《從掐指一算到穿越四次元的數學魔術》：教你用手指從0比到超過10億

文：麥特．帕克

數是什麼？

你能用手指頭數算到多大的數？嗯，大多數人數算到十就會停住，主要是因為手指頭都數完了，然而並不是每個人都採用這種相當有限的系統，只把手指頭伸直而不彎下。

如果你容許手指頭彎下，那麼你只用兩根指頭就可以數到3。伸直大拇指代表1，食指代表2，兩指同時伸直代表3。現在你的中指可以單獨伸直，代表4；接著，大拇指加上中指代表5，以此類推。這樣你就能一直數到16，而且第一隻手的第五根手指頭還沒用到呢。

利用這套系統，只用手指頭就可以從0一路數到1,023。但我們的人體數字算盤還可以做得更好。如果讓每根手指頭呈彎下、半伸直、完全伸直這三種位置，你就可以從0數到59,048。若更進一步利用四種位置（彎到手掌、半彎、半伸直、完全伸直），範圍就能從0到1,048,575。這已經超過一百萬了，而且是用手指頭數出來的，表現提升了100,000倍，而關節炎的風險只稍微增加了一點。

Photo Credit: 貓頭鷹出版

那幹麼就此打住呢？讓每根手指頭呈八種位置，不但意味著你取得了過去不知道的數字靈巧度，還代表你可以從0數到1,073,741,823：超過10億！當然啦，不好的一面就是，你可能會落得不小心加入街頭幫派。

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這是我試出來的最後一招，但究竟能精進到什麼地步？對於手指極為柔韌、腦袋十分敏捷的人來說，可能沒有上限。

屈指數到十與突然高達十億的差異在於，每根手指的位置現在變得很重要，而不止是美化的畫記。當我們用前兩根手指數到三，大拇指伸直時仍然代表1，但食指單獨伸直時則代表2，而不是「普通的」計數（每根手指都相等，即全部都代表1或加1）。

如果繼續下去，按照上圖中的「上下」方向，中指代表4，無名指代表8，小指代表16，我們就能看出一個數列：每根呈直立位置的手指頭代表的數值，都是前一根指頭呈直立時的數值的兩倍。

透過一點實驗，你就可以找到以這兩種位置屈伸手指來表示每種數目的方法（提示：132是可屈指表示出的最挑釁的數目。試試看……或者就算了）。由於每根手指都有兩種選項，所以這稱為二進位系統或二進制。把它寫下來時，可以用0代表彎下的指頭，1代表伸直的指頭。如果你還記得學校教過的數學，就會發現用二進位制書寫時，第一個位置代表1，第二個代表2，第三個代表4，第四個代表8，以此類推。

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下一個手指計數系統，是根據每根手指頭各有三種位置（彎下；半伸直或半彎，如果想對此表示悲觀的話；伸直），所以通常叫做三進制。你還可以繼續發展下去：四種手指位置會得到四進制；八種手指位置會得到八進制。

而純粹為了加強記憶（確保我們都有集中注意力）：無論是手指還是書寫，每個位置的數值都等於前一個位置乘上進位系統的底數，因此三進制的數列為1, 3, 9,27...，而我們可以用0、1、2這三個數字來表示手指位置的連續階段；又如在八進制中，數列是1, 8, 64, 512...，而由手指的不同位置表示0、1、2、3、4、5、6、7這八個數字。因此，十億的八進位表示法可以寫成7,346,545,000。

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這些類型的數構成了一整個族系的「進位的記數系統」，它完全不同於像羅馬數字系統這樣，數字代表的值絲毫不因位置而異的系統。數字V不管出現在數目的哪個位置，都代表5，而在十進制的數3,435中，數字3既代表3,000也代表30，要視位置而定。

羅馬數字是個設計過度的畫記系統，現在的用途遠超出它們原本的能力範圍。進位制記數系統的功能更為強大，因為它們可以輕鬆表示出大大小小的數。當然，在現代世界裡我們幾乎只用十進位記數系統，不過（我會再說一遍）這只是眾多系統的選項之一。

使用了不同的底數，就會有更多製造混淆的機會。我可以把數目轉換成採用迥異數字的系統，比方從十進位轉換到羅馬數字（例如3,435轉成MMMCDXXXV），而要看出轉換之後的數是以什麼系統來書寫的，並不困難：這就類似把一個字翻譯成採用完全不同的字母表的語言，譬如從英語譯成日語。

然而，如果你是把英文字譯成印尼文，因為仍採用同樣的字母表，所以倘若你不知道自己在哪個語言中，就有可能陷入困境了﹝英文：find youself in hotwater（字面意思：發現自己在熱水中），印尼語的「水」是air，變成「發現自己在熱空氣裡」了﹞。

我忍不住想再講一次那個已經太常講的數學「笑話」，這個笑話就是根據這樣的誤解產生出來的，通常會印在T恤上引人發笑：「世上有10種人，也就是看得懂二進位數及看不懂二進位數的人。」解釋一下笑點：「10」是2的二進位表示法，所以只有那些看得懂二進位數的人才會知道它代表2而不是10。

我會給你一點時間笑完再繼續。

我身為數學家兼任脫口秀表演者，要稍稍苛責這則笑話，因為一直有人講給我聽。通常對方會這麼起頭：「對了，你有沒有聽過這個笑話？嗯，這用說的大概不好笑，可是……」然後就繼續設法講完一個要寫下來才會有笑點的笑話。二進位數笑話的問題就出在這裡：要麼很好笑，要不就是不好笑。不過，無論笑料多寡，這個笑話都是很棒的例子，可說明如何根據你使用的系統，以相同的數字、相同的順序來寫出不同的數目。