史上最難的奧數競賽題目

史上最難的奧數競賽題目

我們想讓你知道的是

1988年國際數學奧林匹克競賽第6題,是公認史上最精彩也是最困難的競賽題目之一。

ab+1可以整除a2+b2,所以(a2+b2)/(ab+1)是正整數。

設有正整數a及b滿足(a2+b2)/(ab+1)=k,其中k不是平方數,我們將製造出一個矛盾去證明這是不可能的,所以k必為平方數。

在眾多組滿足條件的正整數a、b中,必有一組的和是最小的,我們設它為a1與b1。由於把a1與b1互換,也不會影響(a12+ b12)/(a1b1+1)的值,所以我們不妨假設a1≥ b1

Vieta

根據(1),a2必為整數。

根據(2),a2不可能是0,因為k不是平方數,b12-k不可能是0。

k是正整數,b1是正整數,而且(a22+ b12)/(a2b1+1) = k,顯然a2不可以是負數。[編按]

大家還記得我們假設過a1≥ b1嗎?因此根據(2),a2必定少於a1。綜合來說,我們有一少於a1的正整數a2,令(a22+ b12)/(a2b1+1) = k,其中k不是平方數。因此a2與b1是滿足(a2+b2)/(ab+1)=k(其中k不是平方數)的一組解,但它們的和比a1+b1小,「沒有最小,只有更小」。不過我們之前已經設了a1與b1的和是眾多組解中最小的,這樣就產生矛盾。

因此如果正整數a及b滿足ab+1可以整除a2+b2,則(a2+b2)/(ab+1)必定是平方數。「韋達跳躍」就是這樣簡潔地破解了這超級難題。

這題目令「韋達跳躍」聲名大噪,現在不少競賽數學的書籍,甚至是大學的教科書都會用這「傳奇的第6題」為例子,所以以現今的標準來看這題目不算太困難。如果現在的IMO再出一題有關「韋達跳躍」的數論題目,參加者們也大概會有不錯的成績。不過它在當年難倒整個擬題委員會、四位數論專家、數學天才陶哲軒及很多數學好手,稱這傳奇題目為史上最難的奧數題目絕不為過。

編按︰假設 a2b1+1 = 0,即 a2b1 = -1,由於b1是正整數,唯一解是 a2 = -1, b1 = 1,代入該二次方程中,可得 (-1)2 - k(1)(-1) + (12-k) = 0,即1+k+1-k = 0,得出2=0,矛盾。因此 a2b1+1 ≠ 0,(a22+ b12)/(a2b1+1) = k。

本文獲授權轉載,原文見作者網誌

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責任編輯︰Kayue
核稿編輯︰Alex


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我們想讓你知道的是

我們想讓你知道的是:想要讓心愛毛小孩家人能夠長久陪伴身邊,就要用最好的飲食來照顧牠們。兩位飼主與大家分享她們與毛小孩日常生活的點滴,以及法米納如何幫助她們的毛小孩更健康、快樂。

毛小孩是我們最親密的家人,給我們無止境的快樂、最溫柔的撫慰,讓人感受到真正「無條件的愛」。從毛小孩身上獲得如此多幸福的我們,又該如何向牠們表達我們的愛呢?最好的方式,就是提供牠們最舒適的生活、最充足均衡的營養,讓彼此相伴的生活能夠更長長久久。

從毛小孩的營養需求出發,發現「法米納」就是最適合的飼料

從小到大身邊都有寵物圍繞著的秉貞,與法米納的相遇,源自於家中貓咪的健康問題。當時貓咪經診斷必須吃處方飼料,在尋找合適飼料的過程中,秉貞希望能找到不易引起過敏的「無穀」飼料,也希望「碳水化合物含量」能夠維持在一定比例以下,才能提供貓咪最優質的營養。透過網路搜尋,發現了法米納這個品牌正好滿足貓咪的需求。

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給牠最好的營養與健康,用愛照顧彼此的生活

虎斑貓胖虎的主人威綺說:「寵物就是要來寵的啊!我都給牠最好的。」看起來身強體壯的胖虎,其實小時候曾是一隻會邊走邊拉肚子的瘦弱貓咪,因在幼貓時期曾有嚴重的寄生蟲感染,傷及腸道使胖虎無法控制排泄能力,被獸醫師認為可能一輩子都無法脫離拉肚子。

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