全壘打王的數學驚喜︰714和715有甚麼特別?

全壘打王的數學驚喜︰714和715有甚麼特別?
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我們想讓你知道的是

全美國4億隻眼睛緊盯,不想錯過這歷史性的一刻。這景況大概就像是那時王建民挑戰大聯盟單季20勝,全台熱血沸騰看實況轉播那樣吧。破紀錄那一刻開始,幾乎全美國都在說這兩個數字「714 vs 715」。全部的人都瘋狂時,數學家也不會例外。

文:陳宏賓(UniMath主編、目前於國立中興大學應用數學系任教)

前幾天,在好友沈俊嚴教授的臉書看到了一件有趣的事情,關於全壘打和數學。追查下去,發現故事實在太有趣了,不能不趕緊寫下分享給各位讀者。

1974年4月8號(45年前的今天),美國職棒大聯盟明星球員漢克阿倫(Henry Aaron)擊出個人生涯第715隻全壘打,打破了將近40年無人能破的紀錄,這項紀錄正是棒球名人堂元老級的超級巨星貝比魯斯(Babe Ruth)所創下的生涯714隻全壘打。

由於貝比魯斯設下的障礙在美國人心中根本是神級的,在他1935年退休那天,生涯全壘打數排行榜上最接近他的只有353個,還不到貝比魯斯的一半!因此,有人能夠挑戰這個障礙,在當時無疑是個最熱門的話題。只要漢克阿倫一站上打擊區,可以想見那個畫面,全美國4億隻眼睛緊盯,不想錯過這歷史性的一刻。這景況大概就像是那時王建民挑戰大聯盟單季20勝,全台熱血沸騰看實況轉播那樣吧。破紀錄那一刻開始,幾乎全美國都在說這兩個數字「714 vs 715」。

全部的人都瘋狂時,數學家也不會例外。

在舉國狂歡的當時,卡爾.帕梅朗斯(Carl Pomerance)是喬治亞大學的數學教授,專長是數論。他好奇大家嘴巴講不停的這兩個數字是否存在什麼特性?他本能地先將兩個數字做質因數分解,發現一個有趣的性質:

714×715 = 2×3×5×7×11×13×17

剛好是連續7個最小的質數相乘。如果把 Pk 定為連續k個最小的質數相乘,不禁讓人好奇,Pk 剛好等於連續兩個整數相乘的情況是不是不太尋常呢?

後來,他們把問題丟給電腦計算,結果發現,在 k

P1 = 1×2
P2 = 2×3
P3 = 5×6
P4 = 14×15
P7 = 714×715

換句話說,如果下一個例子存在的話,那會非常大,這兩個連續數字至少要大於106021

這個數字有多大,一般人可能沒有辦法想像。打個比方好了,根據EMC數位世界研究報告,預計2020年全球數位資訊總量會達到2013年4.4ZB的10倍,44ZB大約是1021 bits(你現在家裡電腦硬碟單位頂多是TB,1TB了不起是1012 bits而已)。也就是說,即使之後每年全球資訊量成長十倍,要達到106021也還需要再6000年。

猜想︰Pk剛好等於連續兩個整數相乘的情況中,P7 = 714×715就是最後一個例子了。

目前這個猜想仍未能解答,有興趣的讀者可以試試看去證明它。由於上述神奇的案例絕無僅有,幾乎也同時宣告這條研究路線劃下了句點。

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圖片來源:Youtube影片截圖
帕梅朗斯教授在2017年為Youtube頻道Numberphile錄製影片的截圖

話說回頭,在帕梅朗斯發現趣味的隔一天,他隨口問了一位正要去上課的同事:「欸~你知道714和715有什麼有趣的性質嗎?」

他的同事就在課堂上問了同樣的問題,結果有位名叫傑瑞米.喬丹(Jeremy Jordan)的大學生,發現了不同的意外驚喜。喬丹注意到714和715有相同的質因數和,意即:

2+3+7+17 = 5+11+13

(714 = 2×3×7×17;而715 = 5×11×13)。

後來,把這樣的兩個連續整數稱為「魯斯-阿倫數對」(Ruth-Aaron pair)。

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魯斯-阿倫數對(如果允許質數重複出現)的前面幾項是:

(5, 6),(8, 9),(15, 16),(77, 78),(125, 126),(714, 715),(948, 949),(1330, 1331)…

意料之外的驚喜

一個大學生意料之外的小觀察,沒想到竟引起了興趣。帕梅朗斯、尼爾森(Carol Nelson)和潘奈(David Penney)3個人後來將這些有趣的觀察,寫成了論文,投稿到一個趣味數學期刊(Journal of Recreational Mathematics)。帕梅朗斯本人表示,當時是以玩笑的心態投稿,單純好玩而已。只是,他從沒想到,這篇論文卻是影響他整個數學生涯的起點。

