SIR模型：讓我們用「南部力學」模擬傳染病吧

文：文裕

為了衡量疾病的傳染性，科學家提出了「基本傳染數R₀」，具體是這樣計算的：

百年前的西班牙流感的R₀是2～3，即是平均每個患者會傳染給2至3人，而麻疹則高達12～17人。按照這R₀的意義，對於R₀＝2的疾病而言，它的傳播狀況是這樣的：

Photocredit：物理雙月刊

也就是說，即使一種傳染性不強的病，32個患病周期就能感染全人類嗎？

才不會。

首先，當人們注意到某疾病的傳播時，人們會採取措施以減低患病風險。例如病人會被隔離（減少式中的c），人們會使用口罩等防護裝備（減少式中的p）。甚至，即使該地區的人什麼都不做，傳染率還是會下降，因為健康的人越來越少。

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所以，Sir，我們不能用指數律來模擬傳染病的。我們用「SIR模型」吧！

這裡的S、I和R分別指的是：

• S＝健康人數
• I＝感染人數
• R＝康復或死亡人數

而SIR模型的公式長這樣：

Photo Credit：物理雙月刊

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其中N＝S＋I＋R是總人數（包括不幸病故的人），而β^＊是感染率。為方便起見，β^＊/N會記為β，即每單位人口感染率。由於感染是由健康的人和病人接觸造成的，所以感染率（dS/dt的絕對值）與感染人數I和健康人數S成正比。每單位時間的康復人數（dR/dt）與染病人數成正比，γ為復原率。因此SIR模型是個很直觀的簡單模型。

然而要讓SIR模型更貼近現實，我們可能要讓係數β（感染率）和γ（復原率）隨時間變化（例如冬季時流感的β普遍較大）；又可能要考慮不同地區之間的交通和隔離等等。這麼一來，模擬的複雜程度又更高了。

為了使模擬更精確更貼近現實，物理學家提供了非常多的主意，其中一個是利用「南部力學」來模擬。

修但幾咧，「南部力學」？研究野豬和多糖的珍珠奶茶的力學？有沒有「北部力學」？南部力學事實上是南部陽一郎（Yoichiro Nambu）所提出的一種哈密頓力學的推廣。

當我們學牛頓力學，我們會直觀地認識「力」，然後再利用牛頓定律列出運動方程來研究系統的演化。例如單擺運動中，我們會考慮單擺受的力，再利用F＝ma計算單擺的位置如何隨時間演化。

至於哈密頓力學，它的奠基概念不是力，而是哈密頓量H。在不少情況中，H＝動能K＋勢能U。當我們選定了用什麼座標系統後，利用這公式就能寫出關係式模擬系統的演化：

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這裡q是你選定的坐標，p則是對應的動量。如果對哈密頓力學不熟悉，可以參考這裡的例子。

我們挑選θ作為座標。由於座標是一隻角，所以p就是角動量。那麼：

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運動方程就能寫成：

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哈密頓力學有明顯的特徵，就是一個系統中只有一個H。而南部陽一郎所作的推廣，就是增加可以處理的H。其實南部力學最初是用來研究剛體的力學。對於有兩個守恆量H₁和H₂的系統，南部陽一郎提出公式：

這條公式又可以怎麼用呢？我們可以把一個地區的感染狀況當成一個在球面運動的質點，它的位置是：

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在SIR模型中，我們有這兩個守恆量：

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所以一旦我們知道β和γ兩個參數後，可以用這方程知道質點的瞬時速度：

用這個方法模擬傳播的好處是，除了模擬一個封閉的社會中的傳播狀況，還可以模擬多個互相影響的社區。

參考資料

• 1.James Holland Jones （2007）， “Notes OnR₀”， （unpublished） https://web.stanford.edu/～jhj1/teachingdocs/Jones-on-R₀.pdf
• 2.Kazumi Omata （2017）， “Nonequilibrium statistical mechanics of a susceptible-infected-recovered epidemic model”，phys. Rev. E， 96，022404.
• 3.Yoichiro Nambu （1973）， “Generalized Hamiltonian Dynamics”phys. Rev. D， 7， 2405.

本文經物理雙月刊授權刊登，原文刊載於此

責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航