《數學的故事》︰數學也可以做實驗——估算π的「布豐投針實驗」

布豐是最早提出要將地質史按照時期劃分，並發表太陽與彗星碰撞產生行星此一理論的人。他還率先提出物種絕跡說，促進了古生物學的研究。不過，他說新世界（指美洲）的物種之所以不如歐亞大陸，缺乏大型和強大物種，男子氣概的人也少於歐洲，是因為美洲大陸沼澤的氣味和茂密的森林，大大激怒了湯瑪斯．傑佛遜（Thomas Jefferson），派出20個士兵去新罕布夏州森林尋找公鹿，好向布豐展示「美國四足動物的雄壯和威嚴」。

布豐45歲時娶了一位來自故鄉沒落貴族世家的小姐，他們的第二個孩子倖免夭折，五年後卻面臨母喪，布豐又在他八歲時病重，幸好隔年病情就好轉，從此父子平安無事。布豐後來活到81歲，晚年當選為美國藝術與科學學院的外籍院士。

蒙地卡羅方法

如同前文提到的布豐投針試驗，透過概率實驗的方法來估計某一個隨機變數的期望值，這樣的方法被稱為蒙地卡羅方法。

蒙地卡羅是全球馳名的賭城，位於法國國界內離義大利不遠的摩納哥，傍依地中海海濱，屬於風景如畫的「蔚藍海岸」一部分。奧斯卡電影《蝴蝶夢》曾在這裡取景，一級方程式賽車在這裡也設有一站。我年輕時遊歷此地，發現它與美國的拉斯維加斯和大西洋城不同，要求客人西裝革履，穿短褲或拖鞋者謝絕入內。

蒙地卡羅方法是美國在二戰期間執行研製原子彈的「曼哈頓計畫」時提出來的，主要歸功於波蘭人烏拉姆（Stanislaw Ulam）和匈牙利人馮．諾依曼這兩位猶太籍數學家。馮．諾依曼以賭城蒙地卡羅之名為此方法命名，也為它罩上了一層神祕面紗。其實在此之前，蒙地卡羅方法就已存在，比如布豐實驗。如今，蒙地卡羅方法在原子物理學、固態物理學、化學、生態學、社會學與經濟行為學等領域均獲得廣泛應用。下面，我們再舉兩個例子。

• 例一：把布豐實驗做個推廣，利用鈍角三角形的邊長計算圓周率。

任意給三個正數，以它們為邊長，可以圍成一個鈍角三角形的概率P也與π有關，這個概率為(π–2)/4。證明如下：

設這三個正數為x、y、z，而且 x≦y≦z。對於每一個確定的 z，考慮到一個三角形任意一邊的長度小於另外兩邊的長度之和，故滿足 x+y>z, x^₂+y_²2（後一個不等式成立是因為鈍角三角形和畢氏定理）。

我們很容易證明，這兩個不等式即為以這三個正數為邊長可圍成鈍角三角形的充分必要條件。因此，滿足假設條件的 (x, y) 的可行區域為直線 x+y=z 與圓 x²+y²=z² 所圍成的小弓形，而 (x, y) 的總可行區域為一個邊長為z的正方形。這樣一來，以三個正數為邊長可以圍成一個鈍角三角形的概率為

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由此可見，這個概率與z的選取無關。因此，對於任意正數 x、y、z，均有 P = (π–2)/4，命題得證。

為了估算π的值，我們得透過實驗來估計其概率，過程可交由電腦程式設計來實現。事實上，x+y > z, x²+y² < z² 等價於 (x+y–z)(x²+y²–z²) <0，因此只需檢驗後一個不等式是否成立即可。若進行了m次隨機實驗，有n次滿足該不等式，那麼當m夠大時，n/m 會趨近於 (π–2)/4。而若令 n/m = (π–2)/4，可求得 π = 4n/m+2，由此即能估計出π的近似值。

• 例二：利用蒙地卡羅方法，求任意曲邊梯形的池塘面積。

蒙地卡羅方法的基本概念是：先建立一個概率模型，使所求問題的解正好是該模型的參數或其他相關的特徵量。再透過模擬某個統計實驗，即多次隨機抽樣實驗（確定m和n），統計出該事件發生的百分比。只要實驗次數夠多，該百分比便近似於事件發生的概率，這其實就是概率的統計學定義。

可以說，蒙地卡羅方法屬於實驗數學的一種。它的適用範圍很廣泛，既能求解確定性的問題，也能求解隨機性的問題，甚至可以探索科學研究中的理論問題。例二告訴我們，如何利用蒙地卡羅方法近似計算定積分，這屬於數值積分問題。那麼，任意曲邊梯形形狀的池塘面積，應該怎樣測算呢？

設計方案是：如下圖所示，假定池塘位於一塊面積已知的矩形農田中央，隨機朝農田扔泥巴，泥巴可能會濺起水花（落在池塘內），也可能不會（落在池塘外）。估計「濺起水花」的泥巴數占總泥巴數的百分比，便可根據該比例和農田面積近似算出池塘的面積。

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書籍介紹

本文摘錄自《數學的故事》，時報出版
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作者：蔡天新

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核稿編輯：翁世航