有的即使初中生也可以輕易解決,有的即使受過高等的數學訓練都會想到頭昏腦脹。

讓我們看幾道典型的而且比較簡單日本寺廟幾何題目:

下圖為一直角三角形ABC,及一條由A到BC的頂垂線(altitude),四個全等的圓形如圖般內接於三角形,求BC:AC。

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右手邊是日本的原題目(來源:] Okayu (御粥安本) ed., Honocho Sekisensei Sandai Kujo (奉納箸隻先生算題九条), 1855, Tohoku University Digital Collection,)

下圖有為三個有共同切線的圓形,它們彼此互相外切。設C1、C2、C3的半徑分別是r1、r2、r3,求r3。

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之後再來幾道很具美術感的題目,這些題目雖然很美,但難度就真的是不容小覷:

下圖中有一等邊三角形,三個全等的綠色圓形、四個全等的紅色圓形及六個全等的白色圓形內接於等邊三角形內。最外邊的圓形半徑是R,虛線圓形的半徑為r,試求白色圓形的半徑。

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來源:cut-the-knot

兩個半徑為R的大圓形如下圖般內接於一個正方形內,六個半徑為r的圓形內接於大圓形內,兩個半徑為t的圓形內接於正方形及與兩個大圓形外切,試以t來表達r。

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(來源:T. Rothman and H. Fukagawa, Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, Princeton, 2008.)

接著是一道與橢圓形相關的題目:

兩個半展軸及半短軸分別為a及b的橢圓形內接於半徑為R的圓形,試以a及R來表達b。

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(來源:T. Rothman and H. Fukagawa, Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, Princeton, 2008.)

今天,我們有坐標幾何這個強大的武器幫助我們解決橢圓形的幾何題目,但當年的日本數學家並不懂得坐標幾何,他們只是以傳統的幾何知識來折解題目,非常有特色。

日本寺廟幾何學的發展自成一格,它們獨立於西方,甚至先於西方地發現了不少有趣的幾何定理。

例如笛卡兒在1643年提出的笛卡兒定理(Descartes' Theorem)指出對於四個相切的圓形半徑分別是r1、r2、r3與r4,那麼︰

Descartes

但原來日本人也獨立於西方自己研究出這定理,日本人更利用這定理解開了不少寺廟幾何學題目。下圖是1830年日本版本的定理:

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(來源:T. Rothman and H. Fukagawa, Sacred Mathematics - Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, Princeton, 2008.)

日本人甚至先於西方發現了一些幾何定理。索迪六球連鎖定理(Soddy’s hexlet theorem)指出若兩個球體(圖中紅色與橙色的球體)內接於一個大球體內,那麼必然可以把六個球體(圖中綠色的球體)放於大球體內,使得這六個球體都與大球體、紅色與橙色兩個球體,及六個球體中兩個相鄰的球體相切。

Soddy2

這定理在1937年由索迪(Frederick Soddy)提出。值得一提的是,索迪不是一位全職數學家,反而是位極為出色的化學家,更因為同位素(isotopes)的研究而獲得1921年的諾貝爾化學獎,但他仍然保持著對數學的興趣,業餘地研究數學,非常難得。

但後來有人發現,類似的幾何題目早於1822年神奈川的一塊算額中已經出現了。當年的日本沒有「逆轉」(inversion)這個現代幾何工具,卻發展出這樣細膩的定理,令人讚嘆。

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神奈川縣寒川神社的算額。

不少香港人都熱愛日本文化,但大家想不到日本文化竟然有如此特別的幾何元素吧?大家下次參觀日本寺廟或者神社時,都不妨留意一下有沒有這些又美麗又有數學意味的算額。

本文獲授權轉載,原文見史丹福狂想曲

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責任編輯︰鄭家榆
核稿編輯︰王陽翎