《數學,為什麼是現在這樣子?》:樂透號碼開出「123456」的機率特別小嗎?

《數學,為什麼是現在這樣子?》:樂透號碼開出「123456」的機率特別小嗎?
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我們想讓你知道的是

人類玩機率遊戲已經玩了幾千年,這是個數字遊戲,擲出的骰子與轉動的輪盤都相當隨機,想要贏得這些比賽必須非常幸運或是很精通於計算機率和風險。

唸給你聽
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文:安.魯尼

高興點!一切可能從未發生

人類玩機率遊戲已經玩了幾千年,這是個數字遊戲,擲出的骰子與轉動的輪盤都相當隨機,想要贏得這些比賽必須非常幸運或是很精通於計算機率和風險。

簡單的機率很容易理解:如果我們投擲一枚硬幣,有二分之一的機率正面朝上,也有二分之一的機率會是反面朝上;如果投擲很多次,正面和反面出現的次數就會非常接近。這個現象最早被瑞士數學家雅各.伯努利注意到,但該相關著作在他死後(1713年)才出版。

他認為這個現象連笨蛋都能察覺得到,但是,他仍然被視為此現象的發現者,因為他花了20年發展出一套嚴謹的論證來說明這個原理,並稱之為「黃金定理」(Golden Theorem),也就是大家熟知的「大數法則」(the Law of Large Numbers)。賭場依賴的就是這個法則,雖然個別賭徒可能會走好運贏得許多錢,但是整體而言,賭場在輪盤上可以留住所有賭注的5.3%。

在簡單的機率和大數法則之間,有許多更複雜的機率問題。連續投擲一枚硬幣5次,都得到反面的機率為何?如果一次擲3個骰子,得到3個6的機率又是多少?

我們需要做一些機率運算以求得這些值,例如:連續得到5次反面的機率為1/25=1/32,而得到3個6的機率為1/63=1/216。

人類玩機率遊戲已經長達幾千年,但總是無法順利解決不同的機率問題,除非是一些很明顯或很容易計算的機率。

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雖然玩家很可能在短短時間內「擊敗莊家」,但長期而言,賭場很確定能成為贏家。
骰子和混沌

雖然擲骰子和轉輪盤的結果都看似隨機,它們事實上卻是可預測的事件,有規律可循,起始的位置和所有相關條件,包括投擲方向及力道、桌子的表面和骰子的特質都將影響結果。然而由於有太多種狀況可能發生,要將這些狀況量化也十分困難,因此,若要產生結果的模型或計算都困難重重。

機率遊戲

機率是指事件發生的機會或可能性,在17世紀時因為一場賭局而進入數學範疇。雖然卡當諾在1520年代就寫了關於機率遊戲的書,但直到1633年才出版,因此輸給了費馬和巴斯卡。費馬和巴斯卡在往來的書信中討論起一名叫默勒(Chevalierde Mere)的賭徒所提出的問題:

兩名玩家玩純粹機率的遊戲,兩人各出賭金32枚金幣,先贏三局的人可以帶走全部賭金。然而,三局後比賽因故終止,玩家A贏兩局,玩家B贏一局,請問此時要如何分賭金才公平?

兩位數學家都認為玩家A與玩家B的賭金分配是3:1,但各自採取不同解法。

費馬以機率計算答案,他認為只需要再加賽兩局便可分出輸贏,這兩場的贏家有四種可能:AA、AB、BA、BB,只有在最後一種情形下B才能成為贏家,所以他有四分之一的機會獲勝,應分得四分之一的賭金。巴斯卡提出的解法則是根據期望值(expectation),若下一局是B贏,則A與B各有一半機率能贏得32枚金幣;若下一局是A贏,則贏家非A莫屬,因為他已經贏得兩局。這麼說來,A應得到48枚金幣,而B應得到16枚金幣,得出的結果與費馬相同。巴斯卡處理機率的方法得到數學家一致認同。

一切都是公平的......

雖然機率遊戲持續引發數學家的興趣,另一個引起數學家研究機率的動力,則來自於制定公平合約的法律問題。在一個公平的合約中,任何一方都有相同的期望值,這在金錢借貸中是相當重要的核心概念,基督教禁止從金錢借貸中獲取高額利益,因此,貸方被視為投資者,要自己承擔借錢的風險,但也因此可以正當地期待部分獲利。

在17世紀以前,借貸與年金的利率都是固定的,完全不考慮任何關於風險的概念或計算方法。第一篇計算風險的專著出現在1671年的荷蘭,作者是偉特(Jande Wit, 1625-1672),他在諮詢過惠更斯後寫成此書。當時的年金是由國家發售,目的通常是為了籌措戰爭經費,利息則一直訂為年金的七分之一,政府會持續給付直到持有者過世,但持有者的年紀或健康狀況並未納入考慮,政府很顯然並沒有評估必須給付的時間有多長,而這數目可能不小。

然而,儘管偉特能夠看出這個系統的缺失,但由於沒有平均壽命的資料,能做的改善措施很少,真正做到的更是極少。直到1762年,一家名為公正公司(Equitable)的倫敦保險公司,才開始基於計算過的風險或機率來制定保險價格。

就機率而言,上帝存在

直到18世紀,機率才成為一個數學觀念,但是至19世紀為止,機率卻仍普遍被視為基於常識的一種模糊概念。法國數學家拉普拉斯(Pierre-Simon de Laplace, 1749-1827)將機率稱為「以計算來表達的良好判斷力」。

