SIR模型:讓我們用「南部力學」模擬傳染病吧

SIR模型:讓我們用「南部力學」模擬傳染病吧
Photo Credit:物理雙月刊
我們想讓你知道的是

修但幾咧,「南部力學」?研究野豬和多糖的珍珠奶茶的力學?有沒有「北部力學」? 南部力學事實上是南部陽一郎(Yoichiro Nambu) 所提出的一種哈密頓力學的推廣。

文:文裕

為了衡量疾病的傳染性,科學家提出了「基本傳染數R0」,具體是這樣計算的:

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R0=每次與健康的人接觸的傳染概率(p)x染病時每單位時間與健康的人的接觸次數(c)x染病時長(t)

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百年前的西班牙流感的R0是2~3,即是平均每個患者會傳染給2至3人,而麻疹則高達12~17人。按照這R0的意義,對於R0=2的疾病而言,它的傳播狀況是這樣的:

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也就是說,即使一種傳染性不強的病,32個患病周期就能感染全人類嗎?

才不會。

首先,當人們注意到某疾病的傳播時,人們會採取措施以減低患病風險。例如病人會被隔離(減少式中的c),人們會使用口罩等防護裝備(減少式中的p)。甚至,即使該地區的人什麼都不做,傳染率還是會下降,因為健康的人越來越少。

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所以,Sir,我們不能用指數律來模擬傳染病的。我們用「SIR模型」吧!

這裡的S、I和R分別指的是:

  • S=健康人數
  • I=感染人數
  • R=康復或死亡人數

而SIR模型的公式長這樣:

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其中N=S+I+R是總人數(包括不幸病故的人),而β是感染率。為方便起見,β/N會記為β,即每單位人口感染率。由於感染是由健康的人和病人接觸造成的,所以感染率(dS/dt的絕對值)與感染人數I和健康人數S成正比。每單位時間的康復人數(dR/dt)與染病人數成正比,γ為復原率。因此SIR模型是個很直觀的簡單模型。

然而要讓SIR模型更貼近現實,我們可能要讓係數β(感染率)和γ(復原率)隨時間變化(例如冬季時流感的β普遍較大);又可能要考慮不同地區之間的交通和隔離等等。這麼一來,模擬的複雜程度又更高了。

為了使模擬更精確更貼近現實,物理學家提供了非常多的主意,其中一個是利用「南部力學」來模擬。

修但幾咧,「南部力學」?研究野豬和多糖的珍珠奶茶的力學?有沒有「北部力學」?南部力學事實上是南部陽一郎(Yoichiro Nambu)所提出的一種哈密頓力學的推廣。

當我們學牛頓力學,我們會直觀地認識「力」,然後再利用牛頓定律列出運動方程來研究系統的演化。例如單擺運動中,我們會考慮單擺受的力,再利用F=ma計算單擺的位置如何隨時間演化。

至於哈密頓力學,它的奠基概念不是力,而是哈密頓量H。在不少情況中,H=動能K+勢能U。當我們選定了用什麼座標系統後,利用這公式就能寫出關係式模擬系統的演化:

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這裡q是你選定的坐標,p則是對應的動量。如果對哈密頓力學不熟悉,可以參考這裡的例子。

我們挑選θ作為座標。由於座標是一隻角,所以p就是角動量。那麼:

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運動方程就能寫成:

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哈密頓力學有明顯的特徵,就是一個系統中只有一個H。而南部陽一郎所作的推廣,就是增加可以處理的H。其實南部力學最初是用來研究剛體的力學。對於有兩個守恆量H1和H2的系統,南部陽一郎提出公式:

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這條公式又可以怎麼用呢?我們可以把一個地區的感染狀況當成一個在球面運動的質點,它的位置是:

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在SIR模型中,我們有這兩個守恆量:

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所以一旦我們知道β和γ兩個參數後,可以用這方程知道質點的瞬時速度:

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用這個方法模擬傳播的好處是,除了模擬一個封閉的社會中的傳播狀況,還可以模擬多個互相影響的社區。

參考資料
  • 1.James Holland Jones (2007), “Notes OnR0”, (unpublished) https://web.stanford.edu/~jhj1/teachingdocs/Jones-on-R0.pdf
  • 2.Kazumi Omata (2017), “Nonequilibrium statistical mechanics of a susceptible-infected-recovered epidemic model”,phys. Rev. E, 96,022404.
  • 3.Yoichiro Nambu (1973), “Generalized Hamiltonian Dynamics”phys. Rev. D, 7, 2405.

本文經物理雙月刊授權刊登,原文刊載於此

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航