《從一到無限大》:所有物體都是四維的──三維屬於空間,一維屬於時間

《從一到無限大》:所有物體都是四維的──三維屬於空間,一維屬於時間
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我們想讓你知道的是

只要再多思考一下,你就會發現到,實在不需要把第四個方向看得太神祕。事實上,有一個我們幾乎每天都要用的字眼,可以用來表示、並且也的確就是物理世界的第四個獨立的方向,那就是「時間」。

文:喬治.加莫夫

時間是第四維

關於第四維的概念經常被認為是很神祕、很值得懷疑的。我們這些只有長度、寬度和高度的生物,怎麼竟敢奢談什麼四維空間呢?從我們三維的頭腦裡能想像出四維的情景嗎?一個四維的正方體或四維的球體該是什麼樣子呢?

當我們說的是「想像」一頭鼻裡噴火、尾上披鱗的巨龍、或一架設有游泳池並在雙翼上有兩個網球場的超級客機時,實際上只不過是在頭腦裡描繪這些東西果真突然出現在我們眼前時的樣子。我們描繪這種圖像的背景,仍然是大家所熟悉的、包括一切普通物體──連同我們本身在內的三維空間。

如果說這就是「想像」這個詞的含義,那我們就想像不了出現在三維空間背景上的四維物體是什麼樣子了,正如同我們不可能將一個三維物體壓進一個平面那樣。

不過且慢,我們確實可以在平面上畫出三維物體來,因而在某種意義上可說是將一個三維物體壓進了平面。然而,這種壓法可不是用水壓機或諸如此類的物理力來實現,而是用「幾何投影」的方法進行的。這兩種將物體(以馬為例)壓進平面的方法的差別,可以從圖24上看出來。

用類比的方法,現在我們可以說,儘管不能把一個四維物體完完全全「壓進」三維空間,但我們能夠討論各種四維物體在三維空間中的「投影」(projection)。不過要記住,四維物體在三維空間中的投影是立體圖形,如同三維物體在平面上的投影是二維圖形一樣。

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圖24 把一個三維物體「壓」進二維平面的兩種方法。左圖是錯誤的,右圖是正確的

為了更理解這個問題,讓我們先考慮一下,生活在平面上的二維扁片人是如何領悟三維立方體的概念的。不難想像,作為三維空間的生物,我們有一個優越之處,即可以從二維空間的上方、即第三個方向來觀察平面上的世界。

將立方體「壓」進平面的唯一方法,是用圖25所示的方法將它「投影」到平面上。旋轉這個立方體,可以得到各式各樣的投影。觀察這些投影,我們那些二維的扁片朋友就多少能對這個叫做「三維立方體」的神祕圖形的性質有一點概念。他們不能「跳出」他們那個面像我們這樣看這個立方體。

不過僅僅是觀看投影,他們也能說出這個東西有八個頂點、十二條邊等等。現在請看圖26,你將發現,你和那些只能從平面上揣摩立方體投影的扁片人一樣處於困境了。事實上,圖中那一家人如此驚愕地研究著的那個古怪複雜的玩意兒,正是一個四維超正方體在我們這個普通三維空間中的投影。(更確切地說,圖26所示的是四維超正方體的三維投影在紙面上的投影)

仔細端詳這個形體,你很容易發現,它與圖25中令扁片人驚訝不已的圖形具有相同的特徵:普通立方體在平面上的投影是兩個正方形,一個套在另一個裡面,並且頂點和頂點相連;超正方體在一般空間中的投影則由兩個立方體構成,一個套在另一個裡面,頂點也相連。數一數就知道,這個超正方體共有16個頂點、32條邊和24個面。

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圖25 二維扁片人正驚奇地觀察著三維立方體在他們那個世界上的投影
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圖26 四維空間的來客!這是一個四維超正方體的正投影

好一個正方體,是吧?

讓我們再來看看四維球體該是什麼樣子。為此,我們最好還是先看一個比較熟悉的例子,即一個普通圓球在平面上的投影。不妨設想將一個標出陸地和海洋的透明的地球投射到一堵白牆上(圖27)。在這個投影上,東西半球當然重疊在一起,而且,從投影上看,美國的紐約和中國的北京離得很近。

但這只是個表面印象。實際上,投影上的每一個點都代表地球上兩個相對的點,而一架從紐約飛到北京的飛機,其投影則會先移動到球體投影的邊緣,然後再一直退回來。儘管從圖上看,兩架不同飛機的航線的投影會重合,但如果它們「確實」分別在不同的半球上飛行,那麼是不會相撞的。

這就是普通球體平面投影的性質。再發揮一下想像力,我們就不難判斷出四維超球體的三維投影的形狀。正如普通圓球的平面投影是兩個相疊(點對點)、只在外面的圓周上連接的圓盤一樣,超球體的三維投影一定是兩個互相貫穿並且外表面相連接的球體。

這種特殊結構,我們在上一章就討論過了,不過那時是作為與封閉球面相類似的三維封閉空間的例子提出的。因此,這裡只需再補充一句:四維球體的三維投影就是上一節講到的兩個沿整個外表皮長在一起的蘋果。

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圖27 圓球的平面投影

同樣地,用這種類比的方法,我們能夠解答許多有關四維形體其他性質的問題。不過,無論如何,我們也絕不可能在我們這個物理空間內「想像」出第四個獨立的方向來。

但是,只要再多思考一下,你就會發現到,實在不需要把第四個方向看得太神祕。事實上,有一個我們幾乎每天都要用的字眼,可以用來表示、並且也的確就是物理世界的第四個獨立的方向,那就是「時間」。

時間經常和空間一起被用來描述我們周遭發生的事件。當我們說到宇宙間發生的任何事情時,無論是在街上與老朋友邂逅,還是遙遠星體的爆炸,一般都不只說出它發生在何處,還要說出發生在何時。因此,除了表示空間位置的三個方向要素之外,又增添了一個要素──時間。

再想一想,你很容易去意識到,所有的實際物體都是四維的:有三維屬於空間,一維屬於時間。你所住的房屋就是在長度上、寬度上、高度上和時間上伸展的。時間的伸展從蓋房子時算起,到它最後被燒毀,或被某個拆遷公司拆掉,或因年久而坍塌為止。

沒錯,時間這個方向要素與其他三維很不相同。時間長短是用鐘錶量度的:滴答聲表示秒,叮噹聲表示小時;而空間間隔則是用尺量度的。再說,你能用一把尺來量度長、寬、高,卻不能把這把尺變成一座鐘來量度時間;還有,在空間裡你能向前、向後、向上走,然後再返回來;而在時間上卻只能從過去到未來,是退不回來的。


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