全壘打王的數學驚喜︰714和715有甚麼特別?

全壘打王的數學驚喜︰714和715有甚麼特別?
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全美國4億隻眼睛緊盯,不想錯過這歷史性的一刻。這景況大概就像是那時王建民挑戰大聯盟單季20勝,全台熱血沸騰看實況轉播那樣吧。破紀錄那一刻開始,幾乎全美國都在說這兩個數字「714 vs 715」。全部的人都瘋狂時,數學家也不會例外。

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文:陳宏賓(UniMath主編、目前於國立中興大學應用數學系任教)

前幾天,在好友沈俊嚴教授的臉書看到了一件有趣的事情,關於全壘打和數學。追查下去,發現故事實在太有趣了,不能不趕緊寫下分享給各位讀者。

1974年4月8號(45年前的今天),美國職棒大聯盟明星球員漢克阿倫(Henry Aaron)擊出個人生涯第715隻全壘打,打破了將近40年無人能破的紀錄,這項紀錄正是棒球名人堂元老級的超級巨星貝比魯斯(Babe Ruth)所創下的生涯714隻全壘打。

由於貝比魯斯設下的障礙在美國人心中根本是神級的,在他1935年退休那天,生涯全壘打數排行榜上最接近他的只有353個,還不到貝比魯斯的一半!因此,有人能夠挑戰這個障礙,在當時無疑是個最熱門的話題。只要漢克阿倫一站上打擊區,可以想見那個畫面,全美國4億隻眼睛緊盯,不想錯過這歷史性的一刻。這景況大概就像是那時王建民挑戰大聯盟單季20勝,全台熱血沸騰看實況轉播那樣吧。破紀錄那一刻開始,幾乎全美國都在說這兩個數字「714 vs 715」。

全部的人都瘋狂時,數學家也不會例外。

在舉國狂歡的當時,卡爾.帕梅朗斯(Carl Pomerance)是喬治亞大學的數學教授,專長是數論。他好奇大家嘴巴講不停的這兩個數字是否存在什麼特性?他本能地先將兩個數字做質因數分解,發現一個有趣的性質:

714×715 = 2×3×5×7×11×13×17

剛好是連續7個最小的質數相乘。如果把 Pk 定為連續k個最小的質數相乘,不禁讓人好奇,Pk 剛好等於連續兩個整數相乘的情況是不是不太尋常呢?

後來,他們把問題丟給電腦計算,結果發現,在 k < 3050 的所有情況下,只有下列5種例子:

P1 = 1×2
P2 = 2×3
P3 = 5×6
P4 = 14×15
P7 = 714×715

換句話說,如果下一個例子存在的話,那會非常大,這兩個連續數字至少要大於106021

這個數字有多大,一般人可能沒有辦法想像。打個比方好了,根據EMC數位世界研究報告,預計2020年全球數位資訊總量會達到2013年4.4ZB的10倍,44ZB大約是1021 bits(你現在家裡電腦硬碟單位頂多是TB,1TB了不起是1012 bits而已)。也就是說,即使之後每年全球資訊量成長十倍,要達到106021也還需要再6000年。

猜想︰Pk剛好等於連續兩個整數相乘的情況中,P7 = 714×715就是最後一個例子了。

目前這個猜想仍未能解答,有興趣的讀者可以試試看去證明它。由於上述神奇的案例絕無僅有,幾乎也同時宣告這條研究路線劃下了句點。

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圖片來源:Youtube影片截圖
帕梅朗斯教授在2017年為Youtube頻道Numberphile錄製影片的截圖

話說回頭,在帕梅朗斯發現趣味的隔一天,他隨口問了一位正要去上課的同事:「欸~你知道714和715有什麼有趣的性質嗎?」

他的同事就在課堂上問了同樣的問題,結果有位名叫傑瑞米.喬丹(Jeremy Jordan)的大學生,發現了不同的意外驚喜。喬丹注意到714和715有相同的質因數和,意即:

2+3+7+17 = 5+11+13

(714 = 2×3×7×17;而715 = 5×11×13)。

後來,把這樣的兩個連續整數稱為「魯斯-阿倫數對」(Ruth-Aaron pair)。

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魯斯-阿倫數對(如果允許質數重複出現)的前面幾項是:

(5, 6),(8, 9),(15, 16),(77, 78),(125, 126),(714, 715),(948, 949),(1330, 1331)…

意料之外的驚喜

一個大學生意料之外的小觀察,沒想到竟引起了興趣。帕梅朗斯、尼爾森(Carol Nelson)和潘奈(David Penney)3個人後來將這些有趣的觀察,寫成了論文,投稿到一個趣味數學期刊(Journal of Recreational Mathematics)。帕梅朗斯本人表示,當時是以玩笑的心態投稿,單純好玩而已。只是,他從沒想到,這篇論文卻是影響他整個數學生涯的起點。

論文中提出了一項猜測,他們認為魯斯-阿倫數對應該很稀有。用數學的語言就是:

魯斯-阿倫數對在正整數中的密度為零(density 0)。

過沒多久,帕梅朗斯收到了一封讀者寫來的信。這封信出自一位傳奇數學家艾狄胥(Paul Erdős)之手。艾狄胥在信中表示,可以證明魯斯-阿倫數對在正整數中的密度為零這件事,希望去他的學校跟他見面,聊一聊數學。

「我覺得太瘋狂了。當時我只是一個年輕數學菜鳥,寫了篇玩笑性質的文章,然後收到堪稱上個世紀最偉大的數學家之一的艾狄胥教授的信,說要見面討論數學。」

後來,他們就見了面,也很快就寫了論文,發表在數學期刊上。這次會面,對帕梅朗斯的學術生涯造成了極大的影響,他的研究從此受到艾狄胥啟發,一直到1996年艾狄胥過世為止,兩人合作的論文數高達20篇。

帕梅朗斯2017年還拍了一段影片,專門講這段關於棒球、數論和意外驚喜的有趣往事。

先別急著關電腦,故事還沒結束。影片的最後提到,在1995年的時候,位於亞特蘭大的埃默里大學將頒發榮譽學位給艾狄胥,帕梅朗斯受艾狄胥之邀,前往觀禮順便敘舊。到了現場之後,意料之外的是,誰也沒想到,造成他和艾狄胥倆人相識的契機──大聯盟巨星漢克阿倫,也同時獲邀頒發榮譽學位。他簡直不敢相信這個事情。於是把握時機上前攀談,向漢克阿倫說了這段往事。

「漢克阿倫!你是改變了我數學生涯的人。」

阿倫聽了則是以為他遇到了瘋子。

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圖片來源:Youtube 影片截圖
Numberphile影片中的截圖

帕梅朗斯當然也不忘趁機介紹艾狄胥和漢克阿倫認識,他們坐下來談了一會兒,並留下了合影。有趣的是,帕梅朗斯做出一般球迷會做的要求,他讓漢克阿倫簽名在一顆棒球上,同時,艾狄胥也在上面簽了名字。帕梅朗斯笑著說︰「漢克阿倫的艾狄胥數也是1,雖然他們沒有合作發表論文,但是他們合作在棒球上簽了名字。」

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圖片來源:Youtube 影片截圖
Numberphile影片中的截圖

帕梅朗斯一直收藏著這顆意義重大的棒球。只是,由於簽名的筆跡退色了,他倆的簽名字跡都已經消失無法用肉眼瞧見。

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Numberphile 影片中的截圖

本文經UniMath授權刊登,原文刊載於此

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責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航