《數學之前人人平等》:為什麼醫師們有時會高估癌症檢測陽性結果,與罹病風險之間的關係?

《數學之前人人平等》:為什麼醫師們有時會高估癌症檢測陽性結果,與罹病風險之間的關係?
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我們想讓你知道的是

工作上需要用到數字的醫生和政治家在內,許多人對於數字都有先知先覺般的無力感。因為有這麼多人在學校裡有學數學的困難,我們易受騙於涉及錯誤數學的論證主張。同時,我們通常不願、或是無法做簡單的計算,或是用基礎的邏輯來分析涉及數字的主張。

文:約翰.麥登(John Mighton)

第二章 數學不合理的有效性

想像一下,如果你到醫生那邊做例行檢查,得知自己幾乎確定罹患癌症(90%的機率),你會如何反應?——我未曾接到過這類的診斷,不過如果有的話,我知道我的人生在轉瞬間改變。一想到如果不進行立即且有效的治療,我可能不久人世,再也見不到自己的家人和朋友,我當下憂煩的其他所有事情都變得無關緊要。

現在繼續想像一下,你接到診斷後過了幾天,得知醫生對你的檢驗結果犯了解讀的錯誤,其實你只有10%罹癌的機率,你會如何反應?在這種情況下,我很肯定會感覺自己像得到死刑的特赦令。我可能會下決心改變飲食或其他生活習慣來降低我的罹癌風險——不然,大概我會繼續過著和上一次診斷前大致相同的生活方式。

我編造這則關於醫療疏失後果的故事,是為了說明數字對我們生活可能帶來的重大影響。不過這個情景並非完全幻想。醫師確實會錯誤解讀癌症檢驗的結果——比你猜想的還要常見。原因不是檢測結果不可靠或不明確,而是因為他們不知道如何計算基本的或然率。

你需要兩組的訊息,才能夠計算一個檢驗呈陽性的病患罹癌的機率:檢測的準確程度、以及總人口中罹患這類型癌症的百分比。任何一個特定的檢驗,你預期每個醫生都會做類似的估計,畢竟較高或較低的罹癌率將決定病患截然不同的療程。不過柏林的普朗克研究院(Max Planck Institute)適應行為與認知中心的心理學家葛爾德.吉仁澤(Gerd Gigerenzer)發現,許多醫師無法正確判定病患在特定測驗的罹癌機率。吉仁澤詢問具有乳房攝影二十年到三十年經驗的放射科醫師(包括部門的主管在內),如果檢測準確率為90%,受檢結果為陽性反應的女性她罹患癌症的機率是多少。令人感到有些震撼的是,他們提出的估計從1%到90%都有——但真正的機率大約是10%。

為什麼醫師們有時會高估癌症檢測陽性結果與罹病風險之間的關係?想像一下,你正參加一個遊戲,參加者輪流轉動如底下圖中轉盤的指針,你希望輪到你的時候指針會落在灰色的區域。如果你想計算它實際出現的機率,你就必須計算所有你轉到灰色的可能方式,然後拿這個數字來比較轉盤上出現所有結果的總數。由於這裡總共有九塊區域,其中灰色的有三塊,轉到灰色的機率是九次中有三次,也就是1/3。

現在假設你在計算轉到灰色的機率時,忘了把所有白色的區域算進去。如此一來,你在轉盤上只算到六塊區域(也就是三塊黑色和三塊灰色的區域),於是你歸結出轉到灰色的機率是六次中有三次,也就是1/2(這比1/3的機率要更高)。雖然人們不大可能犯下這樣的錯誤,不過它和醫生對癌症檢測高估風險的情況有些類似:他們忘了把一些可能結果算進去。

假設你做的癌症檢測的準確度是90%,一般而言每1,000名女性只有10人會罹患乳癌。假如你正好檢驗到的是這10個人,那麼平均來說有九個人會測出是陽性(因為這個檢驗有90%的準確度)。但是這並不代表你檢驗出陽性時你罹癌的機率是90%。我們還沒有把所有可能的結果算進來。我們也必須考慮到在990個沒有罹癌的人當中有多少人會檢驗出陽性。由於檢測的準確度是90%,代表有10%的情況是錯的。所以,在990個人當中大約有10%的人(也就是99人)並沒有罹癌,但是得到錯誤的陽性結果。這表示在每1,000位接受檢驗的人當中,大約有9 + 99 = 108會測出癌症陽性反應,但是其中只有九人實際上得到癌症。因此你檢驗結果是陽性而實際罹患乳癌的機率大約只有9/108,相當於8.3%,也就是接近10%。

