打麻將的數學冷知識(三):零錢至少要準備多少才夠找?

打麻將的數學冷知識(三):零錢至少要準備多少才夠找?
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我們想讓你知道的是

這回我們要來談談打麻將時另一個困擾──找錢。打牌會伴隨著賭注,有經驗的場主通常得多準備一些零錢,避免有找不開的情況發生。零錢很多當然就不會遇到找錢麻煩,但是,到底「最少需要多少零錢才夠用呢?」就是一道有趣的數學謎題。

唸給你聽
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文:郭君逸UniMath

找錢原理

打麻將的數學冷知識終於要出第三集,在打麻將的數學冷知識(一)我們提醒大家,骰位抓牌時每疊牌被四家拿到的機率並不相同,要留意遊戲的不對稱性;在打麻將的數學冷知識(二)一眼就知道胡牌了沒,我們看到快速判斷胡牌了沒有的方法。這回我們要來談談打麻將時另一個困擾──找錢。

打牌會伴隨著賭注,有經驗的場主通常得多準備一些零錢,避免有找不開的情況發生。零錢很多當然就不會遇到找錢麻煩,但是,到底「最少需要多少零錢才夠用呢?」就是一道有趣的數學謎題。

首先,我們要先給個合理的數學建模,有3條規則:

  1. 找不開可以跟其他家換錢(若不能跟其他家換的話,就沒什麼好談的了,當零錢持續集中到某個人身上時,其他人就一定很難找的開。因此這個假設是合理的)
  2. 不能欠,每把輸贏一定要立刻結算(若能欠的話,也沒什麼好談的,就一直欠即可。因此這個假設也是合理)
  3. 每位玩家有足夠的錢(不夠錢,就不是找不找得開的問題了)

我們先看單純一點的情況,只允許使用50元硬幣與10元硬幣支付賭注(也就是沒有百元鈔和千元鈔),此時,涉及找錢的零錢就只有10元硬幣。

兩人找錢引理:兩個人身上共有4個10元硬幣的話,一定找的開

舉例來說,甲和乙有很多50元硬幣,甲有1個10元,乙有3個10元(兩人身上10元硬幣共4個),此時甲不管是要付給乙10元、20元、30元、40元、50元、60元……都可以找的開。相反地,乙要付給甲多少錢也都沒有找錢的麻煩。同樣的道理,兩人各有2個10元硬幣也不會有困難,這題留給讀者動動腦。

麻將找錢定理:四個人身上共有12個10元硬幣的話,一定找的開

這個要用廣義鴿籠原理來證明。

現在甲、乙、丙、丁四人,假設甲、乙兩人有輸贏,我們先把四人分成三個籠子,10元硬幣當作鴿子:

  • 第一個籠子有「甲乙兩人的10元硬幣」
  • 第二個籠子有「丙的10元硬幣」
  • 第三個籠子有「丁的10元硬幣」

最糟糕不能找開的情況,就是甲乙兩人自己找不開,丙跟丁兩人又沒有足夠硬幣可以換;亦即,第一個籠子只有3個10元,第二、三個籠子都只有4個10元,共11個10元,所以此時只要再生出1個硬幣,變成12個,就能保證「甲乙兩人共有4個10元以上,不然的話丙丁會有人有5個10元」,若前者發生,就用「兩人找錢」引理解決,若後者發生,就跟有5個10元的人換錢即可。

讀者可能會好奇「如果是自摸的話,四個人都牽涉到錢的變動怎麼辦?」其實,就先解決兩個人(把有問題的人都解決掉,就沒有問題了)的問題,反正四人擁有的10元硬幣總數也不會減少,不管解決兩人問題之後,零錢變成何種分布,總共還是有12個硬幣,因此,其他人的結算依然能夠找開。

把這個定理推廣到兩種面額但更多人的一般情況:

兩種面額多人找錢定理:

有n個人,只能使用面額a與b的話,其中b是a的某個倍數b=ka,這裡都考慮正整數。則所有人身上總共有(n-1)(k-1)個a,必定能找開。

更多面額的話,就分開算即可。以四人為例,若允許使用10元、100元跟500元(沒有50元),那就是套用10元和100元兩種面額找錢定理,再套用100元和500元兩種面額找錢定理,得知需要27個10元,與12張100元,其他都用500元,這樣還是都能找開。

一般來說,以台幣為例,面額1、5、10、50、100、500、1000都允許使用的話,場主只要準備1元、10元、100元各12個(張),5、50、500元各3個(張),其餘的都拿1000元的大鈔,就能找開所有的錢了。

其它冷知識
  • 為何海底要留8疊牌?

