在意想不到的地方遇見π

在意想不到的地方遇見π
Photo Credit: Anthony Behar / Newscom / 達志影像
我們想讓你知道的是

一條計算物件碰撞次數的題目,答案居然出現π的身影。

唸給你聽
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π是個無限而且不循環的小數,要計算出π的近似值,除了畫一個圓形,量度圓周及直徑,再把兩數字相除外,還有沒有甚麼方法?

小時候我曾在書中讀過一個故事︰數學家布豐(Comte de Buffon)畫下多條等距的平行線,叫人擲一些短針上去(針的長度要比平行線之間的距離短),再點算有多少支針跟跟平行線相交——然後就能推算出圓周率π的近似值。

當時我完全不知道到底發生甚麼事,只覺神秘。後來知道這是「布豐投針問題」[1],透過微積分計算短針與平行線相交的機會率,可發現答案的公式會出現π,而布豐的方法是透過實驗估算答案,利用公式反過來推算π的近似值。

如果不想擲針,數學家發現了大量可以計算π的公式,以下是其中四條[2]

pi_formulas

不過我認為計算π最離奇的方法,來自在YouTube頻道3Blue1Brown看到的數學影片,內容源於數學家加佩連(Gregory Galperin)2003發表的一篇論文[3]

這個離奇方法涉及一條物理問題。設想有一大一小兩個立方體及一道牆(另一邊是無限寬闊的空間),較近牆的小立方體重1公斤,大立方體則重100公斤。這是一個理想的物理世界,沒有磨擦力,物件之間只有「完全彈性碰撞」——在碰撞期間不會損失能量。

如果我們把大立方體推向牆,它會滑向小立方體,然後把後者撞向牆。大立方體速度會減慢,小立方體撞牆反彈後又會再跟大立方體相撞,像彈珠一樣來回多次,直到最後一次——小立方體跟大立方體都背向牆滑行,而且不再碰撞。

問題是,這段期間總共有多少次碰撞?答案是31次。乍看之下沒甚麼特別,但令人驚診之處在於類似的問題及答案︰

  • 如果大立方體重10,000公斤的話,答案是314次。
  • 如果大立方體重1,000,000公斤的話,答案是3141次。
  • 如果大立方體重100,000,000公斤的話,答案是31415次。

開始見到π的身影了吧?大立方體每重100倍,答案就會多一個位,而且剛好是π的下一個數字。抽象一點說就是,只要大立方體重量是小立方體的100^n倍,總碰撞次數就是一個n+1位數,而且剛好是π以十進制表達時的首n+1個數字。[4]

正如影片所述,這應該是最沒有效率去計算π的方法,但重點不在於實際用途——畢竟人類已經計算π上萬億個位了——而是背後的理由。

為甚麼π會在看似無關的問題出現?詳細解釋可以看上面兩段3Blue1Brown的影片(我猜無法解釋得更好了),我想借此機會談一下如何欣賞數學。

通常提及「數學之美」,不少人會想到一些跟數學有關的圖像,例如簡潔整齊的幾何圖形、華麗複雜的碎形、令人疑惑的莫比烏斯帶(Möbius strip)、黃金比例/分割。有時候則是以視覺形式呈現數學內容,例如用各種顏色去呈現π、列出對稱的數式等。

對某些人來說,數學符號可以是很嚇人的東西(雖然我認為數學很可愛),所以我理解為何不少人想以視覺方式呈現數學內容,讓人知道數學不是沉悶死板的運算。不過我認為數學遠遠不僅於此,以藝術來比喻,數學絕不限於簡約乾淨的抽象畫及令人眼花繚亂的錯視圖像,還有關鍵在視覺以外的概念藝術。

有不少精彩的數學發現像橋樑一樣,能夠把兩個不同領域連接起來。而上面從一條跟碰撞有關的題目,居然能夠從中找到π的身影,看來就不只是橋樑而是瞬間移動了。這一類定理就像巧妙而精準的比喻,能夠把表面上無關的東西結合,帶來嶄新的視角。除了帶來視覺享受外,這同樣是數學觸動人心之處。

就算你看上面的影片時,對當中數學內容似懂非懂,我也希望你能夠感受到它的美。

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註︰

  1. 詳見《維基百科》相關條目英文版見此)。
  2. 四條公式都可以在《維基百科》「Pi」條目中找到。
  3. 論文可見此連結(PDF檔案)。
  4. 其實不是立方體也可以。

核稿編輯︰黎家樂