《數學，為什麼是現在這樣子？》：樂透號碼開出「123456」的機率特別小嗎？

文：安．魯尼

高興點！一切可能從未發生

人類玩機率遊戲已經玩了幾千年，這是個數字遊戲，擲出的骰子與轉動的輪盤都相當隨機，想要贏得這些比賽必須非常幸運或是很精通於計算機率和風險。

簡單的機率很容易理解：如果我們投擲一枚硬幣，有二分之一的機率正面朝上，也有二分之一的機率會是反面朝上；如果投擲很多次，正面和反面出現的次數就會非常接近。這個現象最早被瑞士數學家雅各．伯努利注意到，但該相關著作在他死後（1713年）才出版。

他認為這個現象連笨蛋都能察覺得到，但是，他仍然被視為此現象的發現者，因為他花了20年發展出一套嚴謹的論證來說明這個原理，並稱之為「黃金定理」（Golden Theorem），也就是大家熟知的「大數法則」（the Law of Large Numbers）。賭場依賴的就是這個法則，雖然個別賭徒可能會走好運贏得許多錢，但是整體而言，賭場在輪盤上可以留住所有賭注的5.3％。

在簡單的機率和大數法則之間，有許多更複雜的機率問題。連續投擲一枚硬幣5次，都得到反面的機率為何？如果一次擲3個骰子，得到3個6的機率又是多少？

我們需要做一些機率運算以求得這些值，例如：連續得到5次反面的機率為1/2⁵＝1/32，而得到3個6的機率為1/6³＝1/216。

人類玩機率遊戲已經長達幾千年，但總是無法順利解決不同的機率問題，除非是一些很明顯或很容易計算的機率。

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骰子和混沌

雖然擲骰子和轉輪盤的結果都看似隨機，它們事實上卻是可預測的事件，有規律可循，起始的位置和所有相關條件，包括投擲方向及力道、桌子的表面和骰子的特質都將影響結果。然而由於有太多種狀況可能發生，要將這些狀況量化也十分困難，因此，若要產生結果的模型或計算都困難重重。

機率遊戲

機率是指事件發生的機會或可能性，在17世紀時因為一場賭局而進入數學範疇。雖然卡當諾在1520年代就寫了關於機率遊戲的書，但直到1633年才出版，因此輸給了費馬和巴斯卡。費馬和巴斯卡在往來的書信中討論起一名叫默勒（Chevalierde Mere）的賭徒所提出的問題：

兩名玩家玩純粹機率的遊戲，兩人各出賭金32枚金幣，先贏三局的人可以帶走全部賭金。然而，三局後比賽因故終止，玩家A贏兩局，玩家B贏一局，請問此時要如何分賭金才公平？

兩位數學家都認為玩家A與玩家B的賭金分配是3：1，但各自採取不同解法。

費馬以機率計算答案，他認為只需要再加賽兩局便可分出輸贏，這兩場的贏家有四種可能：AA、AB、BA、BB，只有在最後一種情形下B才能成為贏家，所以他有四分之一的機會獲勝，應分得四分之一的賭金。巴斯卡提出的解法則是根據期望值（expectation），若下一局是B贏，則A與B各有一半機率能贏得32枚金幣；若下一局是A贏，則贏家非A莫屬，因為他已經贏得兩局。這麼說來，A應得到48枚金幣，而B應得到16枚金幣，得出的結果與費馬相同。巴斯卡處理機率的方法得到數學家一致認同。

一切都是公平的......

雖然機率遊戲持續引發數學家的興趣，另一個引起數學家研究機率的動力，則來自於制定公平合約的法律問題。在一個公平的合約中，任何一方都有相同的期望值，這在金錢借貸中是相當重要的核心概念，基督教禁止從金錢借貸中獲取高額利益，因此，貸方被視為投資者，要自己承擔借錢的風險，但也因此可以正當地期待部分獲利。

在17世紀以前，借貸與年金的利率都是固定的，完全不考慮任何關於風險的概念或計算方法。第一篇計算風險的專著出現在1671年的荷蘭，作者是偉特（Jande Wit, 1625-1672），他在諮詢過惠更斯後寫成此書。當時的年金是由國家發售，目的通常是為了籌措戰爭經費，利息則一直訂為年金的七分之一，政府會持續給付直到持有者過世，但持有者的年紀或健康狀況並未納入考慮，政府很顯然並沒有評估必須給付的時間有多長，而這數目可能不小。

然而，儘管偉特能夠看出這個系統的缺失，但由於沒有平均壽命的資料，能做的改善措施很少，真正做到的更是極少。直到1762年，一家名為公正公司（Equitable）的倫敦保險公司，才開始基於計算過的風險或機率來制定保險價格。

就機率而言，上帝存在

直到18世紀，機率才成為一個數學觀念，但是至19世紀為止，機率卻仍普遍被視為基於常識的一種模糊概念。法國數學家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace, 1749-1827）將機率稱為「以計算來表達的良好判斷力」。

有趣的是，在18世紀時，機率和宗教之間的連結變成自然神學的主題。約翰．阿布斯諾特（John Arbuthnot, 1667-1735）根據倫敦在1629到1710年間所進行的洗禮儀式所得出的統計資料，提出上帝確實存在的證據，他表示男孩的出生率比女孩高一些，接受洗禮的男女孩比例為14：13，然而到了適婚年紀，性別比即呈現平衡狀態，因為年輕男性的死亡率較高。

如果我們假設男孩出生的機率為0.5，那麼未來82年間，每一年男孩出生率都大於女孩的機率即為（0.5）⁸²，這種男孩出生率比女孩高的現象世界各地皆有，阿布斯諾特因而視此為上帝天意的確鑿證據，以使社會保持完美平衡（但他似乎沒有意識到，也有其他能達到完美平衡且無須使這麼多男孩喪生的方法，如此可以避免許多父母遭受喪子的痛苦）。

他的觀點逐漸受到採用和修正，但比較理性的瑞士數學家尼可拉斯．伯努利（Nicolas Bernoulli, 1695-1726）認為男孩的出生率或許不是0.5而是0.5169，如此一來不需要神的干預，就能產生正確的所需結果。

巴斯卡的賭注

在1657與1658年間，巴斯卡寫了一篇哲學文章，描述無神論者的「賭注」。不信神（對巴斯卡而言，即基督教的上帝）的懲罰可能是永遠打入地獄，然而，如果相信神，既便最後證明上帝不存在，信神的代價還是很輕微，至多只是失去一些短暫的快樂以及花費一些無益的時間在教會而已。雖然無神論者可能覺得上帝存在的機率很小，但是，既然輸掉賭注的代價如此高，信仰的代價相較之下相當低，信總比不信好。

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做出決定

就像巴斯卡的賭注，許多決策不僅可能受到對機率的認知影響，也可能因為主觀上想要得到某種結果而受到干涉，或是被人們所熟知的邊際效用（marginal utility）干擾。想像一下，全國性樂透一張值一枚達克特（ducat，18世紀歐洲普遍使用的硬幣），而頭獎為100萬枚達克特。對窮人而言，一枚達克特十分貴重，而獎金更是如此；對富人而言，一枚達克特根本無關緊要，但獎金對他而言還算誘人。