終於找到答案的算術題︰哪三個數字的立方加起來會是33?

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到底哪些數字可以寫成「三個立方數之和」?這個問題目前尚未解決,不過有數學家找到了立方和等於33的三個數字。

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上面三個數字的立方和——即這三個數字的三次方加起來的結果——是33,用一部普通電腦的計算機可以驗證,但數學界找了64年。這是英國布里斯托大學(University of Bristol)數學系研究員布卡(Andrew Booker)的新發現。

三立方和問題

這結果跟數學中一個未解難題「三立方和問題」(sums of three cubes)有關。布卡在未正式發表的論文提到,他的研究受到專門推廣數學內容YouTube頻道「Numberphile」以下影片啟發︰

「三立方和問題」想處理的問題是︰到底哪些正整數可以寫成三個立方數(整數的三次方)之和?數學家米拿(J. C. P. Miller)及胡列特(M. F. C. Wollett)在1955年發表論文,他們研究以下這條方程式︰

x3 + y3 + z3 = k

但只容許x, y, z, k是整數。換個說法,就是看哪一些正整數k可以寫成三個立方數之和(只要找到正整數的答案,就可得出相應負整數的答案)。

有一類數字(本文中數字均指整數)不可能寫成三個立方數之和︰除以9後餘數是4或者5的數字(原因見文末)。但除了這些數字以外,其他數字是否全部都可以寫成三立方和?這正是數學界尚未解決的問題。

搜尋答案

在未有數學證明之前,數學家可以先找一下到底哪些數字可以寫成三立方和,以便研究有沒有甚麼特別規律。米拿及胡列特利用電腦運算尋找k在小於100時的答案,而在100或以下78個有可能的數字中,當時只有9個數字未找到答案︰30, 33, 39, 42, 52, 74, 75, 84, 87。

即使有電腦協助,搜尋答案亦非易事,因為x, y, z三個答案的位數可以很大,例如29可以寫成33+13+13,但當k=30時,x, y, z的答案是9位及10位數字(這是在1999年發現的)。此外,即使目前未找到答案,仍有可能是搜尋的數字不夠多。

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Numberphile影片截圖

其後數學家以電腦進一步搜索,找到更多答案,直到2016年候士文(Sander G. Huisman)找到的多個答案後,在1000以下只有13個數字尚未清楚是否能寫成三立方和,而100以下則只有33及42兩個數字。

布卡這篇論文採用了跟了過去有別的演算法搜尋答案,給定某個數字B作為上限、對於特定數字k的情況下,如果k可以寫成三立方之和,而且絕對值最小那個數字小於B,布卡的演算法就能夠找到這組答案(過往的演算法需要最大的數字小於B)。他亦用上其他技巧,令到演算法搜尋答案的時間縮短。

在論文中,布卡表示搜尋了33及42能否寫成三立方和,上限是16位數字,而33的答案正好是三個16位數字,但42則未能找到答案。因此,尚未判斷能否寫成三立方和的最小數字就由33變成42,而假如布卡關於其演算法的證明正確,42的答案將會是更多位的數字。

當然,另一個可能是42無法寫成三立方和,但直到有數學家提出嚴格證明之前,只能夠繼續搜尋。

相關文章︰

附錄︰為何有些數字不能寫成三立方之和?

上文提到,除以9以後餘數是4或者5的數字(4, 5, 13, 14, 22, 23…)不可能寫成三個立方數之和,以下提出證明。

為方便起見,先簡單介紹「同餘算術」(modular arithmetic)及其符號。如果兩個數字a, b除以n後餘數相同,我們會以 a ≡ b (mod n) 表示,例如 13 ≡ 4 (mod 9), 23 ≡ 5 (mod 9);我們亦可使用負數,例如 8 ≡ -1 (mod 9)。

如使用另一個說法,a ≡ b (mod n) 的意思是存在整數k,使得 a = n×k+b 成立。

假設 a ≡ b (mod n) 及 c ≡ d (mod n),我們可以得出 a+c ≡ b+d (mod n) 以及 a×c ≡ b×d (mod n)。例如我們知說 10 ≡ 1 (mod 9)、3 ≡ 21 (mod 9),左右兩邊一起相加可得出 13 ≡ 22 (mod 9)、相乘可得出 30 ≡ 21 (mod 9)。(使用上一段的定義就可證明。)

我們亦需要一個輔助結果︰任何立方數除以9以後,餘數必定是0, 1, 8。我們需要證明,對於任何一個整數n,以下其中一個結果必定成立︰

  • n3 ≡ 0 (mod 9)
  • n3 ≡ 1 (mod 9)
  • n3 ≡ -1 (mod 9)

證明如下。

任何整數 n 都可以寫成 3k、3k+1 或 3k-1 的形式,當中 k 是整數(因為 n 除以 3 的餘數只有 0, 1, 2 三個可能)。

  • 假設 n = 3k,n3 = (3k)3 = 27k3,因此 n3 能被9整除,換言之 n3 ≡ 0 (mod 9)。
  • 假設 n = 3k+1,n3 = (3k+1)3 = 27k3 + 27k2 + 9k + 1,,因此 n3 ≡ 1 (mod 9)。
  • 假設 n = 3k-1,n3 = (3k-1)3 = 27k3 - 27k2 + 9k - 1,,因此 n3 ≡ -1 (mod 9)。

以上結果顯示,對於任何整數 x, y, z,並不可能出現 x3 + y3 + z3 ≡ 4 (mod 9) 以及 x3 + y3 + z3 ≡ -4 (mod 9) 兩個情況,因此三個立方數加起來再除以9,餘數永遠不會是4或者5。

參考資料︰


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