史上最難的奧數競賽題目

史上最難的奧數競賽題目

我們想讓你知道的是

1988年國際數學奧林匹克競賽第6題,是公認史上最精彩也是最困難的競賽題目之一。

ab+1可以整除a2+b2,所以(a2+b2)/(ab+1)是正整數。

設有正整數a及b滿足(a2+b2)/(ab+1)=k,其中k不是平方數,我們將製造出一個矛盾去證明這是不可能的,所以k必為平方數。

在眾多組滿足條件的正整數a、b中,必有一組的和是最小的,我們設它為a1與b1。由於把a1與b1互換,也不會影響(a12+ b12)/(a1b1+1)的值,所以我們不妨假設a1≥ b1

Vieta

根據(1),a2必為整數。

根據(2),a2不可能是0,因為k不是平方數,b12-k不可能是0。

k是正整數,b1是正整數,而且(a22+ b12)/(a2b1+1) = k,顯然a2不可以是負數。[編按]

大家還記得我們假設過a1≥ b1嗎?因此根據(2),a2必定少於a1。綜合來說,我們有一少於a1的正整數a2,令(a22+ b12)/(a2b1+1) = k,其中k不是平方數。因此a2與b1是滿足(a2+b2)/(ab+1)=k(其中k不是平方數)的一組解,但它們的和比a1+b1小,「沒有最小,只有更小」。不過我們之前已經設了a1與b1的和是眾多組解中最小的,這樣就產生矛盾。

因此如果正整數a及b滿足ab+1可以整除a2+b2,則(a2+b2)/(ab+1)必定是平方數。「韋達跳躍」就是這樣簡潔地破解了這超級難題。

這題目令「韋達跳躍」聲名大噪,現在不少競賽數學的書籍,甚至是大學的教科書都會用這「傳奇的第6題」為例子,所以以現今的標準來看這題目不算太困難。如果現在的IMO再出一題有關「韋達跳躍」的數論題目,參加者們也大概會有不錯的成績。不過它在當年難倒整個擬題委員會、四位數論專家、數學天才陶哲軒及很多數學好手,稱這傳奇題目為史上最難的奧數題目絕不為過。

編按︰假設 a2b1+1 = 0,即 a2b1 = -1,由於b1是正整數,唯一解是 a2 = -1, b1 = 1,代入該二次方程中,可得 (-1)2 - k(1)(-1) + (12-k) = 0,即1+k+1-k = 0,得出2=0,矛盾。因此 a2b1+1 ≠ 0,(a22+ b12)/(a2b1+1) = k。

本文獲授權轉載,原文見作者網誌

相關文章︰

責任編輯︰Kayue
核稿編輯︰Alex


猜你喜歡


城鄉均好、全民均享的理想生活,就用科技來實現吧——你需要的健康照護服務,現正上線中

城鄉均好、全民均享的理想生活,就用科技來實現吧——你需要的健康照護服務,現正上線中
photo credit:先進醫資AdvMeds

我們想讓你知道的是

後疫情時代,零接觸服務的需求,使得智慧科技的角色愈發重要,智慧城鄉計畫與先進醫資共同推動人工智慧影像辨識技術,擴大既有的共照雲服務,協助民眾獲知疫情訊息,為民眾建立個人自主健康照護服務。

在科技不斷進步的過程中,許多過去不存在的工具,到今日已成為現實。2008年「智慧地球」的概念出現後,全球便開始推動智慧城市的發展。臺灣向來以科技之島自居,自然也不例外。在政府多年來力求數位轉型的政策下,臺灣進入了「智慧城鄉」的時代;所謂智慧城鄉,是運用大數據、物聯網、AI人工智慧等科技,串連市民、產業與地方,以創新的方式讓彼此有效溝通,並針對地方的特色和需求提供客製化服務,進而改善人民的生活品質。

把問題當作燃料,用科技強化服務力

然而,城鄉發展必然會有不均的問題,藉由科技介入、釐清現實痛點的立意雖良善,卻也無法忽視城鄉間的數位落差。在偏鄉地區因為人口流失、高齡化、科技產品使用率較城市低,數位化的腳步自然較為緩慢,向來是各項服務設施鞭長莫及之處。

先進醫資從2018年開始,在經濟部工業局「普及智慧城鄉生活應用計畫」的支持下,在高雄、屏東與澎湖發展「雄健康打造智慧樂活社區共照應用服務」(以下簡稱「雄健康」)。當時總經理黃兆聖就非常清楚,首先要解決的就是資源不足、人力不足、缺乏回饋三大問題,而數位化、智慧科技等創新力量,正好可以有效的連結偏鄉生活需求與痛點,讓在地化、客製化的服務與設施,全面提升民眾的醫療照護品質。

