《數學的故事》︰數學也可以做實驗——估算π的「布豐投針實驗」

文：蔡天新

布豐的實驗與蒙地卡羅

風格即人。
寫作能力包括思想、感覺和表達，內心的明晰，味覺和靈魂。——布豐

有趣的投針實驗

18世紀某日，法國博物學家布豐（Comte de Buffon）邀請了許多朋友來家中做客，席間一起做了個實驗。布豐先在桌上鋪好一張大白紙，白紙上畫滿了等距離的平行線，再拿出很多等長的小針，小針的長度剛好是相鄰平行線間距的一半。布豐說：「請大家隨意把這些小針往白紙上扔！」客人們紛紛照他所說的做。

他們總共投擲了2212枚小針。統計結果表明，與紙上平行線相交的有704枚，2210÷704≈3.142。布豐說：「這是π的近似值。每次實驗都會得到圓周率的近似值，而且投擲次數愈多，求出的圓周率近似值就愈精確。」這就是著名的「布豐實驗」。

布豐發現，如果選用的小針長度固定，那麼有利扔出（扔出的針與平行線相交）與不利扔出（扔出的針與平行線不相交）的次數之比，就是一個包含π的運算式。特別的是，如果小針的長度是平行線距離的一半，那麼有利扔出的概率恰好為1/π。

布豐投針問題的實驗數據

下面是利用這個公式，用概率法獲得圓周率近似值的歷史資料。

Photo Credit: 時報出版提供

其中，義大利人拉澤里尼在1901年投針3408次後，得出的圓周率近似值為3.1415929，精確到小數點後六位。只不過他的實驗資料遭到了美國猶他州韋伯州立大學的巴傑教授的質疑。但無論如何，透過幾何、概率、微積分等不同領域和多種管道均可求取π的值，這仍然令人驚訝。

布豐投針實驗是第一個用幾何方式來表達概率問題的例子，也是首次利用隨機實驗來處理確定性的數學問題，它推動和促進了概率論的發展。

布豐投針問題的證明

找一根鐵絲做成圓圈，使其直徑恰好等於兩條平行線的間距d。不難想像，對於這樣的圓圈來說，不管怎麼扔，都會與平行線有兩個交點。這兩個交點可能在一條平行線上，也可能在兩條平行線上。因此，如果投擲圓圈的次數為n，那麼交點總數必為2n。

現在把圓圈打開，變成一根長度為πd的鐵絲。顯然，這根鐵絲投擲後與平行線相交的情形要比圓圈複雜，共有五種情況：四個交點，三個交點，兩個交點，一個交點，無交點。

由於圓圈和直線的長度同為πd，根據機會均等原理，當投擲較多次且投擲次數相等時，兩者與平行線交點的總期望值應該是一樣的。也就是說，當長度為πd的鐵絲被投擲n次時，與平行線的交點總數也應該約為2n。

現在來討論鐵絲長度為l的情形。隨著投擲次數n的增加，鐵絲與平行線的交點總數m應當與長度l成正比，因而有m=kl，其中k是比例係數。

為了求出k，考慮到當l=πd時的特殊情形，有m=2n。由此可得k=2n/πd，代入上式(m=kl)，有：m/n=2l//πd。

特別地，取l=d/2，便可得到布豐的結果，即m/n=1/π。這個證明多多少少比較直觀，若學了高等數學，還可以用概率論和微積分的方法提出更嚴格的證明。

皇家植物園園長

有趣的是，布豐的名字與義大利尤文圖斯（編按︰Juventus，港譯祖雲達斯）守門員兼義大利足球隊隊長布馮（編按︰港譯保方）的名字拼法相同，均為Buffon，只不過前者是法國人，後者是義大利人；前者生活在18世紀，後者則與我們同年代。

布豐出生於盛產美酒的勃艮第小官吏之家，母親頗有人文修養。他十六歲時前往第戎的學院讀書，雖然喜歡數學，卻不得不遵從父命學習法律。此番經歷與他的同齡人、瑞士數學家歐拉相似，那會兒歐拉在離第戎不遠的巴塞爾大學，聽從父親之意攻讀神學和希伯來語。原因在於，對於非顯貴家庭出身的年輕人來說，牧師、醫生和律師不失為安身立命的三個好職業，歐拉卻偏偏對數學情有獨鍾。

歐拉20歲時隻身前往俄國的聖彼得堡科學院，先在醫學部，後來轉到數理學部，憑藉自己的鑽研和努力，成為17世紀最偉大的數學家，也被譽為歷史上最偉大的四位數學家之一。布豐同樣是在21歲時，轉往法國西部的昂熱大學攻讀醫學、植物學和數學，並結識了一位在歐洲大陸旅行的英國公爵，陪他去了不少地方，也多次隨他前往英國，後來還成為英國皇家學會會員。

25歲時，布豐的母親去世，他回到故鄉經營自家農場。他經常去巴黎，是文學和哲學沙龍的常客，並結識了伏爾泰等知識分子，自己也著作等身。他認為，寫作能力包括思想、感覺和表達，內心的明晰，味覺和靈魂。布豐在46歲那年當選為法蘭西學院院士，就像20世紀的數學天才龐加萊（Henri Poincaré），同時站在科學與人文兩大領域的頂峰。

布豐32歲時被任命為巴黎皇家植物園園長，直到去世都擔任此職。他致力於把植物園辦成學術和研究中心，從世界各地購買或獲取新的植物和動物標本。布豐翻譯過英國植物學家黑爾斯（Stephen Hales，第一個測量血壓的人）的《植物志》（Vegetable Staticks）和牛頓的《流數法與無窮級數》（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum），並探索了牛頓和萊布尼茨發現微積分的歷史過程。布豐還主編巨著《自然史》，原計畫出50卷，在他去世前出了36卷。

布豐生前以博物學家的身分和自然史方面的著作聞名，並以「風格即人」的理念為人稱道和傳世。這就像北宋的政治家沈括，因為寫了《夢溪筆談》而被公認是偉大的博物學家，在數學、物理學、地質學等方面同樣卓有成就。布豐的興趣也非常廣泛，且在多個領域均有重要建樹。