終於找到答案的算術題︰哪三個數字的立方加起來會是33？

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上面三個數字的立方和——即這三個數字的三次方加起來的結果——是33，用一部普通電腦的計算機可以驗證，但數學界找了64年。這是英國布里斯托大學（University of Bristol）數學系研究員布卡（Andrew Booker）的新發現。

三立方和問題

這結果跟數學中一個未解難題「三立方和問題」（sums of three cubes）有關。布卡在未正式發表的論文提到，他的研究受到專門推廣數學內容YouTube頻道「Numberphile」以下影片啟發︰

「三立方和問題」想處理的問題是︰到底哪些正整數可以寫成三個立方數（整數的三次方）之和？數學家米拿（J. C. P. Miller）及胡列特（M. F. C. Wollett）在1955年發表論文，他們研究以下這條方程式︰

x³ + y³ + z³ = k

但只容許x, y, z, k是整數。換個說法，就是看哪一些正整數k可以寫成三個立方數之和（只要找到正整數的答案，就可得出相應負整數的答案）。

有一類數字（本文中數字均指整數）不可能寫成三個立方數之和︰除以9後餘數是4或者5的數字（原因見文末）。但除了這些數字以外，其他數字是否全部都可以寫成三立方和？這正是數學界尚未解決的問題。

搜尋答案

在未有數學證明之前，數學家可以先找一下到底哪些數字可以寫成三立方和，以便研究有沒有甚麼特別規律。米拿及胡列特利用電腦運算尋找k在小於100時的答案，而在100或以下78個有可能的數字中，當時只有9個數字未找到答案︰30, 33, 39, 42, 52, 74, 75, 84, 87。

即使有電腦協助，搜尋答案亦非易事，因為x, y, z三個答案的位數可以很大，例如29可以寫成3³+1³+1³，但當k=30時，x, y, z的答案是9位及10位數字（這是在1999年發現的）。此外，即使目前未找到答案，仍有可能是搜尋的數字不夠多。

Numberphile影片截圖

其後數學家以電腦進一步搜索，找到更多答案，直到2016年候士文（Sander G. Huisman）找到的多個答案後，在1000以下只有13個數字尚未清楚是否能寫成三立方和，而100以下則只有33及42兩個數字。

布卡這篇論文採用了跟了過去有別的演算法搜尋答案，給定某個數字B作為上限、對於特定數字k的情況下，如果k可以寫成三立方之和，而且絕對值最小那個數字小於B，布卡的演算法就能夠找到這組答案（過往的演算法需要最大的數字小於B）。他亦用上其他技巧，令到演算法搜尋答案的時間縮短。

在論文中，布卡表示搜尋了33及42能否寫成三立方和，上限是16位數字，而33的答案正好是三個16位數字，但42則未能找到答案。因此，尚未判斷能否寫成三立方和的最小數字就由33變成42，而假如布卡關於其演算法的證明正確，42的答案將會是更多位的數字。

當然，另一個可能是42無法寫成三立方和，但直到有數學家提出嚴格證明之前，只能夠繼續搜尋。

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附錄︰為何有些數字不能寫成三立方之和？

上文提到，除以9以後餘數是4或者5的數字（4, 5, 13, 14, 22, 23…）不可能寫成三個立方數之和，以下提出證明。

為方便起見，先簡單介紹「同餘算術」（modular arithmetic）及其符號。如果兩個數字a, b除以n後餘數相同，我們會以 a ≡ b (mod n) 表示，例如 13 ≡ 4 (mod 9), 23 ≡ 5 (mod 9)；我們亦可使用負數，例如 8 ≡ -1 (mod 9)。

如使用另一個說法，a ≡ b (mod n) 的意思是存在整數k，使得 a = n×k+b 成立。

假設 a ≡ b (mod n) 及 c ≡ d (mod n)，我們可以得出 a+c ≡ b+d (mod n) 以及 a×c ≡ b×d (mod n)。例如我們知說 10 ≡ 1 (mod 9)、3 ≡ 21 (mod 9)，左右兩邊一起相加可得出 13 ≡ 22 (mod 9)、相乘可得出 30 ≡ 21 (mod 9)。（使用上一段的定義就可證明。）

我們亦需要一個輔助結果︰任何立方數除以9以後，餘數必定是0, 1, 8。我們需要證明，對於任何一個整數n，以下其中一個結果必定成立︰

• n³ ≡ 0 (mod 9)
• n³ ≡ 1 (mod 9)
• n³ ≡ -1 (mod 9)

證明如下。

任何整數 n 都可以寫成 3k、3k+1 或 3k-1 的形式，當中 k 是整數（因為 n 除以 3 的餘數只有 0, 1, 2 三個可能）。

• 假設 n = 3k，n³ = (3k)³ = 27k³，因此 n³ 能被9整除，換言之 n³ ≡ 0 (mod 9)。
• 假設 n = 3k+1，n³ = (3k+1)³ = 27k³ + 27k² + 9k + 1，，因此 n³ ≡ 1 (mod 9)。
• 假設 n = 3k-1，n³ = (3k-1)³ = 27k³ - 27k² + 9k - 1，，因此 n³ ≡ -1 (mod 9)。

以上結果顯示，對於任何整數 x, y, z，並不可能出現 x³ + y³ + z³ ≡ 4 (mod 9) 以及 x³ + y³ + z³ ≡ -4 (mod 9) 兩個情況，因此三個立方數加起來再除以9，餘數永遠不會是4或者5。

參考資料︰

• 33 can be written as the sum of three cubes (The Aperiodical)
• Cracking the Problem with 33 (Andrew R. Booker 2019)
• Newer sums of three cubes (Sander G. Huisman 2016)
• New integer represen-tations as the sum of three cubes (Michael Beck et al. 2007)
• Solutions of the Diophantine Equation: x³+y³+z³=k (J. C. P. Miller and M. F. C. Woollett 1955)