《無限的力量》：如何證明季諾悖論「阿基里斯永遠追不上烏龜」是錯的？

文：Steven Strogatz

全世界的學生都學過：任何數字都不可以除以零。然而，我想他們應該感到驚訝，這麼理所當然的事情竟然也有人會做？事實上，雖然說數字本應具備秩序與規則，而數學課探討的議題也應該符合邏輯且合理，但我們仍時不時會去研究一下原本認為不合理或無效的數字操作，而把零當做除數（分母）這件事情便是其中之一。

會這麼做的最根本問題就是無限，它會在我們把一個數除以零時被召喚出來。而這種行為就像利用通靈板與另一個世界的靈魂溝通一樣，非常冒險而且最好不要輕易嘗試。

對於那些忍不住好奇無限為什麼與除以零有關的人，試想一下，用6去除以一個很小但不為零的數，例如0.1，我們可以得到60這個答案。

這件事可以用下面這張圖表示。想像我們將一條6公分長的線段，切成每一段皆為0.1公分的小線段，如此便能得到60個小線段排列在一起。

Photo Credit：旗標

同理可知（這裡我不打算再畫了），如果每個小線段的長度縮短為0.01公分，我們會得到600個小線段。若是再進一步縮至0.0000001公分，則小線段的數量會上升到60,000,000個。

至此，趨勢已經很明顯了：分母越小，相除的結果就越大；也因此，當分母趨近於零的時候，計算的結果便會趨近於無限大。這就是為什麼我們無法用數字去除以零的真正理由。

有些人會把原因歸結為『除以零』這件事未被定義，然而真正的原因是這麼做會產生無限大。而且還會浮現一個詭異的結論：這條6公分長的線段是由無限多個長度為零的小線段組成。這聽起來確實有可能，畢竟這條線段是由無限多個點所組成，而每個點的長度是零。

然而，這裡最弔詭之處是，相同的結論可以套用到任何長度的線段上。我們可以將線段的長度設為3公分、或49.57公分、亦或是2,000,000,000公分，而它們全都是由無限多個長度為零的點所組成，顯然無限大乘以零可以等於3、49.57、2,000,000,000或任何數，這太奇怪了。

實無限 vs. 潛無限：實無限的原罪

帶領我們走向這團混亂的罪魁禍首正是以下這個假設：極限狀態是可被觸及的，因此無限可被視為一個正常數字（編註：此即為主張『實無限（completed infinity）』一派數學家的假設）。

早在公元前四世紀，希臘哲學家亞里斯多德（Aristotle）便提出警告，對於無限可被觸及的這種觀點將引來各種邏輯上的問題。因此，他強烈反對實無限，並主張『潛無限（potential infinity）』才是唯一合理的看法（編註：潛無限一派的數學家主張無限是永無止息的生成過程，不會結束，也不會被觸及）。

在前面切分線段的例子中，若採用潛無限的觀點，那麼整個想法就變成下面這樣：雖然我們可以把一條線段想切多少段就切多少段，但只要能切得出來，小線段的數量永遠都是有限的，且長度一定不為零。這種觀點完全可行，也不會帶來任何邏輯問題。

此觀點是假設我們無法真的產生無限多條長度為零的線段，如此就不會出現無限大乘以零會等於任何數字這種毫無道理的結論。於是，亞里斯多德不允許實無限的觀點被運用在數學與哲學上，而接下來2200年的數學家們也遵循著這個教誨。

在不可考的遠古時代，某個人察覺到數字的數量可以是無止境的，於是無限這個概念應運而生。它和我們內心深處的某些想法有關，例如對於無底洞的畏懼，以及對於永生的渴望等。在許多夢境與恐懼中，我們都能看到無限的身影，而且它也和眾多無法回答的問題有關，例如：宇宙有多大？永遠究竟是多久？上帝到底有多全知全能？

在所有人類的思想分支中，從宗教與哲學，再到科學與數學，無限的概念已經困擾了世界上最聰明的腦袋幾千年了。人們曾經禁止談論它，將其視為異端並避開它，因為這個想法真的很危險。在宗教裁判所存在的那個年代，義大利哲學、數學家喬丹諾．布魯諾（Giordano Bruno，公元1548到1600年），因為提出上帝創造了『無限宇宙與多重世界』的想法，被審判為叛教者且施以火刑而死。

季諾悖論

大約在布魯諾被處死的2000年前，就有一位勇敢的哲學家，埃利亞的季諾（Zeno of Elea，公元前490到430年）思考了無限的概念。他提出了一連串和空間、時間、以及運動相關的悖論（paradox）；而在這些悖論中，無限正是一切問題的源頭。關於這一系列悖論的討論直指微積分的理論核心，並且直到今天仍然是個辯論的話題。事實上，伯特蘭．羅素（Bertrand Russel，公元1872到1970年）就曾經形容它們『難以測量地微妙且深奧』。

我們無法確定季諾想透過他的悖論來證明什麼，因為所有他寫的東西皆已遺失（如果他有寫過的話）。他的那些想法是透過柏拉圖（Plato，公元前429到347年）與亞里斯多德（公元前384到322年）記錄而流傳下來的，而他們的目的則是想要推翻這些悖論。根據柏拉圖和亞里斯多德的說法，季諾想要論證的事情是『改變並不存在』：我們之所以能夠感覺到變化，是因為感官欺騙了我們。對季諾而言，改變就是一個幻覺。

在季諾提出的所有悖論中，有三個最有力也最有名。第一個名為兩分法悖論（the Paradox of the Dichotomy），和之前談過的牆之謎很類似，但卻更讓人感到挫敗。這個悖論說：你永遠也不可能前進，因為在你踏出第一步之前，你必須先踏出半步；而在你踏出半步之前，你必須先踏出四分之一步，以此類推。因此，你不只永遠也走不到牆那裡，甚至連開始走路都做不到。（編註：當然這與事實不符，因為你跨一步就走出去了！）