面對物理公式不要先問「為什麼」,而要問「這是什麼意思?」

面對物理公式不要先問「為什麼」,而要問「這是什麼意思?」
我們想讓你知道的是

本篇專欄將從「學習定義」的方法出發,詳細說明除法與乘法的意義,以及單位的相關細節,希望能為大家展現「物理公式」的另一種面貌。

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文:蔡坤憲

印象中,剛上國中的同學,遇到的第一個物理公式應該是「密度」:

密度=質量/體積(D=M/V)

對一位剛上國二的同學來說,這個公式其實蠻複雜的。首先,他可能不知道密度(Density)、質量(Mass)與體積(Volume)這3個字的英文。所以,以這三個字母為「符號」來表示這三個物理量,是很多人的第一個難題。我記得有過一個幫助記憶的方法,是把M除以V想像成「把愛心橫切一刀」,以此來幫助學生跨越記憶公式的鴻溝(如圖一)。

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圖片來源:作者提供
圖一、密度的「愛心形」公式。這類幫助記憶的方式,雖沒有物理意義,卻饒富趣味,同學可以盡情發揮想像力、聯想力、創造力。

第二個難題可能是物理量本身的意義。「體積」的觀念,直覺上應該不難理解,課本的文句也說得很清楚:體積是物體所佔的空間大小。「質量」的觀念可能有些抽象:物體內所含物質的多寡。短短的一句話,同學需要能區別「物質」與「物體」的不同,之後,還要再區別「質量」與「重量」的差異。

待這兩個觀念搞清楚之後,我不知道還有多人會有疑問:為什麼質量除以體積會等於密度?我相信很多同學都能「把公式背起來」,但能「把意思說清楚」的人應該不多。

本篇專欄將從「學習定義」的方法出發,詳細說明除法與乘法的意義,以及單位的相關細節,希望能為大家展現「物理公式」的另一種面貌。特別是那些覺得物理公式「很難看、很抽象」的同學,希望在閱讀本文之後,能多看到一些物理公式的美。

看到「定義」:不要先問「為什麼」,而要問「這是什麼意思?」

雖然學習或研究科學,「為什麼」是一個很重要的問題,但是一遇到問題,或是有「感覺不懂」的時候,腦海裡立刻就出現「為什麼」這3個字,並不是一個正確的作法。因為,問錯問題的時候,往往得不出正確的答案。

所以在這裡,我希望強調:「定義」這兩個字是一個關鍵詞,看到這兩個字時,先不要先問為什麼,而要改問「這是什麼意思」。因為定義的目的,在於要把一個觀念或物理量的意義說清楚。

此外,我們都知道,對於自然現象,我們有「定性」與「定量」這兩個層次的理解:前者是性質上、觀念上的理解;後者則有數量上的要求,需要運用到測量(實驗)與數學等方法。所以,自然科學裡的定義,特別是物理學上的定義,絕大多數會使用到數學,因此,要了解物理的觀念,一定要先了解「數學的語言」。

除法的含義是「分配」

在中學階段,物理公式不外乎四則運算,簡單的「加減乘除」而已,可是為什麼會困擾這麼多同學呢?因為,大多數的同學都忽略了,在數學問題有「計算題」與「應用題」之分。計算題通常較簡單,會計算就好了,但應用題就比較複雜了,如果不懂「題目的意思」,即使會計算,也不知到該從何處開始著手。

然而,物理課裡的題目,幾乎都是數學課裡的應用問題,都需要先了解「物理意義」,才能列出算式或公式,之後才能做計算,求得解答。

舉一道簡單的數學應用題:

假設我們有10個蘋果,共5個人要吃,請問平均每人可以分得幾個蘋果?

答案很簡單:蘋果數(10)除以人數(5)等於每人可得的蘋果數(2)。這個除法運算的背後思維,就是「分配」,不是嗎?

以密度為例,課本大多會這麼寫:「物體每單位體積內所含有的質量大小,稱為密度」。物理量的定義(在此是密度),通常以類似的語句來表示。

這句話是什麼意思?密度就是「把質量平均分佈到空間」之後的結果。進一步說,質量所表示的是「物質的量」(物體內所含有的物質總量),所以,密度就是「把所有物質平均分佈到物體所佔空間」的結果。如果這個說法感覺有點抽象的話,可以用「人口密度」來理解,人口密度的意思是「把人口數平均分配到土地面積上」,寫成數學公式就是:

人口密度=人口數/土地面積

不僅「數字」要運算,「單位」也要運算我們都知道「1萬美元」與「1萬元台幣」是不同的金額,雖然在數字上它們都是1萬,但是由於單位不同,所以這是兩個不同的金額。

再以密度為例,看到定義中的「每單位體積」這幾個字,要知道它們的微言大義。首先是「每」這個字,它有平均的意思,意味著數學上的「除法」。而在「每」字後有「體積」,因此若要寫成公式,就是「除以體積」。

