《金錢智能》:錢包裡的「歪曲硬幣」——機率的錯覺

《金錢智能》:錢包裡的「歪曲硬幣」——機率的錯覺
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我們想讓你知道的是

因為歪曲硬幣而導致機率推算出錯的例子有哪些呢?接下來我們就來介紹幾個。大家可以試著想想自己能否做出理性的判斷。

文:野口真人(Mahito Noguchi)

錢包裡的「歪曲硬幣」——機率的錯覺

我們不可能時時刻刻都根據合理的判斷來購物。談到消費,我們有時候並不會考慮效用,經常因衝動而買下一些並非迫切需要的商品。

那麼我們在投資時又會如何呢?投資行為在獲得資產增加的同時,也伴隨著現金流量的不確定性 (風險)。由於我們無法對不確定性進行判斷,有時候也會造成投資失敗。

如果說到投機 (賭博),更是會有人因為過於沉迷其中而傾家蕩產。

本書在第三章曾提到,無法進行合理判斷的原因之一,就是我們還沒有找到一個能夠將時間因素結合起來判斷的方法。正如前文所說,年齡、環境的不同,人們對時間的感受也會有所改變。即使對同一個人來說,時間的長短也會因情境變換而不同,從而引起現金流量效用的複雜變化。

而且,在你的錢包中還時常會有迷惑你判斷的「歪曲硬幣」。一般來說,丟擲一枚硬幣,正反面朝上的機率應該各是百分之五十。「歪曲硬幣」只有正面會朝上。這枚硬幣讓你產生一種錯覺:「如果丟擲硬幣,一定都是正面朝上」或者「目前為止一直是正面朝上,下一次應該會是背面朝上了吧」。本章,我們就來具體介紹幾個「歪曲硬幣」的例子。

這張彩券值多少錢

我們來思考下面這個遊戲。在一場賭徒的聚會上,參加的一百名會員決定玩一個遊戲。

  • 每個會員支付一萬日圓的參賽費。
  • 向一百個人發放一到一百號的號碼卡。
  • 箱子中放有編號一到一百號的球。主辦人的助手會從箱子中隨機抽出一顆。
  • 持有與助手抽出的球號碼相同號碼卡的人,可獲得一百萬日圓的獎金。

到目前為止,遊戲還非常簡單。接下來,我們稍稍改變一下宣布中獎號碼的方法。改由主辦人依次宣讀未中獎號碼,逐一排除中獎人選。

非常遺憾,在宣讀第三十個未中獎的號碼時,你的號碼就被叫到了。之後主辦人繼續宣讀,最終只剩下二十號和八十一號兩個號碼。

這個時候,你旁邊的男人晃著手中的二十號卡片,向你提議說:「在最終宣讀中獎號碼之前,我可以把這張二十號賣給你。」他開價十萬日圓。你會答應這筆交易嗎?

獎金為一百萬日圓,剩下的號碼只有兩個,二十號中獎的機率是百分之五十,所以它的期望值應該就是五十萬日圓。可以用十萬日圓買到價值五十萬日圓的卡片,應該是筆划算的交易。這樣一想你覺得可以答應他的提議。

但事實果真如此嗎?實際上,你和他交易所得到的期望值並不是五十萬日圓。如果你高高興興地付了十萬日圓,就落入了這個男人準備好的陷阱裡。

中獎號碼在一開始就由助手選出,主辦人也知道中獎號碼。這時從一號到一百號,每張卡片中獎的機率都是百分之一。也就是說,中獎號碼是二十號的機率也是百分之一。

雖然主辦人一直在宣讀未中獎號碼,但中獎號碼從一開始就是確定的,所以在宣讀過程中,二十號中獎的機率並不會發生改變,只是由於某種偶然的原因,二十號才留到了最後兩位。

中獎機率為百分之一,獎金為一百萬日圓時,二十號卡片的期望值就變成了一萬日圓,與最開始時繳納的一萬日圓參加費用相同。花十萬日圓去買這張卡片,其實是吃了大虧。

如果有人還是無法理解,我再說明得更清楚些。拿著二十號卡片的男人和主辦人認識,如果他對主辦人說「即使我的卡片沒有中獎,也希望你可以把它留到最後宣讀」,這時情況會如何呢?由於並未對中獎號碼做手腳,主辦人這樣做不會有任何罪惡感,於是在不知道這個男人的小把戲的情況下答應了他的請求。

