史上最難的奧數競賽題目

史上最難的奧數競賽題目

我們想讓你知道的是

1988年國際數學奧林匹克競賽第6題,是公認史上最精彩也是最困難的競賽題目之一。

玩過奧數或者其他數學競賽的朋友大概都會聽過「傳奇的第6題」,即1988年國際數學奧林匹克競賽(International Mathematical Olympiad,簡稱IMO)第6題,是公認史上最精彩也是最困難的競賽題目。

題目如下:設正整數a, b滿足ab+1可以整除a2+b2,證明(a2+b2)/(ab+1)是某個整數的平方。

例如代入a = 1,b = 1,我們得到 k = (12+12)/(1x1+1) = 1,這顯然是個平方數。跟很多數論問題一樣,這題目很易理解,初中生都可以明白,解答起上來卻出奇地困難。

究竟這題目有多困難呢?或者讓史丹福先簡介一下IMO的題目來源,好讓大家對這比賽有更多的認識。

難倒專家的題目

IMO競賽是讓全世界不同國家的中學生參與的數學比賽,共有6題題目,比賽分兩天,每天做三題,總共時間為9小時。題目基本上都是證明類題目,每題值7分,共42分。試題大致上會分為簡單、中等與困難,第1與第4題屬簡單,第2與第5題屬中等,第3與第6題屬困難。題目由主辦國外的各參賽國提供,由主辦國組成擬題委員會,從提交題目中挑選候選題目。各國領隊在隊員前數天抵達,共同商議出問題及官方答案。

話說當年西德是奧數的超級強隊,曾經於1982與83年獲得總分第一,但之後幾年卻被蘇聯、羅馬尼亞及美國超越了,搶奪了其第一的寶座。有人認為也許是出於復仇心態,西德數學家出了這道精心設計、極盡困難的題目。澳洲數學奧林匹克擬題委員會6個成員都未能解到這問題,於是他們只好向主辦國澳洲4位數論專家求助,委員會希望專家能於6小時內解決問題,令人尷尬的是,專家經過一輪苦戰都未能解出題目。

但擬題委員會竟然夠勇氣把問題寄往國際數學奧林匹克委員會,他們特意在問題旁加上兩顆星,代表超難題目,也許難到不應用作競賽題目。委員會作了長時間的考慮後,又真的斗膽敢採用此題,結果這題目就成了第29屆國際數學奧林匹克競賽的第6題。

委員會有人覺得這可能會成為破紀錄的沒有選手解到的國際奧數問題,然而事實上並非如此,雖然268名選手的平均得分只有0.6分,為IMO舉辦29年以來最低的一題,但這題難倒4位數論專家的題目竟被11位中學生以7分滿分成績解答。

陶哲軒被譽為當今世上最出色的年輕數學家之一。他自小已是數學天才,於10歲、11歲及12歲參加了三次國際數學奧林匹克競賽,分別得了銅獎、銀獎與金獎,是銅獎、銀獎與金獎的最年輕得獎紀錄保持者。他於16歲得到學士學位、21歲得到普林斯大學博士學位,並在24歲成了加州大學洛杉磯分校(University of California, Los Angeles,簡稱UCLA)數學系的終身教授,是該校史上最年輕的終身教授。他於31歲獲得菲爾茲獎。菲爾茲獎是數學界最高的榮譽,由於諾貝爾獎不設數學獎,所以菲爾茲獎基本上就是等同於數學屆的諾貝爾獎。

為何我突然花這麼多的時間介紹陶哲軒呢?因為他參與了1988年的國際數學奧林匹克競賽獲得金獎,他於頭5題都全取7分,最後的第6題卻只有1分。這條超級難題連當今世上其中一位最出色的數學家都破解不了,令題目更添傳奇色彩。

獲特別獎的解題方法

保加利亞選手Emanouil Atanassov卻得到了該題的特別獎。特別獎的得獎者必須用非常漂亮、精彩獨到的方法解題,答案比標準答案更精彩,通常也更簡潔,才有機會得獎,可以說比得到滿分更困難。他用到的方法叫「韋達跳躍」(Vieta jumping)。史丹福找不到文獻記載這條奧數問題出現前有沒有人用過此方法解題,不過可以肯定的是,這方法在該屆IMO之後聲名大噪,現今已是參加數學比賽者訓練時必定會學到的技巧。

