《微積分之屠龍寶刀》:用一個實際的例子讓你搞懂「極限」

《微積分之屠龍寶刀》:用一個實際的例子讓你搞懂「極限」
Photo Credit: Marco Arment @Flickr CC BY 2.0
我們想讓你知道的是

「你真的把我給惹毛了,我的忍耐已經到極限了!」然而你有沒有覺得奇怪,「已經到極限」到底是什麼意思?

唸給你聽
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文:亞當斯、湯普森、哈斯

基本觀念

你知道人們會用什麼態度說下面這句話:「你真的把我給惹毛了,我的忍耐已經到極限了!」然而你有沒有覺得奇怪,「已經到極限」到底是什麼意思?

在英文裡,limit(極限)這個字通常是指一條不能超越的邊界或界限,就像住在美國明尼蘇達州的人們,一天下來釣了不少魚,就會向人說:「I’ve caught my limit.」意思是說,他若是再多釣幾條魚,叫政府山林管理員查獲,他的釣具就會被當場沒收。釣客所能釣得的魚數量,規定必須低於或剛好等於限額,絕不能超過。

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Photo Credit:遠見天下文化出版

在數學裡,當函數中的x漸漸趨近到某個定值時,該函數的值也會逐漸趨近一個值,這個值就是「極限」。這個說法可能叫你覺得霧煞煞,我們就用一個實際的例子來說明好了。

假設你讓鼻子向電風扇靠攏過去,為了容易敘述,我們就說你的鼻尖位置在x,而電風扇的位置在3(或是分別離原點x英尺跟3英尺),如圖8.1所示。

我們想知道,當x非常接近3時,會發生什麼事——也就是說,當你的鼻子朝3移近,而且愈來愈靠近,但絕對不要真正到達3(你知道那後果該會有多麼嚴重)。

這個嘛,會發生的事只是,你會覺得當x離3愈來愈近,從電風扇吹到你臉上的風愈來愈強。所以,我們的興趣在於,當你的鼻子接近3時,你感受到的風的強度變化。〔我們要取下面這樣,其中的b(x)就是當你的鼻子在點x時,所感受到的風的強度。〕

未命名

假設當x = 2.9,你感受到的風速是6mph(每小時6英里),那麼當鼻子向風扇移近,風速就會如下表那樣跟著增加︰

微積分p_80

從這些數據看來,似乎在鼻子逐漸靠近風扇時,風速就會逐漸趨近於7 mph,因而我們可以寫成:

未命名

身為鼻子受到威脅的當事人,你一定不願意去發現,x = 3的時候會發生什麼事─因為你知道,那可不只是一陣風而已!

這就是極限在數學上的意義跟作用。我們想知道,當x趨近一個特殊的數a,函數f(x)的值會發生什麼變化。

另一方面,我們也可以從一個函數的圖形,去判定該函數的極限。在次頁的圖8.2,我們看到兩個函數圖形,你會發現當x從左右兩邊趨近於3時,兩函數的值都趨近於7,也就是極限等於7。雖然圖(b)所示的函數,在x = 3時的值等於1,而不像圖(a)的函數值是等於7,但我們不在乎,因為事實上,在3這一點的極限並非取決於函數在該點的值,而只取決於當x趨近3的那些函數值。

對於大多數的標準函數來說,取極限值的過程很平常,不會發生什麼有趣的插曲。比方說,一個像x3 – 7x4 + 3的多項式,在x趨近於a時的極限就是a3 – 7a4 + 3,直接用a代入x就可以了。

相關書摘 ►《微積分之屠龍寶刀》:你不該在微積分老師面前提的4個問題

書籍介紹

《微積分之屠龍寶刀(2018版)》,遠見天下文化出版
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作者:亞當斯、湯普森、哈斯
譯者:師明睿

寫《微積分之屠龍寶刀》的三位教授則會舉實例告訴你:假設你的鼻尖位置在x,而電風扇的位置在3。那麼,當你的鼻子朝3 移近,而且愈來愈靠近時(但絕對不要真正到達3),會發生什麼事?

當然,你會覺得風愈來愈強。現在,我們要取limx → 3 b(x),其中的b(x) 就是當你的鼻子在點x 時,所感受到的風的強度。

這本微積分寶典,不會讓你正襟危坐;這本寶典著重於觀念的闡釋與釐清。看不懂一般教科書、聽不懂教授的講解嗎?請拿起《微積分之屠龍寶刀》,作者會用風扇、山羊、貓頭鷹、雞湯等生動的例子,把獨門妙招傳授給你,引導你過關斬將,樂在微積分。

BWS162《微積分屠龍寶刀》立體書封
Photo Credit:遠見天下文化出版

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航

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