然後,那個男人只要找一個容易上當的冤大頭就可以了。而你正好運氣不佳,成了他的「中獎彩券」。

我們試著改變一下規則。助手從箱子裡逐一取出號碼球,最後剩下的就是中獎號碼。如果遊戲規則變成這樣,情況又會如何?這種情況下,第一次取出號碼球時你的中獎機率是百分之一,但隨著未中獎號碼的增加,你的中獎機率會逐漸升高。

如果最後兩個球中有一個是二十號,那麼它中獎的機率就是百分之五十。期望值就是五十萬日圓,因而這時花十萬日圓買下二十號卡片就是可行的。乍看之下這兩種方案好像是相同的,但改變規則之後,實質上已經截然不同。

世界上有很多這種利用機率的錯覺進行詐騙或從事商業活動的例子。我們要認知到,大多數時候,突然有人打電話通知你「你被選中了」的時候,除了你之外的很多人也同時「被選中了」。

人們不擅長機率

正如前文所說,我們很難正確掌握機率。錢包裡的「歪曲硬幣」,其實就是我們對於機率的誤解。

人的大腦雖然可以推算出合理的機率,但最終還是會相信自己的直覺,落入別人的圈套。而使用了錯誤的機率,結果就會錯誤判斷商品或服務的價值。

即使是確立了歐幾里得幾何學 (Euclid Geometry)的古希臘人,也沒能發展機率論。古希臘人認為,將來發生的一切都取決於神的意志,他們沒有「偶然」這個概念,認為所有的一切都是必然。

古希臘人也賭博, 但沒有骰子。他們用動物骨頭 ( 多為距骨) 製成的「astragalus」代替骰子進行占卜。

「astragalus」是不規則的六面體,它和正六面體的骰子不同,無法事先得知擲出點數的機率。或許,正是因為古希臘人使用不規則的六面體,才沒能發展出機率論也不一定。

但我們並不能說現代人比古希臘人在機率方面有所進化。即使是現在,也很少有人能對機率抱持理性看法。到頭來,我們的錢包裡也有像「astragalus」一般的「歪曲硬幣」,它常常使我們將理性推估出的機率也歪曲了。

人們不擅長機率,有一種解釋是因為現實中的事實是獨一無二的。機率論能從各種樣本中推導出一定的比例,但現實中,很多時候我們只能嘗試一次就會產生結果,根本沒有「再試一次」的機會。

有一些在前線奮戰的士兵,所屬部隊全軍覆沒,獨留他們一人生還,這些人在今後的人生中,都會認為「自己是受神眷顧的特別之人」。人們會有一種傾向,會將偶然當作命運,以此來發掘某種特殊的含義。

機率論可以說是一門「神之視角」的學問。每個人在神看來,都不過是眾多樣本中的一個。但是,對於我們自己來說,很難客觀地將自己當作樣本來看待。

即便如此,我們也想盡可能地提前知道機率,或是提前知道未來現金流量的期望值 (均值),這是聰明使用金錢必不可缺的要素。

前文曾說,投資或投機對象的價值,是由現金流量決定的。正確說來,是由「現金流量的期望值」決定的,因為現金流量必定伴隨著不確定性 (風險),如果知道機率,就可以利用下列公式計算期望值。

投資或投機對象的價值=現金流量的期望值=機率×未來現金流量

賭博就是提前知道發生機率的典型例子。擲骰子時,每個點數擲出的機率都是六分之一。我們假設,擲出某一個點數就可以獲得該點數十倍的獎金,則此遊戲的價值 (現金流量的期望值)可以透過下列公式推導出來。

遊戲價值=1/6(機率)×(10日圓+20日圓+30日圓+40日圓+50日圓+60日圓)=35日圓

如果參加這個遊戲的費用少於或等於三十五日圓,我們就可以參加。實際上,賭局的莊家為了賺錢,往往會收取較高的參加費用,同時會把遊戲的價值 (獎金數額)壓得更低。

你的直覺正確嗎

因為歪曲硬幣而導致機率推算出錯的例子有哪些呢?接下來我們就來介紹幾個。大家可以試著想想自己能否做出理性的判斷。

假設你參加了電視知識競賽節目,並且大獲全勝。在你面前擺放有A、B、C三個保險箱,其中一個裝有一百萬日圓獎金。製作單位要求你從中選擇一個保險箱,你選擇了A。

主持人盯著你的臉說道:「我們首先來打開B保險箱。」接著在全場觀眾的注視下打開了B保險箱。其中什麼也沒有,你暫時鬆了口氣。

然後主持人開始問你:「你確定選A嗎?要的話也可以換成C……」

是否應該聽從主持人的提議呢?

