數學考題「簡單化」,可是你知道真實世界有多複雜嗎?

數學考題「簡單化」,可是你知道真實世界有多複雜嗎?
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今年國中會考出現一題「簡單」的數學問題,看完本題,感覺似乎非常生活化,但是當筆者靜下心,用手指沾個水在腦袋上畫個圈,於此完美犯案的場景中,靈光一閃地說出柯南的招牌對白:「犯人,就在題目中!」

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文:舒宇宸(台灣大學應用數學博士)

「簡單」的數學題目

今(2019)年國中會考出現一題「簡單」的數學問題(圖一)。以題目所提供的防護率公式,在第一小題由防護率反推防曬指標SPF,並於第二小題由SPF推導防護率。題目定義,SPF 25的防護率是24 ⁄ 25 = 96%,SPF 50 則 是 49 ⁄ 50 = 98%,代表第二代防曬乳液只比第一代多提供2%的防護率,所以此文宣並不合理。

看完本題,感覺似乎非常生活化,但是當筆者靜下心,用手指沾個水在腦袋上畫個圈,於此完美犯案的場景中,靈光一閃地說出柯南的招牌對白:「犯人,就在題目中!」

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圖片來源:國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心
圖一:108年度國中會考數學科非選擇題第一題。(圖片來源:國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心) 
李組長眉頭一皺,案情似乎不單純

108課綱採取素養導向,看得出大考中心試圖讓數學考題取材生活化,以檢驗學生是否能運用數學解決問題。可是瑞凡,你知道真實世界有多複雜嗎?防曬係數的問題留在課堂中探究會是一個非常好的課題,但基於這是數學考卷,那就只好假裝「簡單」地在實驗室中,處理這個數學問題。

SPF 25指塗上防曬乳後只有1 ⁄ 25的灼傷輻射可以通過塗層到達皮膚,假設沒擦防曬乳會在曝曬一分鐘後曬傷,那麼擦了SPF 25防曬乳的曬傷時間就會增加為25分鐘。而SPF 50就只有1 ⁄ 50的灼傷輻射可以傷害皮膚,按時間計算是50分鐘,一堂體育課回來都不會被曬傷呢。

而筆者所說的完美犯案,就是題目的防護率公式,強迫讀者以防護率看待此問題。所以,過程沒有錯,答案也非常完美。但仔細思考,能把皮膚曬傷的部分,應該考慮的變因是會穿透防曬乳的灼傷輻射比例,而非被阻擋掉的比例。因此考慮SPF 25防曬乳的穿透比例是1 ⁄ 25 = 4%,而SPF 50的穿透比例降到1 ⁄ 50 = 2%,不就是少一半的穿透光,提高對皮膚的保護2倍嗎?

這不該是個數學公式跟科學素養起衝突的年代,運用科學或數學解釋生活的情境,不正是希望學生學會的嗎?如果考生以上述穿透比例方式作答,在標準答案的框架下可能不會得分,因為對老師而言,考試的答案要能簡單批改用此考題來測驗科學素養,合適嗎?

媒體素養與神奇的一元

談完科學素養,接著討論媒體素養。這次的會考據說示範如何以數學考題檢驗媒體素養,甚至有粉絲專頁提到讀者曾讀過相關網路文章。

會造成此情況,筆者認為有一類的網路文章是假新聞中較難破解的,舉例來說,一篇假新聞中87%使用數學工具等難以被推翻的過程,接著給讀者豁然開朗的精神刺激,再夾雜著13%的假資訊(註),人們便很容易信以為真。

註釋:87%與13%源於網路用語,並非真實數據。

於是筆者搜尋相關資料,發現之前網路上曾流傳防曬乳從SPF 25到SPF 50防護只有提升2%的文章。筆者沒想到這種不會考也不該考的網路文章,居然真實成為會考的考題。這類文章,常常誤導思考,網路上的數學題「為何多/少了一塊錢」就是一例:

「某人原先口袋中有50元。購買20元的防曬乳與15元的數學考卷,再買9元數學答案卷,再把剩下的6元買零食。然後他就利用試算表將交易的細項做成表格。」
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圖片來源:作者提供
「哇!花費的加總沒錯,但找錢的加總卻比原來多1元!」

此題目讀者或許能一眼看出問題,但是在生活中筆者也曾遇過類似案例,尤其是在記帳時,將消費時找回來的錢記在收入,導致總計越來越多的窘況。

同理,防護率公式並沒錯,只是會引導學生錯誤的思考方向。在今年1月舉辦數學建模黑客松時,就希望學生們學習運用數學方式破除假新聞。當時邀請的師大電機系教授賴以威,示範利用數學分析新聞中的數字估計。他曾在數感實驗室撰寫一篇關於高雄跨年夜市賣出兩萬杯木瓜牛奶新聞的看法。這些案例都是提醒讀者,當看到誇大的新聞或文章時,是不是該靜下心來,思考內容的邏輯與數字的關聯性?筆者感嘆::「這不就是我們希望學生獲得的媒體素養嗎?」

跳脫思考框架與數感活動體悟

其實要處理真實世界的問題,除了簡單的數學,還有許多應考量的因素。舉例來說,在處理學生成績問題時,是否應依照考試的成績結算,還是同理學生在學習上的挫折進行非線性調分?在生活方面,因生活費有限,是否利用數學最佳化規劃預算,或全用在結婚紀念日給內人一個驚喜?

生活中,數學能處理的,僅僅是「簡單」的層面。買禮物付錢是減法,而收禮人的心情雀躍則是魔法。如同忙碌的生活中,會有撰寫此文章的衝動,除了讓學生對會考的題目有正確的認識,另一個關鍵點是今年的數感盃。活動當中,有一篇高中組的得獎作品在網路上被大肆批評,工作團隊及小編出面為該篇作品辯護。但意外的是,原作者來信表示要自己面對,並給出說明。這對一個高中生來說實屬不易,也感動了團隊。當筆者翻閱自己對該篇作品的評審紀錄,筆者在數學上並無給予高分。但由於評審們是一個跨領域的團隊,評分方式不只侷限於數學,進而觸發整起事件。

在思考探究數感盃事件之後,筆者認為這其實是跨領域團隊所帶來的效益,或許上述的會考題目經過物理老師檢視後會有所不同。所以筆者在此也邀請更多數學家能參與類似的跨域活動,轉換一下思想的羅盤,跳脫數學的邏輯框架。

舉例而言,在面對數感盃的新詩或專題寫作,數學與文學的跨域對談,絕不能死守數學非黑即白的領域;其中詩詞間的想像、男女之間的愛情或兄弟之間的義氣等,會感動人的,極少是邏輯推理的結論,反而是人與人之間的情義。

在真實的世界中,如果每件事情都能預料,那還會有驚喜嗎?而不在邏輯推理範圍內的,是人性。而唯一看透真相的,不是柯南,是數學。筆者認為:「如果人們相信數學簡單,那是因為他們已體悟真實世界的複雜。」

本文經科學月刊授權刊登,原文刊載於此

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航

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