有趣的是,在18世紀時,機率和宗教之間的連結變成自然神學的主題。約翰.阿布斯諾特(John Arbuthnot, 1667-1735)根據倫敦在1629到1710年間所進行的洗禮儀式所得出的統計資料,提出上帝確實存在的證據,他表示男孩的出生率比女孩高一些,接受洗禮的男女孩比例為14:13,然而到了適婚年紀,性別比即呈現平衡狀態,因為年輕男性的死亡率較高。

如果我們假設男孩出生的機率為0.5,那麼未來82年間,每一年男孩出生率都大於女孩的機率即為(0.5)82,這種男孩出生率比女孩高的現象世界各地皆有,阿布斯諾特因而視此為上帝天意的確鑿證據,以使社會保持完美平衡(但他似乎沒有意識到,也有其他能達到完美平衡且無須使這麼多男孩喪生的方法,如此可以避免許多父母遭受喪子的痛苦)。

他的觀點逐漸受到採用和修正,但比較理性的瑞士數學家尼可拉斯.伯努利(Nicolas Bernoulli, 1695-1726)認為男孩的出生率或許不是0.5而是0.5169,如此一來不需要神的干預,就能產生正確的所需結果。

巴斯卡的賭注

在1657與1658年間,巴斯卡寫了一篇哲學文章,描述無神論者的「賭注」。不信神(對巴斯卡而言,即基督教的上帝)的懲罰可能是永遠打入地獄,然而,如果相信神,既便最後證明上帝不存在,信神的代價還是很輕微,至多只是失去一些短暫的快樂以及花費一些無益的時間在教會而已。雖然無神論者可能覺得上帝存在的機率很小,但是,既然輸掉賭注的代價如此高,信仰的代價相較之下相當低,信總比不信好。

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做出決定

就像巴斯卡的賭注,許多決策不僅可能受到對機率的認知影響,也可能因為主觀上想要得到某種結果而受到干涉,或是被人們所熟知的邊際效用(marginal utility)干擾。想像一下,全國性樂透一張值一枚達克特(ducat,18世紀歐洲普遍使用的硬幣),而頭獎為100萬枚達克特。對窮人而言,一枚達克特十分貴重,而獎金更是如此;對富人而言,一枚達克特根本無關緊要,但獎金對他而言還算誘人。

相對於窮人而言,富人比較有能力負擔一枚達克特的賭注,但他並不怎麼需要獎金,所以可能也比較不在意是否要買樂透。雖然窮人和富人購買一張樂透的中獎機率相同,但是對於購買樂透的決定可就大相逕庭。

在1750與1760年代,天花的預防接種是熱門的議題,因為預防接種使用的是活體天花病毒,而少數個案會染上天花(從母牛身上產生的牛痘疫苗是之後才引進的,較為安全)。天花在當時相當普遍,而且通常會致命,即使沒有奪走性命,基本上也會導致終身的傷害,例如眼盲或腦部受損。沒有接種疫苗的人日後會暴露於高風險中,其中有七分之一的機率會因此死亡,有接種疫苗的人在感染天花時比較不容易直接死於此病,之後證明接種者不會死於天花。

丹尼爾.伯努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782)利用純粹數學計算,建議預防接種是唯一明智的抉擇,但是,法國數學家達朗伯特及其他人則認為,比起未來的安全,多數人可能寧願選擇現在多活一、兩週。

獨立性

人們不僅受邊際效用以及達朗伯特所提到的短期利益影響,也會因為沒有任何統計機率根據的迷信而搖擺不定。

想像一下,擲一枚硬幣10次,每次都得到正面的機率為1/210;假設第一次得到正面,則10次都得到正面的機率為1/29;假如前9次都是正面,那麼10次都得到正面的機率為1/2。

現在再假定你要搭乘飛機,你知道死於飛機墜毀的機率是──比方說1/1000000(這不是真實的機率數據);而當你已經安全乘坐1000次後,下一次搭乘時,你的死亡率仍然是1/1000000。前面的搭乘經驗不會影響到這一次發生意外的機率。在這個情況下,事件是獨立的,即便你已經安全搭乘999,999次,或1,000,000次,下一次你的死亡率仍然會是1/1000000。

但是對許多人而言並非如此,我們常認為如果我們至今都很「好運」,那麼好運可能就快用完了。反之也一樣,人們可能每週都挑選同一組樂透號碼,因為他們相信自己的號碼「遲早會出現」,很少人會選擇1,2,3,4,5,6,因為他們(無理性根據)相信這種組合比較不可能中獎。從古到今,這種傾向都無法排除,有人承繼古代迷信相信數字3有特別的屬性,或是將魔術方陣穿戴在身上以期得到保護。

書籍介紹

《數學,為什麼是現在這樣子?:一門不教公式,只講故事的數學課》,臉譜出版
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作者:安.魯尼
譯者:陳敏晧

推翻所有理所當然,數學的演變史比你想的還要漫長精采!

你知道為什麼大部分地區的人都是用阿拉伯數字嗎?你知道 在古代曾經被判定是不合法,不可以公開宣揚的祕密嗎?另外,你知道如果把全世界的東西都變成墨水,仍然無法寫完那個「有史以來最大的數字」嗎?

一堂不用計算,沒有標準答案,充滿精采故事的數學課即將開始……。

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責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航