當然,90%和10%只是數字而已。不過,當它們代表癌症檢驗的兩種可能結果,不難想像數字錯誤代表的實際意涵。醫師跟他們的病患說有90%的機會罹癌,但實際上的可能性只接近10%,這可能引發病患非常不必要的緊張,促使他們尋求不需要且有不良副作用的療法。由於數字無形無狀,往往在我們無法感知的尺度上展現其巧妙的功能——從刻記在病毒DNA上的致命符碼到不斷創造元素的巨大恆星。我們做的每個決定幾乎都有它扮演的角色,從我們累積的債務總額(個人的和國家的),到我們選擇用什麼方法消滅某種病毒。有很多的理由告訴我們,確保社會中每個可以投票、擁有工作、開出處方、擔任陪審員、購買商品、搭建橋樑、協商合約、貸款買房、投資股票、銷售房屋、使用能源、或扶養子女的人都有基本數字觀念和一般數學常識,才是明智的做法。

數學和社會

當我們把目前教育的成果,和認知科學斷定可能得到的成果,或是像莫洛這樣的教師能創造的成果做比較,很顯然我們雖然生活在最富裕的社會,但我們仍處於智識貧窮的年代。

不難看出我們經濟的生產力還沒有完全發揮,因為有這麼多人認為自己學不會數學。企業的領導人經常抱怨他們需要技術的職務招聘不到人,或是他們公司生產力無法提升,原因出在他們找不到了解數學或是樂於學習數學的人來擔任技術性或是科學性的職務。美國的白宮科學與科技諮詢委員會最近的一份報告估計,在未來的十年內,美國產業界所需要的STEM(科學、科技、工程、和數學)大學畢業生缺額將達到一百萬人。

為數學所苦的人們,對於個人的財務、或是該投票支持什麼樣的經濟政策,都無法做出明智的決定。我從不曾聽過有人公開宣稱他看不懂菜單因為他是文盲,但是我常聽到人們(帶著些許驕傲)對朋友說,他們不會算餐廳的帳單或是計算稅金。這種基本數學能力的缺乏可能有嚴重的後果。十年前,全世界經歷經濟大衰退,這是本來可以避免的,如果人們事先能了解抵押貸款率增加百分之零點幾對他們每個月的開支會有什麼影響。增加0.5%聽起來似乎不大,不過如果你付的房貸率是2%,增加0.5%代表你的利率一下暴增了25%(同時每月償款金額也增加大致相同的幅度)——這是銀行業務員在鼓吹賣房時該說明清楚的。一般人對數字的不靈光也許有助於解釋為何有大約一千萬美國人和一百萬的加拿大人在過去十年會宣布破產。


許多研究都說明一個人教育品質與他生活品質存在的相關性。事實上,相較於其他領域的成就,數學對於人生有著超乎比例的影響。

在2007年有關美國學生從學齡前到畢業的學術成就,葛瑞格.鄧肯(Greg Duncan)和一個認知科學團隊對六個長期性研究結果進行分析。他們發現,比起其他如閱讀和專注力的技能,早期習得的數學技能對往後在學校的成功是更加明顯、有力的預測指標。在2010年,兩個加拿大的研究——一個在魁北克省、另一個則是全國性的⸺也得到同樣的結果。這些研究推斷一個人教育水平為生活品質所帶來的許多正面影響,很可能決定於他們數學的能力水平。

在2005年,社會學家莎曼珊.帕森絲(Samantha Parsons)與約翰.拜納(John Bynner)根據英國人口長期研究的數據來判斷數學盲(innumeracy)對三十歲男女造成的影響。他們發現,「數學能力不佳」的人無業的比例是「具數學能力」的人的兩倍。數學能力不佳的男性,不論識字程度如何,都有憂鬱症的較高風險,可能對政治較缺乏興趣、也可能曾經被學校停學或遭警察逮捕。數學能力不佳對女性的負面影響甚至更大。不論識字程度如何,數學能力不佳的女性對政治或投票可能較不感興趣,從事半技術或非技術職務的兼職,或是無業在家的機會比較高。她們也比較可能感覺健康不佳、有自卑感、對自己的生活缺乏控制力。

拜納和帕森絲較早的一項研究也顯示,數學能力不佳的人往往「儘快且往往在未拿到畢業證書之前」就脫離全日制的教育,「隨後斷斷續續處於打零工和無業的狀態」。他們大部分的工作屬於低技術工作,薪資低廉而且沒有太多職訓或升職的機會。