用最體貼的科技,讓照護範圍沒有邊界

「雄健康」計畫的目標,是在衛生所、醫療院所、長照據點、社區活動中心及商業通路等多元化的據點,設立「智慧健康照護站」,提供血壓機、血氧機、血糖機等生理量測設備的整合服務,同時還支援多種身分識別登入、數據隨身、遠距諮詢、銀髮族健康管理量表等功能,讓市民可以依自己習慣的生活圈,就近接受基礎的照護服務,並且養成定期自主量測的習慣。這些健康紀錄將會上傳雲端、整合數據,不只可以將結果傳送給自己作為提醒,在民眾實際就診時,也能成為醫生評斷的參考,協助醫護人員及早發現異常或是調整用藥,大幅降低醫療資源及人力不足的問題。

同樣對提升醫療資源與人力應用效率有幫助的還包括「雄健康」計畫中的客服機器人腳本。這個功能是針對不同客戶需求,開發多達50種服務的腳本客服機器人,用來即時解決民眾常見的健康問題。只要民眾對自己的健康狀況有疑慮,就可以詢問線上客服機器人,並獲得最初步的協助。最重要的是,這個客服機器人以國人常用的社交軟體LINE作為平台。有鑒於LINE的普及率高,使用者無需重新下載及適應新軟體,對年長者來說更是友善,使用意願便明顯提高,如此一來,為民眾所建立的個人自主健康照護服務,就這樣一步一步地建立起來了。

立基於「雄健康」在高屏地區和澎湖的發展十分順利,2021年開始便積極與臺南、臺中、高雄、屏東、金門地方政府合作,務求達到更深入、體貼的服務,發展出獨特的「健康共照雲」系統。

靈活因應疫情變化,滾動式修正共照雲服務

原本是為了打造數位醫療照護服務而發展的共照雲,參考了「雄健康」所建立的數位化照護服務內容,同樣使用LINE作為平台,目標同樣是為了解決偏鄉資源和人力不足的問題。沒想到今年五月,在傳染力更為強大的Omicron變異株的肆虐下,疫情擴散迅速,臺南市共照雲的發展也臨危受命,在短短五天之內將服務上線,主要協助民眾獲知疫情訊息、確認自身狀況,另外也提供下載居家隔離單、施打疫苗、申請補助等服務內容。在疫情猛烈的攻勢下,共照雲成為市府、醫療院所與民眾溝通、解惑的最佳橋樑,甚至做到AI快篩辨識服務,協助許多臺南偏鄉地區的民眾不需冒險接觸人群,線上就可以判斷是否確診,後續再由醫療人員介入協助,減少很多不必要的擔心和移動。

DSC_8777
photo credit:智慧城鄉計畫
臺南市衛生局長許以霖與先進醫資總經理黃兆聖。

同時,客服機器人,也在疫情期間提供了最佳輔助。在衛生局、先進醫資和醫療院所的共同努力之下,不斷地優化、精進客服機器人腳本。無論市民為確診者、居隔者、密切接觸者⋯⋯盡可能讓每一個人都能在機器人的服務中,找到問題的解答。臺南市衛生局長許以霖表示:「對抗疫情,臺南市的目標很明確,就是要讓就診人數維持在醫療量能之下。客服機器人的出現,減輕了醫護人員疲於接電話、回答民眾問題的瑣碎流程,更能專心在照顧中、重症患者,在疫情大爆發期間不至於崩潰,如此才能真正守住所有市民的健康。」

當然,疫情是一時的,市民的健康才是長久的,「健康共照雲」的目標,是希望可以透過民眾健康紀錄的數據化,成為日常自主照護的重要幫手。下一步,先進醫資希望能跨縣市留存健康資料,成為全國性的第一線照護服務。而這些數據,都將成為中央和地方政府參考的基準,以便未來做到精準打造各縣市的特色照護服務。

以人為本,發展城鄉均好的未來

在2025年即將邁入超高齡社會的前提下,如何幫助國人健康、安心地迎向老年,已是國家與全民必須面對的重大課題。與此同時,臺灣也是一個充滿創新能量、技術發展快速的地方,所以過去所面臨的困難,今日已可以透過科技來解決。

「智慧城鄉計畫」從2018年起,持續針對地方需求,鼓勵業者提出新興解決方案,在推動健康領域方面,不僅是智慧照護,包含遠距醫療、健康量測、智慧運動以及登革熱防治等,都秉持著以人為本的初心,以科技的力量來照顧臺灣這片土地上的每一個人,透過政府和企業攜手合作,協助地方數位轉型,並降低城鄉之間的落差,共同建立一個城鄉均好、全民均享的理想未來。

經濟部工業局廣告


猜你喜歡