在意想不到的地方遇見π

π是個無限而且不循環的小數，要計算出π的近似值，除了畫一個圓形，量度圓周及直徑，再把兩數字相除外，還有沒有甚麼方法？

小時候我曾在書中讀過一個故事︰數學家布馮（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon）畫下多條等距的平行線，叫人擲一些短針上去（針的長度要比平行線之間的距離短），再點算有多少支針跟跟平行線相交——然後就能推算出圓周率π的近似值。

當時我完全不知道到底發生甚麼事，只覺神秘。後來知道這是「布馮投針問題」^[1]，透過微積分計算短針與平行線相交的機會率，可發現答案的公式會出現π，而布馮的方法是透過實驗估算答案，利用公式反過來推算π的近似值。

如果不想擲針，數學家發現了大量可以計算π的公式，以下是其中四條^[2]︰

不過我認為計算π最離奇的方法，來自在YouTube頻道3Blue1Brown看到的數學影片，內容源於數學家加佩連（Gregory Galperin）2003發表的一篇論文^[3]︰

這個離奇方法涉及一條物理問題。設想有一大一小兩個立方體及一道牆（另一邊是無限寬闊的空間），較近牆的小立方體重1公斤，大立方體則重100公斤。這是一個理想的物理世界，沒有磨擦力，物件之間只有「完全彈性碰撞」——在碰撞期間不會損失能量。

如果我們把大立方體推向牆，它會滑向小立方體，然後把後者撞向牆。大立方體速度會減慢，小立方體撞牆反彈後又會再跟大立方體相撞，像彈珠一樣來回多次，直到最後一次——小立方體跟大立方體都背向牆滑行，而且不再碰撞。

問題是，這段期間總共有多少次碰撞？答案是31次。乍看之下沒甚麼特別，但令人驚診之處在於類似的問題及答案︰

• 如果大立方體重10,000公斤的話，答案是314次。
• 如果大立方體重1,000,000公斤的話，答案是3141次。
• 如果大立方體重100,000,000公斤的話，答案是31415次。

開始見到π的身影了吧？大立方體每重100倍，答案就會多一個位，而且剛好是π的下一個數字。抽象一點說就是，只要大立方體重量是小立方體的100^n倍，總碰撞次數就是一個n+1位數，而且剛好是π以十進制表達時的首n+1個數字。^[4]

正如影片所述，這應該是最沒有效率去計算π的方法，但重點不在於實際用途——畢竟人類已經計算π上萬億個位了——而是背後的理由。

為甚麼π會在看似無關的問題出現？詳細解釋可以看上面兩段3Blue1Brown的影片（我猜無法解釋得更好了），我想借此機會談一下如何欣賞數學。

通常提及「數學之美」，不少人會想到一些跟數學有關的圖像，例如簡潔整齊的幾何圖形、華麗複雜的碎形、令人疑惑的莫比烏斯帶（Möbius strip）、黃金比例／分割。有時候則是以視覺形式呈現數學內容，例如用各種顏色去呈現π、列出對稱的數式等。

對某些人來說，數學符號可以是很嚇人的東西（雖然我認為數學很可愛），所以我理解為何不少人想以視覺方式呈現數學內容，讓人知道數學不是沉悶死板的運算。不過我認為數學遠遠不僅於此，以藝術來比喻，數學絕不限於簡約乾淨的抽象畫及令人眼花繚亂的錯視圖像，還有關鍵在視覺以外的概念藝術。

有不少精彩的數學發現像橋樑一樣，能夠把兩個不同領域連接起來。而上面從一條跟碰撞有關的題目，居然能夠從中找到π的身影，看來就不只是橋樑而是瞬間移動了。這一類定理就像巧妙而精準的比喻，能夠把表面上無關的東西結合，帶來嶄新的視角。除了帶來視覺享受外，這同樣是數學觸動人心之處。

就算你看上面的影片時，對當中數學內容似懂非懂，我也希望你能夠感受到它的美。

相關文章︰

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註︰

1. 詳見《維基百科》相關條目（英文版見此）。
2. 四條公式都可以在《維基百科》「Pi」條目中找到。
3. 論文可見此連結（PDF檔案）。
4. 其實不是立方體也可以。

核稿編輯︰黎家樂