數學能力對在生活諸多領域中做出明智決定至關重要。涉及到健康的決定更是如此。數學能力較差的人比較無法理解篩檢或是按時照正確劑量服藥的風險和好處,因此他們治療的效果不如數學好的人。數學甚至對心理健康有令人意外的影響。根據一項研究,憂鬱症的人透過心算來啟動他們腦部的前額葉,會發現他們在面對情緒難題時比較易於控制想法。

不難看出,懂數學可以幫我們做出明智決定。不過,懂數學也能幫我們解決問題,以及避免在一開始就製造問題,因為它提供我們需要的工具,對各種政治、環境、和經濟政策的好處和風險做出理性且有系統思考。在假新聞與偏激觀點如傳染病般在社群媒體上擴散的時刻,一般公民進行數學思考的能力益發重要。

在2016年1月11日的一場記者會中,美國一位知名政治人物聲稱有9,600萬個美國就業人口找不到工作。我一看到這個說法,就直覺不可能是真的,於是我做了簡單的心算:我知道美國大約有三億人口,假設在美國有2/3(也就是大約兩億人)的就業年齡人口。9,600萬這個數字接近一億,已經是兩億人中的1/2。所以說,如果這位政治人物說法正確,那麼在2016年有大約一半在就業年齡的美國人想找工作卻找不到。換句話說,美國在2016年的失業率接近50%!遺憾的是,似乎沒什麼人注意到(或是在乎)這位政治人物做了如此不合情理的聲明,也只有少數幾家媒體質疑它背後的數學。

在1990年代,紐澤西州的政治人物通過了一項法案,不准接受社會福利金的母親為法案生效後出生的子女申請稅務優惠。兩個月之後,統計數字顯示紐澤西州的新生兒出生率下降,有些政治人物宣稱這是法案帶來的效應。然而,他們顯然忘了懷孕期需要九個月,所以這個法案不可能在兩個月內就有這樣的影響。(評估這項法案效應一個較長期的問題是有些接受社福補助的女性會不想去申報嬰兒出生,因為這麼做對她們並沒有好處)。

如果政治人物接受過邏輯思考的訓練,他們就會知道,當你想證明自己的主張時,除非(不帶感情的)先考慮所有可能的反例,否則無法建構一個有效的論證。此外,如果他們知道如何計算或然率和做基本的統計,他們在宣稱知道原因之前就會先小心衡量一個現象的所有相關因素。如果人們競選公職之前必須通過基本數學思考的課程,政治辯論將變得更理性也更有成果。


當人們試著用數字來證明人類的智力或運動天分是由我們的基因組成所決定,他們經常會犯下使用比例或百分比的基本錯誤。

大衛申克在《別拿基因當藉口》(The Genius in All of Us)這本書中提到一個有趣的例子,它曾是全球新聞媒體流傳的一個說法,儘管它有明顯的數學錯誤。2008年奧運會上,牙買加的運動員震撼全美國,他們在田徑項目拿下了十一面獎牌,其中包括六面金牌,相較之下美國的獎牌總數是二十五面。這個結果格外令人印象深刻,因為美國的人口大約是牙買加人口的一百倍,因此美國應該要多拿好幾倍的獎牌。

全世界的運動評論員馬上開始流傳一種說法,說牙買加運動員能贏得不成比例的獎牌是因為在牙買加幾乎每個人都帶有一種特殊的基因變異(ACTN3),它調節一種蛋白質(α-輔肌動蛋白3)的生產,可促進肌肉更快速有力的收縮。

在美國,體內有ACTN3基因的人約只占全部人口的80%,但是在牙買加則占了98%。98%聽起來是比80%大得多的數字,不過要知道,某個國家實際上有多少人帶有這種基因,就必須把攜帶這種基因的人口比例乘以這個國家的人口數。由於美國的人口大約是牙買加人口的100倍,我甚至不需實際計算就可以確定,美國人口乘上80%(也就是0.80)會比小小的牙買加人口乘上98%(也就是0.98)要大上許多。

事實上,如果你真的計算會發現,美國帶有ACTN3基因的人數要多將近一百倍,因為美國人口是牙買加的一百倍以上。所以說,如果ACTN3 的變異基因對產生奧運田徑得牌選手扮演重要的角色,美國得到的獎牌應該是牙買加的一百倍。(真相似乎是一名牙買加傑出短跑選手發起的全國訓練計畫,促成牙買加運動選手在賽場上的成功。)

