打麻將的數學冷知識（三）：零錢至少要準備多少才夠找？

文：郭君逸（UniMath）

找錢原理

打麻將的數學冷知識終於要出第三集，在打麻將的數學冷知識（一）我們提醒大家，骰位抓牌時每疊牌被四家拿到的機率並不相同，要留意遊戲的不對稱性；在打麻將的數學冷知識（二）一眼就知道胡牌了沒，我們看到快速判斷胡牌了沒有的方法。這回我們要來談談打麻將時另一個困擾──找錢。

打牌會伴隨著賭注，有經驗的場主通常得多準備一些零錢，避免有找不開的情況發生。零錢很多當然就不會遇到找錢麻煩，但是，到底「最少需要多少零錢才夠用呢？」就是一道有趣的數學謎題。

首先，我們要先給個合理的數學建模，有3條規則：

1. 找不開可以跟其他家換錢（若不能跟其他家換的話，就沒什麼好談的了，當零錢持續集中到某個人身上時，其他人就一定很難找的開。因此這個假設是合理的）
2. 不能欠，每把輸贏一定要立刻結算（若能欠的話，也沒什麼好談的，就一直欠即可。因此這個假設也是合理）
3. 每位玩家有足夠的錢（不夠錢，就不是找不找得開的問題了）

我們先看單純一點的情況，只允許使用50元硬幣與10元硬幣支付賭注（也就是沒有百元鈔和千元鈔），此時，涉及找錢的零錢就只有10元硬幣。

兩人找錢引理：兩個人身上共有4個10元硬幣的話，一定找的開

舉例來說，甲和乙有很多50元硬幣，甲有1個10元，乙有3個10元（兩人身上10元硬幣共4個），此時甲不管是要付給乙10元、20元、30元、40元、50元、60元……都可以找的開。相反地，乙要付給甲多少錢也都沒有找錢的麻煩。同樣的道理，兩人各有2個10元硬幣也不會有困難，這題留給讀者動動腦。

麻將找錢定理：四個人身上共有12個10元硬幣的話，一定找的開

這個要用廣義鴿籠原理來證明。

現在甲、乙、丙、丁四人，假設甲、乙兩人有輸贏，我們先把四人分成三個籠子，10元硬幣當作鴿子：

• 第一個籠子有「甲乙兩人的10元硬幣」
• 第二個籠子有「丙的10元硬幣」
• 第三個籠子有「丁的10元硬幣」

最糟糕不能找開的情況，就是甲乙兩人自己找不開，丙跟丁兩人又沒有足夠硬幣可以換；亦即，第一個籠子只有3個10元，第二、三個籠子都只有4個10元，共11個10元，所以此時只要再生出1個硬幣，變成12個，就能保證「甲乙兩人共有4個10元以上，不然的話丙丁會有人有5個10元」，若前者發生，就用「兩人找錢」引理解決，若後者發生，就跟有5個10元的人換錢即可。

讀者可能會好奇「如果是自摸的話，四個人都牽涉到錢的變動怎麼辦？」其實，就先解決兩個人（把有問題的人都解決掉，就沒有問題了）的問題，反正四人擁有的10元硬幣總數也不會減少，不管解決兩人問題之後，零錢變成何種分布，總共還是有12個硬幣，因此，其他人的結算依然能夠找開。

把這個定理推廣到兩種面額但更多人的一般情況：

兩種面額多人找錢定理：

有n個人，只能使用面額a與b的話，其中b是a的某個倍數b=ka，這裡都考慮正整數。則所有人身上總共有（n-1）（k-1）個a，必定能找開。

更多面額的話，就分開算即可。以四人為例，若允許使用10元、100元跟500元（沒有50元），那就是套用10元和100元兩種面額找錢定理，再套用100元和500元兩種面額找錢定理，得知需要27個10元，與12張100元，其他都用500元，這樣還是都能找開。

一般來說，以台幣為例，面額1、5、10、50、100、500、1000都允許使用的話，場主只要準備1元、10元、100元各12個（張），5、50、500元各3個（張），其餘的都拿1000元的大鈔，就能找開所有的錢了。

其它冷知識

• 為何海底要留8疊牌？

若所有海底的牌都使用的話，至少會產生以下兩個問題：

1. 打到最後幾張時，記憶力極好的玩家，可以根據已出現的牌推算剩下的有哪些牌。
2. 獨聽某一張的人，等到最後一定會胡，（例如已經拿了7張花的人，到最後一定可以胡），可能導致人人都想做大牌，單吊、胡牌機率小沒關係，聽的牌最終還是會現身。

為了避免上述問題，刻意有一小部份的牌不使用，以增加不確定性。許多遊戲都有類似的安排，例如：雙人大老二。

至於留幾張牌呢？一般作法是留約一個玩家的量，因為每個人一開始都是抓16張牌，所以海底就留一個人拿的牌數，留16張。換句話說，等於有5個人在打牌，海底也算一個人。當有人槓牌時，相對的，其它的牌就會容易聚集，所以就當作第5人也槓一張，所以就變成了留17張牌（多一張）在海底。

當然，還是那句話，不管規則怎麼訂，大家都是相對公平的，沒有玩花牌的人，就改成留14張；或是有些人玩「鐵八」、「鐵七」等留固定張數的規則。只要事先講好，都是相對公平的。

• 會不會有一副牌型同時平胡又碰碰胡呢？

這是一個有趣的問題。平胡又碰碰胡，從來沒聽過，應該不可能吧？！別急著下結論，先來看看這個例子：

圖片來源：作者提供

牌型為碰碰胡，但把三組「234」拿出來重新排列後變成：

圖片來源：作者提供

就可以算成平胡牌型了，不是嗎？

答案是，也不是。因為這副牌只有11張，其他張數未必辦得到。

有興趣的讀者且看以下說明，把所有的牌，分成一四七、二五八、三六九，共三堆，複習一下<打麻將的數學冷知識（二）一眼就知道胡牌了沒>說過的快速判斷眼睛法則：

一副牌依一四七、二五八、三六九分成三堆，每堆的張數除以3的餘數必有一個與另兩個不同，則眼睛就在不同的那堆裡。

根據上述原理可以知道眼睛會在哪一堆，把眼睛拿掉後，若是平胡則剩下都是「順」，必定三堆數量一樣多張，同時又要是碰碰胡的話，每一堆都必須為3的倍數才能湊成「刻」，因此，搭子數必定要是3的倍數才能夠分成一樣多的三堆。不論玩的是16張麻將（5個搭子），或是13張麻將（4個搭子），三堆必無法一樣多，因此，結論是無法同時碰碰胡又平胡的。

結語

打麻將的數學冷知識系列文章用了很多數學的角度來看麻將，相信讀者一定會覺得，對於自己麻將的技術的提升非（ㄨㄢˊ）常（ㄑㄩㄢˊ）有（ㄇㄟˊ）用。打麻將除了具備基本牌技之外，剩下就靠運氣左右輸贏，不必太在意勝敗，開心就好，好好享受打牌的過程。其實受民眾歡迎的桌遊設計，運氣成份通常佔有很大的比例，想想這也挺自然的，若能夠使用數學理論達成「必勝」的話，反而就沒人想玩了。

一系列文章的主要目的是要告訴大家，數學處處都有，問題在於如何去發現它。從中小學的基本數學，到大學的高等數學，很多都可以運用到生活中，雖然沒有數學，還是一樣能過生活，但有了它的輔助，可以讓生活過得更「理性」哦。