黑板上排列組合,你捨得解開嗎?

黑板上排列組合,你捨得解開嗎?
《那些年,我們一起追的女孩》劇照
我們想讓你知道的是

《那些年,我們一起追的女孩》其中一幕是男女主角一起計算黑板上的排列組合問題,它們牽涉到一些香港中學課程中沒有明確教授的概念。

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電影《那些年,我們一起追的女孩》曾經在亞洲地區瘋靡一時。在電影中,男主角柯景騰與女主角沈佳宜因數學問題而建立起感情,柯景騰更因此而覺得努力讀書變成了一件很熱血的事。

電影中有一幕是柯景騰與沈佳宜一起計算黑板上的排列組合問題。其實黑板上的幾條問題都非常有趣,它們牽涉到一些香港中學課程中沒有明確教授的概念,所以如果《那些年》的故事在香港上演的話,柯景騰與沈佳宜就未必解得開黑板上的問題了。

三條問題分別是:

  1. 用六種不同顏色塗一正方體,每一面一色,且每面顏色不同,會有多少種塗法?
  2. 八個人買六種飲料,每人要一種,問一共有幾種買法?
  3. 將五粒不同顏色的珠子串成手鐲,共有幾種串法?
1. 正方體塗顏色題

看過來,第一題問題是把6種顏色分別塗上6個不同表面,那麼方法自然是6!。但細心想一下,這個正方體是可以移動的,我們把同一個正方體用不同的擺放,就可以看到不同的顏色排列,但其實它們都是由同一個顏色排列方式的立方體得出的,我們不應把它們數作不同的排列。

就如下圖,魔術方塊雖然用了不同的方式擺放,但其實只是同一顆魔術方塊,它顏色的排列並沒有改變過︰

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圖片由作者提供

懂得玩魔術方塊的朋友必定知道,玩魔術方塊的第一步就是扭好最底的一層。我們也可以把這技巧應用到這題排列組合問題中。我們先為正方體最底層塗上一種顏色,然後固定著它不要移動。那麼最頂的一層共有5種顏色選擇。之後把4種顏色放在剩下的4面,理應是4!個方式。

但值得留意的是,儘管我們把底部的顏色固定了,正方體還是可以如下圖般順時針逆時針轉動,做出4個不同擺放方法,所以答案應該再除以4︰

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圖片由作者提供

最後答案就是5x4!/4=30,跟沈佳宜的答案一樣。

2. 買飲料題

第二題就比較簡單直接,但牽涉到一個香港DSE課程沒有明確教授的方法——nHr,其實即是(n+r-1)C(n-1)

如果我們要從n件不同的可重覆使用的物件中抽出r件物件,那麼組合數目就是nHr了。如果覺得以上定義太過複雜難明的話,我們不妨換過另一個比較好理解的說明,設 x1 + x2 + x3 + ... + xn = r,其中 x1, x2, x3, ..., xn 都是非負整數,那麼解的數量就是nHr

舉個例子,老師把10粒相同的糖果分給3位學生,有多少種分法?這個問題可以看成是求 x1 + x2 + x3 = 10 的非負整數解的數量,所以等如3H10 = (3+10-1)C(3-1) = 12C2 = 66。

至於《那些年》中的問題,就可以視作 x1 + x2 + x3 + … + x6 = 8 的非負整數解數量,即是︰6H8 = (6+8-1)C(6-1) = 13C5 = 1287。

至於為什麼從n件不同的可重覆使用的物件中抽出r件物件的組合數目是(n+r-1)C(n-1)呢?我們先從另一個角度思考題目,把題目理解成 x1 + x2 + x3 + ... + xn = r 的非負整數解,也就是把r種相同物件分成n組的方法,其中每一組的物件數量並沒有限制。試想想,如果我們要把把r種相同物件分成n組,我們可以把這r種物件排成一行,然後在中間加入n-1條分隔線。

例如下圖的顯示的,就是把9種相同物件分成3組的其中兩個例子,要把它們分成3組,就必須在它們中間加上2條分隔線︰

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圖片由作者提供

那麼組合的數量就相當於在n+r-1(編按︰即r個物件及n-1條分隔線佔據的位置總數)個位置中選擇n-1個位置放置分隔線,組合數目自然就是n+r-1Cn-1

3. 珠子串成手鐲題

最後一題問題,驟眼看起來是把5種顏色分到5粒珠子上,那麼排列方法當然是5!。但正如剛才第一題題目,手鐲是可以如下圖般順時針或逆時針旋轉的。

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圖片由作者提供

為了解決這問題,我們可以先把其中一粒顏色的珠子位置固定,剩下4種顏色可以在4顆珠子中排列,排列的數目是4!。

但別忘記,手鐲除了可以順時針或逆時針旋轉,更可以把上下翻過來。為了避免重複計算,答案應該再除以2。答案是(5-1)!/2=12。

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圖片由作者提供

根據我們的分析,如果把n粒念珠(n>2)串成手鐲,串法排列的數量就是(n-1)!/2,這種排列的方法有個特別的名稱,叫「珠狀排列」。

排列組合的問題博大精深,更為柯景騰與沈佳宜青春時的曖昧,帶來了最美麗的回憶。難怪導演九把刀在經過這麼多年後,仍然對排列組合的問題念念不忘,更讓它們成為了電影中的重要元素。

本文獲授權轉載,原文見史丹福狂想曲

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責任編輯︰鄭家榆
核稿編輯︰歐嘉俊