工作上需要用到數字的醫生和政治家在內,許多人對於數字都有先知先覺般的無力感。因為有這麼多人在學校裡有學數學的困難,我們易受騙於涉及錯誤數學的論證主張。同時,我們通常不願、或是無法做簡單的計算,或是用基礎的邏輯來分析涉及數字的主張。幸運的是,要做一個新聞和社群媒體上更明智的使用者、要應對每日生活的複雜情境、或是要提升未來展望或工作表現所需的數學能力,相對而言要取得並不困難。

妲爾佳.巴爾(Darja Barr)是曼尼托巴大學教導護理系學生大一數學的數學教授。她第一手見證學生因數學能力欠缺所承受的傷害。在北美地區,每一年有成千上萬的大學院校學生因為入門程度的數學不及格或太低分,被迫離開學校或改變生涯規畫。這些經不起被退學、選擇從事低薪工作的學生,因為對數學的理解太差而必須承擔他們無力償還的債務。

每年大約有二十名原住民學生選修巴爾的課程,但是有很高比例的學生不及格或成績很差,因為他們缺乏上這門課的數學背景知識。在2016年,完成巴爾課程的原住民學生平均成績是D+。看到這麼多熱切想成為護理人員的學生因她的課程而夢碎,這讓巴爾覺得很難過。2017年,她利用空檔時間創辦一個星期的暑期「加強班」來幫選課的學生預習課程。她使用JUMP課程中關於數字感、比例、代數和分數的內容(課程在jumpmath.org網站可以取得)當做課程的基礎。那一年,完成她課程的原住民學生平均成績是B+。

如果你考慮到缺乏數學能力對一般護理系學生可能的影響——包括被退學的人要面臨機會和夢想喪失,以及勉強過關的人在工作上犯錯誤以及職務晉升的障礙,一個星期的額外努力對更美好的未來而言只是非常小的投資。我預計,大部分護理學生如果有機會接受巴爾的課程,應該都會歡迎這個能提升他們數學技能的機會。其他學科領域的學生,同樣也能從這類的課程中受益。

在本書中,我要介紹的一套基本數學能力是一般人可以在一到二星期相對短期的「加強班」所學會的,同時它也應該成為每個成人心智工具包的一部分。這些能力包括:整數和分數的基本運算;計算和理解或然率、比率和百分比;簡單的代數運算;基本統計術語的理解;進行估算。我認為這些基本的數學能力是具生產力公民的最低標準要求。如果每個能投票、使用金錢、有工作的人都被預期具備這些能力,我們的社會應該可以會更加文明、更有生產力也更加公平。人們在衡量數學的重要性時,還有一些數學能力很少被考慮到的深刻好處,如果我們真正理解數學思考的驚奇力量,如果我們能夠第一手體驗數學的觀點能夠提升想像力和豐富生命的眾多方式,我們將更加努力去開發每個人全部的數學潛能。

書籍介紹

本文摘錄自《數學之前人人平等:我們都有數學天分,只缺正確的開導和信心》,遠流出版

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作者:約翰.麥登(John Mighton)
譯者:謝樹寬

雲端運算、大數據、人工智慧當道
我們再也經不起對數學一無所知

JUMP數學創辦人約翰.麥登(John Mighton),曾獲世界教育創新獎(WISE Awards),20年來他成功培育成千上萬不同年齡層的學生。他指出,我們的社會嚴重低估小孩和大人們的數學潛能,數學其實是多數人(而非少數特權人士)擁有的天分。

麥登認為目前教學現場所使用的方法往往非常無效率,反而對學習者造成「認知過載」的問題。若能按照設計良好、逐漸增加難度的順序去探索和理解數學概念,學數學可以讓人格外興奮,而且不受限於智商或年齡。JUMP數學觀念讓一般人花短短一到二星期就像在「加強班」中打好基礎。無論是整數和分數的運算,或然率、比率、百分比的理解,簡單的代數運算、基礎統計術語與估算——這些數學能力是具生產力的公民最基本的要求。

他認為數學可為我們提供強大的思維工具,我們因此學會觀察模式、邏輯思考、感知風險、進行類比、理解因果關係以及許多其他關鍵的生活技能。可惜長久以來,我們的社會預期學生之間會有很大的數學成績落差,許多成年人甚至沒有配備這些關鍵的能力。如果能第一手體驗數學提升想像力和豐富生命的多樣方式,我們的世界可以更加文明,更有生產力,也更加公平。

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Photo Credit: 遠流出版

責任編輯:翁世航
核稿編輯:丁肇九