台北是否真的出現異常暖冬現象?我們用機率分布來回答

台北是否真的出現異常暖冬現象?我們用機率分布來回答
Phote Credit: 林澤民

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台北市1897~2020年低溫時間序列顯示,1897年台北市的最低溫是攝氏5度。以此為資料中的第一個紀錄,124年來,有9個新的紀錄出現。這樣算是正常現象嗎?這個問題,可以用機率理論做精確的回答。

Rn的機率分布並不容易算,有一個遞歸公式,當n較大時,需要很大的計算能量或很久的時間才算得出。要迅速算出,必須用到所謂「第一類史特靈數」(Stirling Numbers of the First Kind)。如果你的軟體沒有這個函數,可以利用這兩個很漂亮的公式,來算Rn的期望值和變異量:

0

利用這兩個公式也可算出當n=124時,E(Rn)=5.40,Var(Rn)=3.76。如果我們假設Rn的分布是常態分佈,則可以輕易算出以以期望值為中心的95%信心區間為(1.49,8.88)。因為經驗值10個紀錄在信心區間之外,這個分析也支持台北市年低溫變化異常的結論。不過因為Rn的分布並非常態,這個分析並不精確。

新紀錄的等待時間

應用紀錄之機率理來分析台北市氣溫變化,也可以看出1975年前後是一個轉捩點。

在1897年之後的9個新紀錄當中,出現在1975年之後短短45年之間的就有5個,平均每9年就有一個新紀錄。而在1976年前的80年中,則平均要將近16年才有新的紀錄。事實上,1912年的紀錄保持了64年才被打破。

也許你會說1897~1912,在短短16年之間不是就有4個新紀錄嗎?然而新紀錄的頻率在紀錄開始之時,本來就會比較頻繁,日久後要破紀錄會越來越難。紀錄的機率理論,可以算在一定時間之內舊紀錄會被打破的機率,其公式如下:

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這公式所求的是在第r-1個紀錄發生之後,下一個紀錄的等待時間小於或等於m之機率。下面表一之第六行顯示:從第一個紀錄發生在1897年開始,第二個紀錄等待了兩年就發生了,按照上式,第二個紀錄在2年之內發生的機率為0.67。第二個紀錄發生在1899年之後,第三個紀錄等待了6年發生,而其在6年之內發生的機率也是0.67。第三個紀錄發生在1905年之後,第四個紀錄要等待13年才發生,而其在13年之內發生的機率是0.31。

依此類推。這些機率都不小,雖然紀錄頻頻被打破,並不令人意外。尤其是第五個紀錄發生在1912年之後,第六個紀錄要等64年才在1976年發生,因為等了夠久了,其在這一段期間發生的機率是很高的(0.80)。

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Phote Credit: 林澤民

但從1976年以後,這個等到下一個紀錄的機率就急遽下降了。第七個紀錄在7年內發生,其機率是0.08;第八個紀錄在5年內發生,其機率是0.08;第九個紀錄等了29年,其機率稍大,但它發生之後,第十個紀錄只等了2年就發生,其機率小於0.03。

這樣的小機率事件發生了,如果還說氣候沒有異常,在統計學理上是無法接受的。

如果我們換一個角度來看,把1976年當作氣候質變之後的第一個紀錄,則其後發生在1983、1988、2017的新紀錄其等待時間的機率(0.88,0.38,0.69)都不小,不算奇怪。只有2019的紀錄還在0.05的水平之內,不過這也可以說氣候變化越來越厲害了。

從新紀錄的等待時間來探討氣候變遷,還可以看看新紀錄發生的平均時間。不過很奇妙的是:機率理論告訴我們,新紀錄雖然一定會發生(發生的機率為1),其發生時間的期望值或理論平均數卻是無窮大,即使第二個紀錄也是一樣。

以第二個紀錄為例,其發生時間為2,3,4,…,t,…年的機率分別為1/2,1/6,1/12,…1/t(t-1),…,所以期望值為1+1/2+1/3+…+1/(t-1)+…。這是有名的無窮和諧數列,它不是收斂數列,其和無窮大。其它的紀錄也是一樣。

不過我們雖然不能算發生時間的期望值,卻能算中位數,也就是發生機率最接近1/2的時間點。表一的第七行列出各紀錄發生時間的中位點。我們可以看到,一直到1976年的第六個紀錄為止,中位時間點都還算合理。

此後,第七個紀錄的中位發生點要在1897年算起的第424年,第七個紀錄在第1166年,第九個紀錄在第3200年,第十個紀錄在第8717年。這些紀錄的中位發生時間在這麼久遠之後,如果說沒有氣候變化,誰能相信?

補充

附帶一提,1897~2020之間台北市年低溫往下探的紀錄,包括1897年的第一個紀錄,124年之間只有三個:1897(5度),1898(3.3度),1902(-0.2度)。從1902年以來,118年之中,-0.2度的紀錄沒有被突破!(不過P(Rn≤3)=0.162並不足以作為氣溫變化異常的統計證據)

本文經林澤民授權刊登,原文刊載於此

責任編輯:朱家儀
核稿編輯:翁世航


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