史上最難的奧數競賽題目

史上最難的奧數競賽題目

我們想讓你知道的是

1988年國際數學奧林匹克競賽第6題,是公認史上最精彩也是最困難的競賽題目之一。

玩過奧數或者其他數學競賽的朋友大概都會聽過「傳奇的第6題」,即1988年國際數學奧林匹克競賽(International Mathematical Olympiad,簡稱IMO)第6題,是公認史上最精彩也是最困難的競賽題目。

題目如下:設正整數a, b滿足ab+1可以整除a2+b2,證明(a2+b2)/(ab+1)是某個整數的平方。

例如代入a = 1,b = 1,我們得到 k = (12+12)/(1x1+1) = 1,這顯然是個平方數。跟很多數論問題一樣,這題目很易理解,初中生都可以明白,解答起上來卻出奇地困難。

究竟這題目有多困難呢?或者讓史丹福先簡介一下IMO的題目來源,好讓大家對這比賽有更多的認識。

難倒專家的題目

IMO競賽是讓全世界不同國家的中學生參與的數學比賽,共有6題題目,比賽分兩天,每天做三題,總共時間為9小時。題目基本上都是證明類題目,每題值7分,共42分。試題大致上會分為簡單、中等與困難,第1與第4題屬簡單,第2與第5題屬中等,第3與第6題屬困難。題目由主辦國外的各參賽國提供,由主辦國組成擬題委員會,從提交題目中挑選候選題目。各國領隊在隊員前數天抵達,共同商議出問題及官方答案。

話說當年西德是奧數的超級強隊,曾經於1982與83年獲得總分第一,但之後幾年卻被蘇聯、羅馬尼亞及美國超越了,搶奪了其第一的寶座。有人認為也許是出於復仇心態,西德數學家出了這道精心設計、極盡困難的題目。澳洲數學奧林匹克擬題委員會6個成員都未能解到這問題,於是他們只好向主辦國澳洲4位數論專家求助,委員會希望專家能於6小時內解決問題,令人尷尬的是,專家經過一輪苦戰都未能解出題目。

但擬題委員會竟然夠勇氣把問題寄往國際數學奧林匹克委員會,他們特意在問題旁加上兩顆星,代表超難題目,也許難到不應用作競賽題目。委員會作了長時間的考慮後,又真的斗膽敢採用此題,結果這題目就成了第29屆國際數學奧林匹克競賽的第6題。

委員會有人覺得這可能會成為破紀錄的沒有選手解到的國際奧數問題,然而事實上並非如此,雖然268名選手的平均得分只有0.6分,為IMO舉辦29年以來最低的一題,但這題難倒4位數論專家的題目竟被11位中學生以7分滿分成績解答。

陶哲軒被譽為當今世上最出色的年輕數學家之一。他自小已是數學天才,於10歲、11歲及12歲參加了三次國際數學奧林匹克競賽,分別得了銅獎、銀獎與金獎,是銅獎、銀獎與金獎的最年輕得獎紀錄保持者。他於16歲得到學士學位、21歲得到普林斯大學博士學位,並在24歲成了加州大學洛杉磯分校(University of California, Los Angeles,簡稱UCLA)數學系的終身教授,是該校史上最年輕的終身教授。他於31歲獲得菲爾茲獎。菲爾茲獎是數學界最高的榮譽,由於諾貝爾獎不設數學獎,所以菲爾茲獎基本上就是等同於數學屆的諾貝爾獎。

為何我突然花這麼多的時間介紹陶哲軒呢?因為他參與了1988年的國際數學奧林匹克競賽獲得金獎,他於頭5題都全取7分,最後的第6題卻只有1分。這條超級難題連當今世上其中一位最出色的數學家都破解不了,令題目更添傳奇色彩。

獲特別獎的解題方法

保加利亞選手Emanouil Atanassov卻得到了該題的特別獎。特別獎的得獎者必須用非常漂亮、精彩獨到的方法解題,答案比標準答案更精彩,通常也更簡潔,才有機會得獎,可以說比得到滿分更困難。他用到的方法叫「韋達跳躍」(Vieta jumping)。史丹福找不到文獻記載這條奧數問題出現前有沒有人用過此方法解題,不過可以肯定的是,這方法在該屆IMO之後聲名大噪,現今已是參加數學比賽者訓練時必定會學到的技巧。

「韋達跳躍」的概念其實都只是來自高中數學,沒有甚麼高深,只不過是利用了極盡巧妙的方法,把初等數學的威力發揮得淋漓盡致而已。

這技巧牽涉到兩個重要數學,一是韋達定理(Vieta’s theorem),一是無窮遞降法(method of infinite descent)。

韋達定理其實就是二次方程中根的和與積及項數的關係,設ax2+bx+c=0有根α與β,α+β = -b/a,αβ=c/a。這應該是DSE高中數學第一課的內容,廣為人知(雖然課程沒有用到韋達定理這個很專業的名稱)。

至於無窮遞降法是一種反證法,用的是「沒有最小,只有更小」的概念。如果我們假設一方程式有一正整數解,那麼應該有一最小的解。然後我們再證明「如果有一解,必有另一個更小的解」,也就是說「沒有最小,只有更小」,這與方程式有最小解互相矛盾,由此推論出唯一可能就是我們的假設出錯,因此方程式根本上沒有解。 這個方法最先由大數學家費馬使用,證明了x4+y4=z4沒有正整數解,也就是費馬大定理中n=4的情況。歐拉也用無窮遞降法證明過每個除4的餘數為1的質數都可以表達為兩個平方之和,值得一提的是這定理也是由費馬最先提出的,雖然他沒有提出證明。

言歸正傳,我們就試試用這方法解開傳奇的第6題吧!


