黑板上排列組合，你捨得解開嗎？
我們想讓你知道的是
《那些年，我們一起追的女孩》其中一幕是男女主角一起計算黑板上的排列組合問題，它們牽涉到一些香港中學課程中沒有明確教授的概念。
電影《那些年，我們一起追的女孩》曾經在亞洲地區瘋靡一時。在電影中，男主角柯景騰與女主角沈佳宜因數學問題而建立起感情，柯景騰更因此而覺得努力讀書變成了一件很熱血的事。
電影中有一幕是柯景騰與沈佳宜一起計算黑板上的排列組合問題。其實黑板上的幾條問題都非常有趣，它們牽涉到一些香港中學課程中沒有明確教授的概念，所以如果《那些年》的故事在香港上演的話，柯景騰與沈佳宜就未必解得開黑板上的問題了。
三條問題分別是：
- 用六種不同顏色塗一正方體，每一面一色，且每面顏色不同，會有多少種塗法？
- 八個人買六種飲料，每人要一種，問一共有幾種買法？
- 將五粒不同顏色的珠子串成手鐲，共有幾種串法？
1. 正方體塗顏色題
驟眼看來，第一題問題是把6種顏色分別塗上6個不同表面，那麼方法自然是6!。但細心想一下，這個正方體是可以移動的，我們把同一個正方體用不同的擺放，就可以看到不同的顏色排列，但其實它們都是由同一個顏色排列方式的立方體得出的，我們不應把它們數作不同的排列。
就如下圖，扭計骰雖然用了不同的方式擺放，但其實只是同一顆扭計骰，它顏色的排列並沒有改變過︰
懂得玩扭計骰（魔術方塊）的朋友必定知道，玩扭計骰的第一步就是扭好最底的一層。我們也可以把這技巧應用到這題排列組合問題中。我們先為正方體最底層塗上一種顏色，然後固定著它不要移動。那麼最頂的一層共有5種顏色選擇。之後把4種顏色放在剩下的4面，理應是4!個方式。
但值得留意的是，儘管我們把底部的顏色固定了，正方體還是可以如下圖般順時針逆時針轉動，做出4個不同擺放方法，所以答案應該再除以4︰
最後答案就是5x4!/4=30，跟沈佳宜的答案一樣。
2. 買飲料題
第二題就比較簡單直接，但牽涉到一個香港DSE課程沒有明確教授的方法——nHr，其實即是(n+r-1)C(n-1)。。
如果我們要從n件不同的可重覆使用的物件中抽出r件物件，那麼組合數目就是nHr了。如果覺得以上定義太過複雜難明的話，我們不妨換過另一個比較好理解的說明，設 x1 + x2 + x3 + ... + xn = r，其中 x1, x2, x3, ..., xn 都是非負整數，那麼解的數量就是nHr。
舉個例子，老師把10粒相同的糖果分給3位學生，有多少種分法？這個問題可以看成是求 x1 + x2 + x3 = 10 的非負整數解的數量，所以等如3H10 = (3+10-1)C(3-1) = 12C2 = 66。
至於《那些年》中的問題，就可以視作 x1 + x2 + x3 + … + x6 = 8 的非負整數解數量，即是︰6H8 = (6+8-1)C(6-1) = 13C5 = 1287。
至於為什麼從n件不同的可重覆使用的物件中抽出r件物件的組合數目是(n+r-1)C(n-1)呢？我們先從另一個角度思考題目，把題目理解成 x1 + x2 + x3 + ... + xn = r 的非負整數解，也就是把r種相同物件分成n組的方法，其中每一組的物件數量並沒有限制。試想想，如果我們要把把r種相同物件分成n組，我們可以把這r種物件排成一行，然後在中間加入n-1條分隔線。
例如下圖的顯示的，就是把9種相同物件分成3組的其中兩個例子，要把它們分成3組，就必須在它們中間加上2條分隔線︰
那麼組合的數量就相當於在n+r-1（編按︰即r個物件及n-1條分隔線佔據的位置總數）個位置中選擇n-1個位置放置分隔線，組合數目自然就是n+r-1Cn-1。
3. 珠子串成手鐲題
最後一題問題，驟眼看起來是把5種顏色分到5粒珠子上，那麼排列方法當然是5!。但正如剛才第一題題目，手鐲是可以如下圖般順時針或逆時針旋轉的。
為了解決這問題，我們可以先把其中一粒顏色的珠子位置固定，剩下4種顏色可以在4顆珠子中排列，排列的數目是4!。
但別忘記，手鐲除了可以順時針或逆時針旋轉，更可以把上下翻過來。為了避免重複計算，答案應該再除以2。答案是(5-1)!/2=12。
根據我們的分析，如果把n粒念珠（n>2）串成手鐲，串法排列的數量就是(n-1)!/2，這種排列的方法有個特別的名稱，叫「珠狀排列」。
排列組合的問題博大精深，更為柯景騰與沈佳宜青春時的曖昧，帶來了最美麗的回憶。難怪導演九把刀在經過這麼多年後，仍然對排列組合的問題念念不忘，更讓它們成為了電影中的重要元素。
本文獲授權轉載，原文見史丹福狂想曲。
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