論文中提出了一項猜測,他們認為魯斯-阿倫數對應該很稀有。用數學的語言就是:

魯斯-阿倫數對在正整數中的密度為零(density 0)。

過沒多久,帕梅朗斯收到了一封讀者寫來的信。這封信出自一位傳奇數學家艾狄胥(Paul Erdős)之手。艾狄胥在信中表示,可以證明魯斯-阿倫數對在正整數中的密度為零這件事,希望去他的學校跟他見面,聊一聊數學。

「我覺得太瘋狂了。當時我只是一個年輕數學菜鳥,寫了篇玩笑性質的文章,然後收到堪稱上個世紀最偉大的數學家之一的艾狄胥教授的信,說要見面討論數學。」

後來,他們就見了面,也很快就寫了論文,發表在數學期刊上。這次會面,對帕梅朗斯的學術生涯造成了極大的影響,他的研究從此受到艾狄胥啟發,一直到1996年艾狄胥過世為止,兩人合作的論文數高達20篇。

帕梅朗斯2017年還拍了一段影片,專門講這段關於棒球、數論和意外驚喜的有趣往事。

先別急著關電腦,故事還沒結束。影片的最後提到,在1995年的時候,位於亞特蘭大的埃默里大學將頒發榮譽學位給艾狄胥,帕梅朗斯受艾狄胥之邀,前往觀禮順便敘舊。到了現場之後,意料之外的是,誰也沒想到,造成他和艾狄胥倆人相識的契機──大聯盟巨星漢克阿倫,也同時獲邀頒發榮譽學位。他簡直不敢相信這個事情。於是把握時機上前攀談,向漢克阿倫說了這段往事。

「漢克阿倫!你是改變了我數學生涯的人。」

阿倫聽了則是以為他遇到了瘋子。

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圖片來源:Youtube 影片截圖
Numberphile影片中的截圖

帕梅朗斯當然也不忘趁機介紹艾狄胥和漢克阿倫認識,他們坐下來談了一會兒,並留下了合影。有趣的是,帕梅朗斯做出一般球迷會做的要求,他讓漢克阿倫簽名在一顆棒球上,同時,艾狄胥也在上面簽了名字。帕梅朗斯笑著說︰「漢克阿倫的艾狄胥數也是1,雖然他們沒有合作發表論文,但是他們合作在棒球上簽了名字。」

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圖片來源:Youtube 影片截圖
Numberphile影片中的截圖

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城鄉均好、全民均享的理想生活,就用科技來實現吧——你需要的健康照護服務,現正上線中

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photo credit:先進醫資AdvMeds

我們想讓你知道的是

後疫情時代,零接觸服務的需求,使得智慧科技的角色愈發重要,智慧城鄉計畫與先進醫資共同推動人工智慧影像辨識技術,擴大既有的共照雲服務,協助民眾獲知疫情訊息,為民眾建立個人自主健康照護服務。

在科技不斷進步的過程中,許多過去不存在的工具,到今日已成為現實。2008年「智慧地球」的概念出現後,全球便開始推動智慧城市的發展。臺灣向來以科技之島自居,自然也不例外。在政府多年來力求數位轉型的政策下,臺灣進入了「智慧城鄉」的時代;所謂智慧城鄉,是運用大數據、物聯網、AI人工智慧等科技,串連市民、產業與地方,以創新的方式讓彼此有效溝通,並針對地方的特色和需求提供客製化服務,進而改善人民的生活品質。

把問題當作燃料,用科技強化服務力

然而,城鄉發展必然會有不均的問題,藉由科技介入、釐清現實痛點的立意雖良善,卻也無法忽視城鄉間的數位落差。在偏鄉地區因為人口流失、高齡化、科技產品使用率較城市低,數位化的腳步自然較為緩慢,向來是各項服務設施鞭長莫及之處。

先進醫資從2018年開始,在經濟部工業局「普及智慧城鄉生活應用計畫」的支持下,在高雄、屏東與澎湖發展「雄健康打造智慧樂活社區共照應用服務」(以下簡稱「雄健康」)。當時總經理黃兆聖就非常清楚,首先要解決的就是資源不足、人力不足、缺乏回饋三大問題,而數位化、智慧科技等創新力量,正好可以有效的連結偏鄉生活需求與痛點,讓在地化、客製化的服務與設施,全面提升民眾的醫療照護品質。