「韋達跳躍」的概念其實都只是來自高中數學,沒有甚麼高深,只不過是利用了極盡巧妙的方法,把初等數學的威力發揮得淋漓盡致而已。

這技巧牽涉到兩個重要數學,一是韋達定理(Vieta’s theorem),一是無窮遞降法(method of infinite descent)。

韋達定理其實就是二次方程中根的和與積及項數的關係,設ax2+bx+c=0有根α與β,α+β = -b/a,αβ=c/a。這應該是DSE高中數學第一課的內容,廣為人知(雖然課程沒有用到韋達定理這個很專業的名稱)。

至於無窮遞降法是一種反證法,用的是「沒有最小,只有更小」的概念。如果我們假設一方程式有一正整數解,那麼應該有一最小的解。然後我們再證明「如果有一解,必有另一個更小的解」,也就是說「沒有最小,只有更小」,這與方程式有最小解互相矛盾,由此推論出唯一可能就是我們的假設出錯,因此方程式根本上沒有解。 這個方法最先由大數學家費馬使用,證明了x4+y4=z4沒有正整數解,也就是費馬大定理中n=4的情況。歐拉也用無窮遞降法證明過每個除4的餘數為1的質數都可以表達為兩個平方之和,值得一提的是這定理也是由費馬最先提出的,雖然他沒有提出證明。

言歸正傳,我們就試試用這方法解開傳奇的第6題吧!


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photo credit:先進醫資AdvMeds

我們想讓你知道的是

後疫情時代,零接觸服務的需求,使得智慧科技的角色愈發重要,智慧城鄉計畫與先進醫資共同推動人工智慧影像辨識技術,擴大既有的共照雲服務,協助民眾獲知疫情訊息,為民眾建立個人自主健康照護服務。

在科技不斷進步的過程中,許多過去不存在的工具,到今日已成為現實。2008年「智慧地球」的概念出現後,全球便開始推動智慧城市的發展。臺灣向來以科技之島自居,自然也不例外。在政府多年來力求數位轉型的政策下,臺灣進入了「智慧城鄉」的時代;所謂智慧城鄉,是運用大數據、物聯網、AI人工智慧等科技,串連市民、產業與地方,以創新的方式讓彼此有效溝通,並針對地方的特色和需求提供客製化服務,進而改善人民的生活品質。

把問題當作燃料,用科技強化服務力

然而,城鄉發展必然會有不均的問題,藉由科技介入、釐清現實痛點的立意雖良善,卻也無法忽視城鄉間的數位落差。在偏鄉地區因為人口流失、高齡化、科技產品使用率較城市低,數位化的腳步自然較為緩慢,向來是各項服務設施鞭長莫及之處。

先進醫資從2018年開始,在經濟部工業局「普及智慧城鄉生活應用計畫」的支持下,在高雄、屏東與澎湖發展「雄健康打造智慧樂活社區共照應用服務」(以下簡稱「雄健康」)。當時總經理黃兆聖就非常清楚,首先要解決的就是資源不足、人力不足、缺乏回饋三大問題,而數位化、智慧科技等創新力量,正好可以有效的連結偏鄉生活需求與痛點,讓在地化、客製化的服務與設施,全面提升民眾的醫療照護品質。

用最體貼的科技,讓照護範圍沒有邊界

「雄健康」計畫的目標,是在衛生所、醫療院所、長照據點、社區活動中心及商業通路等多元化的據點,設立「智慧健康照護站」,提供血壓機、血氧機、血糖機等生理量測設備的整合服務,同時還支援多種身分識別登入、數據隨身、遠距諮詢、銀髮族健康管理量表等功能,讓市民可以依自己習慣的生活圈,就近接受基礎的照護服務,並且養成定期自主量測的習慣。這些健康紀錄將會上傳雲端、整合數據,不只可以將結果傳送給自己作為提醒,在民眾實際就診時,也能成為醫生評斷的參考,協助醫護人員及早發現異常或是調整用藥,大幅降低醫療資源及人力不足的問題。

