《微積分之屠龍寶刀》：用一個實際的例子讓你搞懂「極限」

文：亞當斯、湯普森、哈斯

基本觀念

你知道人們會用什麼態度說下面這句話：「你真的把我給惹毛了，我的忍耐已經到極限了！」然而你有沒有覺得奇怪，「已經到極限」到底是什麼意思？

在英文裡，limit（極限）這個字通常是指一條不能超越的邊界或界限，就像住在美國明尼蘇達州的人們，一天下來釣了不少魚，就會向人說：「I’ve caught my limit.」意思是說，他若是再多釣幾條魚，叫政府山林管理員查獲，他的釣具就會被當場沒收。釣客所能釣得的魚數量，規定必須低於或剛好等於限額，絕不能超過。

Photo Credit：遠見天下文化出版

在數學裡，當函數中的x漸漸趨近到某個定值時，該函數的值也會逐漸趨近一個值，這個值就是「極限」。這個說法可能叫你覺得霧煞煞，我們就用一個實際的例子來說明好了。

假設你讓鼻子向電風扇靠攏過去，為了容易敘述，我們就說你的鼻尖位置在x，而電風扇的位置在3（或是分別離原點x英尺跟3英尺），如圖8.1所示。

我們想知道，當x非常接近3時，會發生什麼事——也就是說，當你的鼻子朝3移近，而且愈來愈靠近，但絕對不要真正到達3（你知道那後果該會有多麼嚴重）。

這個嘛，會發生的事只是，你會覺得當x離3愈來愈近，從電風扇吹到你臉上的風愈來愈強。所以，我們的興趣在於，當你的鼻子接近3時，你感受到的風的強度變化。〔我們要取下面這樣，其中的b(x)就是當你的鼻子在點x時，所感受到的風的強度。〕

假設當x = 2.9，你感受到的風速是6mph（每小時6英里），那麼當鼻子向風扇移近，風速就會如下表那樣跟著增加︰

從這些數據看來，似乎在鼻子逐漸靠近風扇時，風速就會逐漸趨近於7 mph，因而我們可以寫成：

身為鼻子受到威脅的當事人，你一定不願意去發現，x = 3的時候會發生什麼事─因為你知道，那可不只是一陣風而已！

這就是極限在數學上的意義跟作用。我們想知道，當x趨近一個特殊的數a，函數f(x)的值會發生什麼變化。

另一方面，我們也可以從一個函數的圖形，去判定該函數的極限。在次頁的圖8.2，我們看到兩個函數圖形，你會發現當x從左右兩邊趨近於3時，兩函數的值都趨近於7，也就是極限等於7。雖然圖(b)所示的函數，在x = 3時的值等於1，而不像圖(a)的函數值是等於7，但我們不在乎，因為事實上，在3這一點的極限並非取決於函數在該點的值，而只取決於當x趨近3的那些函數值。

對於大多數的標準函數來說，取極限值的過程很平常，不會發生什麼有趣的插曲。比方說，一個像x³ – 7x⁴ + 3的多項式，在x趨近於a時的極限就是a³ – 7a⁴ + 3，直接用a代入x就可以了。

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書籍介紹

《微積分之屠龍寶刀（2018版）》，遠見天下文化出版
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作者：亞當斯、湯普森、哈斯
譯者：師明睿

寫《微積分之屠龍寶刀》的三位教授則會舉實例告訴你：假設你的鼻尖位置在x，而電風扇的位置在3。那麼，當你的鼻子朝3 移近，而且愈來愈靠近時（但絕對不要真正到達3），會發生什麼事？

當然，你會覺得風愈來愈強。現在，我們要取limx → 3 b(x)，其中的b(x) 就是當你的鼻子在點x 時，所感受到的風的強度。

這本微積分寶典，不會讓你正襟危坐；這本寶典著重於觀念的闡釋與釐清。看不懂一般教科書、聽不懂教授的講解嗎？請拿起《微積分之屠龍寶刀》，作者會用風扇、山羊、貓頭鷹、雞湯等生動的例子，把獨門妙招傳授給你，引導你過關斬將，樂在微積分。

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責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航