用最體貼的科技,讓照護範圍沒有邊界

「雄健康」計畫的目標,是在衛生所、醫療院所、長照據點、社區活動中心及商業通路等多元化的據點,設立「智慧健康照護站」,提供血壓機、血氧機、血糖機等生理量測設備的整合服務,同時還支援多種身分識別登入、數據隨身、遠距諮詢、銀髮族健康管理量表等功能,讓市民可以依自己習慣的生活圈,就近接受基礎的照護服務,並且養成定期自主量測的習慣。這些健康紀錄將會上傳雲端、整合數據,不只可以將結果傳送給自己作為提醒,在民眾實際就診時,也能成為醫生評斷的參考,協助醫護人員及早發現異常或是調整用藥,大幅降低醫療資源及人力不足的問題。

同樣對提升醫療資源與人力應用效率有幫助的還包括「雄健康」計畫中的客服機器人腳本。這個功能是針對不同客戶需求,開發多達50種服務的腳本客服機器人,用來即時解決民眾常見的健康問題。只要民眾對自己的健康狀況有疑慮,就可以詢問線上客服機器人,並獲得最初步的協助。最重要的是,這個客服機器人以國人常用的社交軟體LINE作為平台。有鑒於LINE的普及率高,使用者無需重新下載及適應新軟體,對年長者來說更是友善,使用意願便明顯提高,如此一來,為民眾所建立的個人自主健康照護服務,就這樣一步一步地建立起來了。

立基於「雄健康」在高屏地區和澎湖的發展十分順利,2021年開始便積極與臺南、臺中、高雄、屏東、金門地方政府合作,務求達到更深入、體貼的服務,發展出獨特的「健康共照雲」系統。

靈活因應疫情變化,滾動式修正共照雲服務

原本是為了打造數位醫療照護服務而發展的共照雲,參考了「雄健康」所建立的數位化照護服務內容,同樣使用LINE作為平台,目標同樣是為了解決偏鄉資源和人力不足的問題。沒想到今年五月,在傳染力更為強大的Omicron變異株的肆虐下,疫情擴散迅速,臺南市共照雲的發展也臨危受命,在短短五天之內將服務上線,主要協助民眾獲知疫情訊息、確認自身狀況,另外也提供下載居家隔離單、施打疫苗、申請補助等服務內容。在疫情猛烈的攻勢下,共照雲成為市府、醫療院所與民眾溝通、解惑的最佳橋樑,甚至做到AI快篩辨識服務,協助許多臺南偏鄉地區的民眾不需冒險接觸人群,線上就可以判斷是否確診,後續再由醫療人員介入協助,減少很多不必要的擔心和移動。

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photo credit:智慧城鄉計畫
臺南市衛生局長許以霖與先進醫資總經理黃兆聖。

同時,客服機器人,也在疫情期間提供了最佳輔助。在衛生局、先進醫資和醫療院所的共同努力之下,不斷地優化、精進客服機器人腳本。無論市民為確診者、居隔者、密切接觸者⋯⋯盡可能讓每一個人都能在機器人的服務中,找到問題的解答。臺南市衛生局長許以霖表示:「對抗疫情,臺南市的目標很明確,就是要讓就診人數維持在醫療量能之下。客服機器人的出現,減輕了醫護人員疲於接電話、回答民眾問題的瑣碎流程,更能專心在照顧中、重症患者,在疫情大爆發期間不至於崩潰,如此才能真正守住所有市民的健康。」

當然,疫情是一時的,市民的健康才是長久的,「健康共照雲」的目標,是希望可以透過民眾健康紀錄的數據化,成為日常自主照護的重要幫手。下一步,先進醫資希望能跨縣市留存健康資料,成為全國性的第一線照護服務。而這些數據,都將成為中央和地方政府參考的基準,以便未來做到精準打造各縣市的特色照護服務。

以人為本,發展城鄉均好的未來

在2025年即將邁入超高齡社會的前提下,如何幫助國人健康、安心地迎向老年,已是國家與全民必須面對的重大課題。與此同時,臺灣也是一個充滿創新能量、技術發展快速的地方,所以過去所面臨的困難,今日已可以透過科技來解決。

「智慧城鄉計畫」從2018年起,持續針對地方需求,鼓勵業者提出新興解決方案,在推動健康領域方面,不僅是智慧照護,包含遠距醫療、健康量測、智慧運動以及登革熱防治等,都秉持著以人為本的初心,以科技的力量來照顧臺灣這片土地上的每一個人,透過政府和企業攜手合作,協助地方數位轉型,並降低城鄉之間的落差,共同建立一個城鄉均好、全民均享的理想未來。

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