其次是「單位體積」,其實就是「體積的單位」,這個沒有硬性規定,端看題目的要求或已知條件,可以是立方公分、立方公尺、立方公里、立方英吋等等,只要是體積的單位都可以。

最後,我們要知道,由於這是密度的定義,因此,質量除以體積之後的結果是密度。在寫下結果的時候,不要忘記要附上單位。而單位的選擇,因題目而異,以方便與常用為原則。譬如說:我們拿3根常見的小鋼釘,放進裝有水的量筒裡,發現水位上升3.0 cm3,再拿到電子天秤上測得質量為23.55 g。請問這種鋼材的密度為何?

對於初學物理的同學而言,我建議在看完題目之後,先要把注意力放在「未知數」上,以這個題目為例是密度,接著再看有哪些「已知數」,在此有體積與質量。若能看到這些物理量,腦袋裡自然能聯想起「密度的定義」。

D=M/V=23.55/3.0=7.85(g/cm3

至於動筆寫下解答的步驟,我強烈建議不要直接從數字開始,而是要從列出公式或定義開始。

依照步驟,養成答題的好習慣:

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圖片來源:作者提供

附帶一提:對國中同學來說,因為不需考慮「有效數字」的問題,因此,上述的解答應已足夠。但對於高中程度以上的同學,若遇到需要考慮有效數字的問題時,在驗算的過程,還要考慮到由於體積只有兩位有效數字,因此答案最多也只能有兩位數字,因此需要對計算所得的結果,四捨五入,只留下兩位有效數字,因此最終的答案是7.9 g/cm3

底下是中學課本裡,常見的一些定義,大家可以試著寫下它們的數學公式:

  • 壓力:物體單位面積所受的垂直力(正向力)稱為壓力。(P=F/A)
  • 速率:物體在單位時間內所行經的路徑長。(v=d/t)
  • (平均)速度:物體在單位時間內所經過的位置變化量。(v=Δx/Δt)
  • (平均)加速度:物體在單位時間內的速度變化量。(a=Δv/Δt)
  • 功率:單位時間內,外力對物體作功的大小。(P=W/Δt)
  • 電流(強度):以單位時間流過導線某截面的電量多寡。(I=Q/Δt)

以上定義的這些物理量,都是需要利用「除法」的例子。若要完全學會與理解這些物理量,當然還需要很多的篇幅,讀者同學也需要做很多的練習、思考以及記憶等等。其中最基本的第一個步驟就是這些物理量的符號(英文)與單位,符號的選取,雖有「習慣」,但卻沒有統一的硬性規定,譬如:壓力(pressure,符號P)、正向力(normal force,符號可以是N也可以是F),面積(area,符號A):

壓力=正向力/面積或P=F/A或P=N/A

同學或許會誤以為,若是不會英文,是不是有點吃虧?我們來看看電流(current,符號I)的定義與符號,時間(time,符號t),電量(charge,符號Q):

電流=電量/時間,或I=Q/t

若你問我,為何電流或電量的符號不用c?其實我也不清楚,這就是「習慣」,因為我的老師這麼用、課本這麼寫,代代相傳,約定成俗,所以每位科學家、工程師就都這麼寫了。若你想做「符號改革」,想想這會是一個多大的工程。

單位之間的換算:把握「乘以1」的原則

常見的公制單位是所謂的MKS制,質量的單位是公斤(kilogram,符號kg),長度的單位是公尺(meter,符號m),時間的單位是秒(second,符號s)。在公制單位之外,還有日常生活的常用單位,例如公里、公分、公克、秒、分鐘、小時等,或是英制單位裡的磅、盎司、英吋、英尺等等。

先前有提到單位的計算。以密度的公制單位為例,質量除以體積之後的單位就是「公斤除以立方公尺」,但正確的中文說法應是「每立方公尺若干公斤」,以符號表示為kg/m3單位之間是可以換算的,最基本的1 kg=1000 g,1 m=100 cm,相信大家都不會有問題。但是,若以剛剛計算出來的鐵的密度7.85 g/cm3,換算為MKS制的kg/m3,該怎麼辦呢?是該乘以1000還是除以1000呢?

大體上,我們知道,對同一個物理量而言,大的單位會配上小的數字,反之亦然。例如公斤比公克大,所以公斤前的數字(1)就會比公克前的數字(1000)小。但是密度的單位還多了立方公分與立方公尺在分母,所以kg/m3或g/cm3究竟何者是較大的單位呢?