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月薪25萬牙醫與3萬小資有相同煩惱?缺乏財務大局觀或許更焦慮!

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Photo Credit: VI College價值投資學院

我們想讓你知道的是

針對高收入族群的財務焦慮,建議先清楚所有支出項目,列出每項支出的底限;並檢視每一支出的流向、好好善用機會成本;最後重新調整資產配置,才能慢慢邁向想要的理想生活。

本文作者:VI College價值投資學院 台灣區總經理 黃士豪

先前一名網紅指出「25萬高收入族煩惱跟3萬小資相同」引發熱議,多數網友都無法認同,但我曾經遇過一位每月平均收入約25萬的牙醫,焦慮指數遠超過一般月薪3萬小資族。

職業為牙醫的陳醫師,雖然每月收入依診所患者數量有所起落,但近一年來平均月收入也有25萬,如果看診數量較多,當月收入可能差不多是小資新鮮人一年的薪水。

接到陳醫師的諮詢需求時,我檢視了一下陳醫師資產負債情況,各種狀況算相當不錯,並沒有特別需要修改的地方,除了投資組合總資產比多數人高出許多外,手頭也有足夠現金可以擁有良好生活品質。

然而我也發現陳醫師的焦慮恐慌指數位居「前段班」。在老婆還有一份時間彈性的工作,可共同貼補家用同時,陳醫師本人還是因為每月總「入不敷出」而始終對「缺錢」存在極大焦慮,對談時可以明顯感覺到他愁眉不展。

除了覺得賺的錢跟不上花錢速度外,陳醫師對投資始終無法看到明顯獲利,也對能不用擔心經濟壓力、實現財務自由和減少晚上及週末工作時間,這些遲遲無法達成的願望感到無力。

將陳醫師的資產負債、預算損益及投資組合全盤檢視一遍後,發現他入不敷出及焦慮主要原因有三個:「財務審視不全面」、「保險機會成本過高」及「理財結構過於保守」,而這三個問題同時也是相當多小資族財務管理及投資理財時容易犯的錯誤。

五月第二篇
Photo Credit: VI College價值投資學院
VI College價值投資學院 台灣區總經理 黃士豪建議陳醫師要看清財務全面大局拋除金錢焦慮。

賺再多也是超支,都是因為缺乏財務的大局觀。

陳醫師雖然有做帳的習慣,但缺少了與老婆妥善溝通,因此對整個家庭支出總是後知後覺,金錢分配也有些混亂。

建議陳醫師應該要清楚將每月預算損益明確分類,倘若不能知道家中各個支出類別、就容易缺乏全局觀,不會知道各個預算哪邊多、哪邊少。一直見樹不見林就會覺得每一筆支出都該花,最後造成怎麼賺都無法完全支付開銷。

例如:陳醫師接下來可能會面臨換車這類龐大支出的抉擇,如果缺乏支出優先順序,容易讓每個花錢決策看起來都很合理,最後將陷入錢永遠不夠花的窘境。

我建議陳醫師將保險、生活費、交通、教育等支出分類,明確定義出每月比例,將這些支出以平均月收入設定底限,在有限「開銷」下就能避免各項開銷造成不必要浪費。

省下不必要的花費就有機會產生複利效應,這是高收入族群容易忽略的思維,所以會更容易在各個支出項目當中超支,即便收入高,最後也跟很多人一樣入不敷出。

給陳醫師的建議一:想清楚機會成本,每一塊錢都很重要!

不管收入有多少,有個理財共通觀念必須記住:每一塊錢都很重要!

陳醫師的財務現況,比起入不敷出這問題,我覺得更需要立即為他進行深入「保險健檢」!全家人一個月單醫療及意外險就高達4萬元保險支出,明顯高出該負擔成本,更不符合機會成本。

相當多人購買保險這類看似有「保障」的產品時,特別容易忽略機會成本問題,覺得應該多保一點,當有需求時就能多拿回一點。但是當我們只專注於保險,忘記或忽略其他開銷,就會造成過度投入。

無論收入有多少,保險支出絕不能超過每月收入十分之一。以陳醫師這個案例來看,假設把每月41,000元保險費降到合理比例24,000元,即使只將這省下的17,000元為小孩簡單投資ETF,以報酬率9%計算,30年就有2,400多萬元。

多出的17,000元保險費,能提供的保障是否超過將錢放入投資的報酬率?這就是他已經失去的機會成本。

給陳醫師的投資建議二:想實現財富自由夢想,先拋掉對金錢的焦慮

為何擁有高收入的陳醫師,也有相當多資產分配於投資中,感覺做了很多投資、卻無法看到獲利成果?理由很簡單:因為投資配置沒有辦法支撐夢想。

分析他的投資組合,保障型資產高達600萬佔23%,防守型資產包含房子共2,000萬佔75%,進攻型資產只投入60萬、佔2%,明顯無法帶來足以支付開銷的高獲利。

我的建議是如果本身個性無法承受太多風險,可以將進攻型資產提高到至少47%,防守調整至47%;至於現金、活存這些保障型資產,就算每個月支出高達30萬,預留半年180萬保障金也就足夠,可以降低至7%。

在房地產無法變現情況下,他現在也只需要將當初為小孩存的美金保單活用於投資中立即就增加200萬進攻型資產,在已經懂得如何選股的情況下,自然就離夢想更進一步!

針對高收入族群的財務焦慮,建議先清楚所有支出項目,列出每項支出的底限;檢視每一支出的流向、好好善用機會成本;最後重新調整資產配置,才能慢慢邁向想要的理想生活。

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Photo Credit: VI College價值投資學院


本文章內容由「VI College價值投資學院」提供,經關鍵評論網媒體集團廣編企劃編審。


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