首個世界邏輯日︰連結起20世紀兩大邏輯學家的日期

邏輯學期刊《Logica Universalis》在今年1月14日舉辦首個「世界邏輯日」（World Logic Day），期刊主編北炯（Jean-Yves Béziau）希望能藉此推廣邏輯研究。據期刊網站資料，不同國家的多家大學均會在當日安排活動響應，例如以邏輯學為主題的演講或研討會等。

把「世界邏輯日」訂在1月14日，其中一個原因是這日子巧合地跟20世紀兩大邏輯學家有關︰哥德爾（Kurt Gödel）在1978年這一天逝世，而塔斯基（Alfred Tarski）於1901年該日出生。

這兩位同於1900年代出生（哥德爾生於1906年）的邏輯學巨人對上世紀數理邏輯發展舉足輕重。哥德爾證明的「不完備性定理」（incompleteness theorems）揭示了數學系統的限制，其證明亦屬「可計算性理論」（computability theory，又稱遞歸論 recursion theory）早期發展的重要結果。塔斯基則提出了形式語言中「真」和「邏輯後果」的定義，奠下了模型論（model theory）的基礎，並跟其學生將此領域發展成現代數理邏輯的一大支柱。

哥德爾不完備性定理常被詮釋成「存在真但不可證明的命題」，塔斯基也有一個跟不完備性定理有關的結果，稱為「真的不可定義」（undefinability of truth）。如果不熟悉邏輯學中對「真」的嚴格定義，很容易會望文生義，借題發揮。本文希望藉此機會，盡量不使用符號去解釋，響應「世界邏輯日」推廣邏輯學研究的宗旨。

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如何定義及理解「真理」是哲學長久以來的一大問題，哲學家發展出不同的「真理理論」嘗試解釋何謂「真理」。「真」這個看似普通的概念之所以難纏，一大原因是面臨各種悖論挑戰，當中最重要的相信是「說謊者悖論」——「這句話是假的」到底是不是真的？如果是的話，那句話就是假的；如果不是，又會變成真的了。

塔斯基從人工設計、有嚴格定義的形式語言着手，嘗試定義形式語言中「真」的意思。他區分了「對象語言」和討論對象語言的「後設語言」，當我們在討論某個句子是不是「真」的時候，使用的是比對象語言包含更多的後設語言。

20世紀初期，數理邏輯發展受到數學家希爾伯特（David Hilbert）的形式主義影響，出現各種邏輯及數學的形式系統。粗略來說，形式系統是嘗試把數學、邏輯系統化約為符號的產物，在形式系統之中，有嚴格定義的語法、明確的公理和推理規則，這些系統中的「定理」就是從公理出發，一步一步按照規則變換符號而得出的語句。理論上，任何人只要懂得按規則辦事，即使完全不明白符號代表甚麼意思，都能夠證明定理。

這一類只處理符號問題的研究，在邏輯學中屬於「語法」（syntax）範疇。例如形式主義的一項計劃，就是希望透過證明數學的形式系統不會透過規則變換得出「0=1」這類引起矛盾的句子，來證明數學系統並無矛盾，這就屬於語法的進路。

但單看符號不會有真假的問題，只有詮釋了符號才能討論真假，這屬於邏輯學中的「語意」（semantics）範疇。塔斯基的研究進路，令邏輯學家逐漸擺脫希爾伯特的影響，開始使用集合論等數學工具來研究邏輯問題。（當然這並非塔斯基一人的影響，在他以前亦有其他邏輯學家發展及使用相關概念。）

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而哥德爾證明的不完備定理，同樣對形式主義影響深遠。透過把算術的形式系統編碼，哥德爾找到一個讓算術系統描述自身的方法︰透過描述數字之間的關係，再「翻譯」成對應的形式系統語句。

假設這個算術形式系統一致——即不會同時證明A和¬A（「¬」在邏輯系統中代表「非」或「否定」）兩條定理——哥德爾構造了一個形式上類似說謊者悖論的「不可判定句」G，而這個系統既無法證明G，也無法證明¬G。這代表該算術系統「不完備」，而且其他更強的算術系統同樣受此限制。哥德爾的定理打擊了希爾伯特的形式主義計劃，但詳情涉及技術細節，在此略過。

塔斯基在提出形式語言中「真」的定義時，利用了哥德爾的編碼技巧，證明在一些算術系統中無法定義「算術真理」而不引致矛盾，原因同樣跟說謊者悖論有關，這項定理稱為「真的不可定義」。不過必須注意這項結果只局限於形式系統之中，而非我們平日使用的自然語言。

回到算術系統的問題，數學家可以利用集合論定義自然數及其加法和乘法，這個結構滿足我們對自然數的直覺及理解，稱為「標準模型」。在構想算術系統的公理和推理規則時，數學家也是按照以往研究自然數的特性來設計，而且我們能夠透過詮釋系統的符號，令形式系統跟標準模型對應。

透過算術系統證明出來的定理，經詮釋後都符合上述「標準模型」，通常會稱為「真」的算術語句——此處「真」的意思其實是「在標準模型中為真」。然而透過不完備定理，我們知道並非所有「真」的算術語句都能夠透過算術系統證明，甚至不存在一個能完整描述標準模型的算術系統。這就是坊間常稱不完備定理表示「存在真但無法證明的算術命題」的意思。

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哥德爾另一項重要的數學結果，是證明了集合論中的「連續統假設」（Continuum Hypothesis）及「選擇公理」（Axiom of Choice）跟集合論的其他公理一致——即不會產生矛盾。後來數學家寇恩（Paul Cohen）則證明了集合論公理無法推論出這兩個命題，換言之，兩個命題均是集合論的「不可判定句」。這兩項結果的證明方法令集合論迅速發展。