有一個很簡單的數學計算技巧,我們都知道,但卻忘記可以應用到物理課裡,就是所謂的「乘法單位元素」:任何數,在乘上1之後,仍然等於它自己。此外,我們也知道,任何數,自己除以自己之後,答案等於1。從分數的觀點,就是分子與分母相等的情形。

把握這兩個原則,再加上在計算時,物理量的數字與單位需要同時考慮進來,我們便可以試著換算鐵的密度:

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在上面的計算過程中,括號中的分數,分子與分母相等,所以,括號本身等於1,原本的密度值,在連續乘上兩個1之後,雖然數字變得不同,但若把單位一起考慮進來,7850 kg/m3與7.85 g/cm3是一樣大的密度。再者,由於在單位kg/m3前方的數字較大,所以這一個比較小的單位。

對於數字較為敏感的同學或許已經注意到了,在kg/m3與g/cm3這二個單位之間剛好相差了1000倍。也就是說,以水的密度 1 g/cm3為例,我們可以很快地寫下它的MKS單位表示是1000kg/m3。希望同學不僅能知道這個結果,還能知道為何會有這個1000倍的理由。

乘法的含義是「累積」

我們已經詳細地討論了「除法」的意義,那麼「乘法」的含義呢?在數學上,我們知道,如果我有3袋蘋果,每一袋裝了6個蘋果,那我總共有3乘以6,共18個蘋果。這個運算的背,是一個連續相加、累積的結果。

在中學的物理裡,有兩個很重要的定義用到乘法:功(work,符號W)與衝量(impulse,符號J):

  • 功的定義:作用於物體的力F與該物體在受力方向移動的距離d的乘積;公式為W=F × d。
  • 衝量定義:物體所受定力F與力作用時間t的乘積;公式為J=F × t。

在此,讓我們暫且忽略嚴謹的向量的討論或符號,把討論的範圍先聚焦在乘法的意義上。

從乘法的意義來理解,這兩個定義的「白話解釋」為:

  • 功:對某物體,施力推動一段距離的結果。
  • 衝量:對某物體,施力推動一段時間的結果。

簡單來說,想知道做功多少,我們需要帶把「尺」,因為需要知道施力的距離;想要知道衝量有多少,則需要戴上「手錶」,因為需要知道施力的時間。如圖二所示。

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圖片來源:作者提供
圖二、功與動量的差別,一個看距離,另一個看時間。

學過中學物理的同學應該已經知道,做功的結果會導致能量變化,衝量則會導致動量變化。這個部分,我們將在稍後的專欄再來討論。

用來紀念科學家的單位「名字」

物理量有名字,也有符號。我們以「基本量」為例,質量(mass)的符號是M,距離(distance)的符號是d,時間(time)的符號是t。而物理量的單位也有名字與單位,以MKS制為例,質量的單位是公斤(kilogram),符號是kg,長度的單位是公尺(meter),符號是m。時間的單位是秒(second),符號是s。

對於初學物理,又初學英文的同學,這些物理量的名稱、英文名字與符號等等,應該會感到相當陌生。然而,掌握這些符號的唯一方法,就是多用、多練習、多看幾次,所謂熟能生巧,慢慢的就會自然地學會了。

另外有一些單位,是根據物理量的的定義(或定律、定理)而計算出來的,例如,速度或速率的單位是m/s(也可寫成ms-1);加速度的單位是m/s2(也可寫成ms-2);或密度的單位是kg/m3等等,都是先前基本量的運算組合,增為「導出量」。這幾個導出量沒有特殊的名字,然而,有許多導出量的單位會被「冠名」,用來紀念科學家。其中最有名的是作用力的單位牛頓(newton,符號N):

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也就是說,我們把「公斤・公尺・每秒每秒」這一大串單位,另外取名為「牛頓」,不僅可以紀念牛頓在力學上的貢獻,也方便溝通。其他類似的例子有焦耳、安培、伏特等等,同學可以試著根據它們的定義,來拆解這些單位,看看它們是由哪些「基本量」所組成的。

結語

本文很詳細的說明了「除法」與「乘法」的意義,希望有助於同學在定義的文字敘述與數學公式之間,建立起連結,能看得出物理公式背後的含義。

然而,物理公式除了「定義」之外,還有「定律」與「定理」。這三者就數學公式上來看,長相可能一模一樣,但背後的意義卻大不相同,學習的方法也略有差異,絕對不只是「把公式背起來,再代入數字」這麼簡單。

最後,別忘了,看到定義,不要先問「為什麼」,而要先問「這是什麼意思?」,再思考一下能否根據「分配」或「累積」的概念,來寫下相對應的數學公式。

本文經物理雙月刊授權刊登,原文刊載於此

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航