你根據直覺判斷,一百萬日圓不是在A保險箱就是在C保險箱,無論是否更改選擇,期望值都不會改變。

但實際上,換成C保險箱後獲得一百萬日圓的機率是堅持選A保險箱的兩倍。

原因是,在B保險箱打開前和打開後,A保險箱中放有一百萬日圓的機率都是三分之一,不會發生改變,期望值都是三十三萬日圓。

另一方面,在B保險箱打開前,一百萬日圓放在B或C保險箱中的機率是三分之二。但是在弄清楚B保險箱中沒有獎金的瞬間,C保險箱中有一百萬日圓獎金的機率就變成了三分之二,選擇C保險箱時的期望值就是六十六萬日圓。和繼續選擇A保險箱相比,期望值增加了一倍。

所以,有時候只依靠直覺,可能會錯過好不容易得來的機會。

關於機率的錯覺根深柢固

「蒙提霍爾問題」是非常有名的機率問題。前文中提到的「這張彩券值多少錢」就是出自這個問題。

提出「蒙提霍爾問題」的蒙提.霍爾 (Monty Hall)是一名電視節目主持人,在他的節目《我們成交吧》(Let’s Make a Deal)中,有和上述例子幾乎相同的環節。

關於這個問題,《大觀》(Parade)雜誌人氣專欄〈請問瑪麗蓮〉(Ask Marilyn)的作家瑪麗蓮.沃斯.莎凡(Marilyn vos Savant)寫道:「交換保險箱比較有利」。瑪麗蓮的智商高達二百二十八,是金氏世界紀錄所認定智商最高的人。針對她給出的答案,很多人批判道「她說錯了」,這當中還包含不少有名的數學家。

關於這個兩難問題,我們已經知道瑪麗蓮的說法是正確的,但應該還是會有許多人,即使讀了上述解釋,在理解其中道理的同時,直覺上卻還是無法認同,總覺得哪裡怪怪的。

我自己在提出「這張彩券值多少錢」的問題時,也有一些混亂。可見關於機率的錯覺在我們心中是多麼根深柢固。

書籍介紹

本文摘錄自《金錢智能:讓你聰明用錢的7組關鍵概念》,日出出版

作者:野口真人(Mahito Noguchi)
譯者:谷文詩

你每天花出去的錢,到底是消費、投資還是投機?
為什麼「今天的一百元比明天的一百元更值錢」?
日本企業價值評估專家、人氣MBA導師的基礎金融課。
教你分辨價值與價錢,破解機率錯覺,認識風險與報酬,
學會聰明用錢,創造財務自由的美好人生。

金牌得主的獎金是消費?加入健身房是投資?買名畫是投機?你每天花出去的金錢,到底是消費、投資還是投機?
——你應該將錢包分成三份,消費、投資、投機的錢要聰明區分。

不懂房地產也能估算自家房屋的價值?明知中獎機率極低,為何大家還是花錢買彩券?高級地段的咖啡價錢很高,是因為就算很貴也能賣出去?
——認識現金流量與折現率,以及左右我們用錢判斷的「心理習慣」。

買股票時,該如何判斷哪家公司比較值得投資?想要追求最高收益,該怎樣控制風險?購買保險的目的是什麼?
——風險不等於危險,學習判斷風險和報酬的方法。

現金在你擁有的瞬間就開始腐爛了。
為了提高自己的價值,不要讓手頭現金停滯不動,
應該永遠意識到,要用這些錢對自己進行更好的投資。

就連比爾・蓋茲都說:「巧妙地花一筆錢和賺一筆錢同樣困難。」

面對金錢,我們似乎很熟悉卻又不夠了解,如何成為金錢的主人,而不是任金錢擺布,是每個人的重要課題與學習。針對日常必備的經濟學基本知識,作者以大量故事舉例,讓金融學、機率學、行為經濟學中的重要概念更易於了解,不論是個人理財,或是投資、創業,都能更游刃有餘、聰明用錢!

金錢智能_立體書封
Photo Credit: 日出出版

責任編輯:翁世航
核稿編輯:潘柏翰


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