若所有海底的牌都使用的話,至少會產生以下兩個問題:

  1. 打到最後幾張時,記憶力極好的玩家,可以根據已出現的牌推算剩下的有哪些牌。
  2. 獨聽某一張的人,等到最後一定會胡,(例如已經拿了7張花的人,到最後一定可以胡),可能導致人人都想做大牌,單吊、胡牌機率小沒關係,聽的牌最終還是會現身。

為了避免上述問題,刻意有一小部份的牌不使用,以增加不確定性。許多遊戲都有類似的安排,例如:雙人大老二。

至於留幾張牌呢?一般作法是留約一個玩家的量,因為每個人一開始都是抓16張牌,所以海底就留一個人拿的牌數,留16張。換句話說,等於有5個人在打牌,海底也算一個人。當有人槓牌時,相對的,其它的牌就會容易聚集,所以就當作第5人也槓一張,所以就變成了留17張牌(多一張)在海底。

當然,還是那句話,不管規則怎麼訂,大家都是相對公平的,沒有玩花牌的人,就改成留14張;或是有些人玩「鐵八」、「鐵七」等留固定張數的規則。只要事先講好,都是相對公平的。

  • 會不會有一副牌型同時平胡又碰碰胡呢?

這是一個有趣的問題。平胡又碰碰胡,從來沒聽過,應該不可能吧?!別急著下結論,先來看看這個例子:

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圖片來源:作者提供

牌型為碰碰胡,但把三組「234」拿出來重新排列後變成:

2
圖片來源:作者提供

就可以算成平胡牌型了,不是嗎?

答案是,也不是。因為這副牌只有11張,其他張數未必辦得到。

有興趣的讀者且看以下說明,把所有的牌,分成一四七、二五八、三六九,共三堆,複習一下<打麻將的數學冷知識(二)一眼就知道胡牌了沒>說過的快速判斷眼睛法則:

一副牌依一四七、二五八、三六九分成三堆,每堆的張數除以3的餘數必有一個與另兩個不同,則眼睛就在不同的那堆裡。

根據上述原理可以知道眼睛會在哪一堆,把眼睛拿掉後,若是平胡則剩下都是「順」,必定三堆數量一樣多張,同時又要是碰碰胡的話,每一堆都必須為3的倍數才能湊成「刻」,因此,搭子數必定要是3的倍數才能夠分成一樣多的三堆。不論玩的是16張麻將(5個搭子),或是13張麻將(4個搭子),三堆必無法一樣多,因此,結論是無法同時碰碰胡又平胡的。

結語

打麻將的數學冷知識系列文章用了很多數學的角度來看麻將,相信讀者一定會覺得,對於自己麻將的技術的提升非(ㄨㄢˊ)常(ㄑㄩㄢˊ)有(ㄇㄟˊ)用。打麻將除了具備基本牌技之外,剩下就靠運氣左右輸贏,不必太在意勝敗,開心就好,好好享受打牌的過程。其實受民眾歡迎的桌遊設計,運氣成份通常佔有很大的比例,想想這也挺自然的,若能夠使用數學理論達成「必勝」的話,反而就沒人想玩了。

一系列文章的主要目的是要告訴大家,數學處處都有,問題在於如何去發現它。從中小學的基本數學,到大學的高等數學,很多都可以運用到生活中,雖然沒有數學,還是一樣能過生活,但有了它的輔助,可以讓生活過得更「理性」哦。

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本文經UniMath授權轉載,原文刊載於此

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航

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