同樣對提升醫療資源與人力應用效率有幫助的還包括「雄健康」計畫中的客服機器人腳本。這個功能是針對不同客戶需求,開發多達50種服務的腳本客服機器人,用來即時解決民眾常見的健康問題。只要民眾對自己的健康狀況有疑慮,就可以詢問線上客服機器人,並獲得最初步的協助。最重要的是,這個客服機器人以國人常用的社交軟體LINE作為平台。有鑒於LINE的普及率高,使用者無需重新下載及適應新軟體,對年長者來說更是友善,使用意願便明顯提高,如此一來,為民眾所建立的個人自主健康照護服務,就這樣一步一步地建立起來了。

立基於「雄健康」在高屏地區和澎湖的發展十分順利,2021年開始便積極與臺南、臺中、高雄、屏東、金門地方政府合作,務求達到更深入、體貼的服務,發展出獨特的「健康共照雲」系統。

靈活因應疫情變化,滾動式修正共照雲服務

原本是為了打造數位醫療照護服務而發展的共照雲,參考了「雄健康」所建立的數位化照護服務內容,同樣使用LINE作為平台,目標同樣是為了解決偏鄉資源和人力不足的問題。沒想到今年五月,在傳染力更為強大的Omicron變異株的肆虐下,疫情擴散迅速,臺南市共照雲的發展也臨危受命,在短短五天之內將服務上線,主要協助民眾獲知疫情訊息、確認自身狀況,另外也提供下載居家隔離單、施打疫苗、申請補助等服務內容。在疫情猛烈的攻勢下,共照雲成為市府、醫療院所與民眾溝通、解惑的最佳橋樑,甚至做到AI快篩辨識服務,協助許多臺南偏鄉地區的民眾不需冒險接觸人群,線上就可以判斷是否確診,後續再由醫療人員介入協助,減少很多不必要的擔心和移動。

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photo credit:智慧城鄉計畫
臺南市衛生局長許以霖與先進醫資總經理黃兆聖。

同時,客服機器人,也在疫情期間提供了最佳輔助。在衛生局、先進醫資和醫療院所的共同努力之下,不斷地優化、精進客服機器人腳本。無論市民為確診者、居隔者、密切接觸者⋯⋯盡可能讓每一個人都能在機器人的服務中,找到問題的解答。臺南市衛生局長許以霖表示:「對抗疫情,臺南市的目標很明確,就是要讓就診人數維持在醫療量能之下。客服機器人的出現,減輕了醫護人員疲於接電話、回答民眾問題的瑣碎流程,更能專心在照顧中、重症患者,在疫情大爆發期間不至於崩潰,如此才能真正守住所有市民的健康。」

當然,疫情是一時的,市民的健康才是長久的,「健康共照雲」的目標,是希望可以透過民眾健康紀錄的數據化,成為日常自主照護的重要幫手。下一步,先進醫資希望能跨縣市留存健康資料,成為全國性的第一線照護服務。而這些數據,都將成為中央和地方政府參考的基準,以便未來做到精準打造各縣市的特色照護服務。

以人為本,發展城鄉均好的未來

在2025年即將邁入超高齡社會的前提下,如何幫助國人健康、安心地迎向老年,已是國家與全民必須面對的重大課題。與此同時,臺灣也是一個充滿創新能量、技術發展快速的地方,所以過去所面臨的困難,今日已可以透過科技來解決。

「智慧城鄉計畫」從2018年起,持續針對地方需求,鼓勵業者提出新興解決方案,在推動健康領域方面,不僅是智慧照護,包含遠距醫療、健康量測、智慧運動以及登革熱防治等,都秉持著以人為本的初心,以科技的力量來照顧臺灣這片土地上的每一個人,透過政府和企業攜手合作,協助地方數位轉型,並降低城鄉之間的落差,共同建立一個城鄉均好、全民均享的理想未來。

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