《黃金比例的秘密》：你有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」的笑話嗎？

文：蓋瑞．邁斯納（Gary B. Meisner）

畢達哥拉斯和克卜勒走進⋯⋯三角形？

你有沒有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」這個笑話？你很可能沒聽過，不過你可以發現：這兩位歷史上著名數學家的發現，有助於說明黃金比例的一個特性。除了五角星形之外，畢達哥拉斯最著名的還有他的同名定理：畢氏定理。該定理指出，邊長為a、b和c（其中c為斜邊）的直角三角形具有以下關係：

a² + b² = c²

我們在引言裡說過，φ是唯一一個其平方比其本身大1的數：

Φ + 1 = Φ²

畢達哥拉斯提出他著名的定理兩千年後，德國數學家約翰尼斯．克卜勒（Johannes Kepler，1571–1630）注意到了這兩個方程式之間的相似性，並由此發現了一個獨特的三角形，現在我們稱作「克卜勒三角形」，邊長分別為1、√φ和φ

Photo Credit: 遠流出版提供

克卜勒注意到了這個三角形的另一個特性，他在寫給他的老師邁可．馬斯特林教授（Michael Mästlin，1550-1631）的信中提到：

「如果在一條以中末比分割的線段上建構一個直角三角形，
將直角置於分割點的垂直線上，
則這個三角形短邊的長度，
會等於被分割的那條線段的較大部分。」

他這裡所說的，就是下面這個短邊長度為1的三角形。

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畢達哥拉斯的「3-4-5」三角形是唯一一個邊長為等差級數的直角三角形，其中每個連續項，都可以透過加上一個共同的差數獲得：

• 3 + 1 = 4
• 4 + 1 = 5

不可思議的是，克卜勒的「√Φ-1-√Φ」三角形是唯一一個邊長為幾何級數的直角三角形，其中每個連續項，都可以透過乘以一個共同的比率獲得。在這個獨特的例子中，該比率即是黃金比例的平方根：

• 1 × √Φ = √Φ
• √Φ × √Φ = Φ

回到畢達哥拉斯。在五角星形中我們可以發現另外兩個黃金比例的三角形——也就是底邊和斜邊之間，也具有φ比1的關係。

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上圖中的鈍角三角形，也就是中間那個三角形，稱為「黃金磬折形」（golden gnomon）。右邊的等腰三角形，稱為「黃金三角形」。這些反過來看，又成為一個重要數學發現的基礎——彭羅斯貼磚（Penrose Tiling，見第34頁）。

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天體和諧

從絃樂器的振動到行星的運動，畢達哥拉斯和克卜勒都看見了無所不在的數學。雖然不能百分之百確定，但普遍認為：畢達哥拉斯是第一個發現音符音高和絃長之間反比關係的人，而且他可能已經進一步將不同行星的軌道頻率與聽不見的雜音聯繫起來，這個理論以諸如「天體音樂」（Musica Universalis）、「天體和諧」（Harmony of the Spheres）等名稱流傳了幾個世代。

克卜勒的興趣涉獵神祕領域。他在1596年出版的《宇宙的奧祕》（Cosmographic Mystercum），以及1619年的《世界的和諧》（Harmonices Mundi）中，探討了「宇宙是一種幾何圖形的和諧安排」的概念。在《宇宙的奧祕》一書中，克卜勒提出，當時已知的六顆行星之間的相對距離，可以透過五個柏拉圖立體（參見第16頁）的套疊來理解。每個多面體被包圍在表示其軌道的球體內，最後一個球體則代表了土星軌道。這個模型最終被證明是不準確的，但克卜勒仍然孜孜不倦地致力於詮釋宇宙，於1617年出版了第一卷《哥白尼天文學概要》（Epitome Astronomiae Copernicanae）。在這本書中，克卜勒提出了他最重要的發現：行星軌道是橢圓形的，以及行星運動三大定律的第一個定律。

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儘管《宇宙的奧祕》中柏拉圖立體套疊的假說最終經不起推敲，但克卜勒早期的宇宙模型在數學上還是可圈可點的。這些正多面體，包括：四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體（下圖，從左到右），全都具備一個獨特的屬性：每個多面體，都能透過在每個頂點相交的相同的面建構出來。

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這五個迷人的正多面體，其中有兩個（十二面體和二十面體）都在幾何上遵循黃金比例。每個頂點都可以透過三個黃金矩形（意即：矩形的長寬比等於φ）來決定。

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如果我們將這個黃金矩形的互鎖結構映射到直角坐標系中，則邊長為2的二十面體的12個頂點的座標（X，Y，Z），以原點為中心可表示如下：

• x-z平面（綠色，y = 0）：（±1，0，±φ）
• y-z平面（藍色，x = 0）：（0，±φ，±1）
• x-y平面（紅色，z = 0）：（±φ，±1，0）

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接下來，將十二面體映射到直角坐標系中。內接正方體邊長為2的十

二面體的20個頂點的座標（X，Y，Z），以原點為中心可表示如下：6

• 橙色立方體：（±1，±1，±1）
• y-z平面（綠色，x = 0）：（0，±φ，±1/φ）
• x-z平面（藍色，y = 0）：（±1/φ，0，±φ）
• x-y平面（紅色，z = 0）：（±φ，±1/φ，0）

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根據我們已知關於五角形的比例，內接邊長為2的正方體的十二面體，其邊長應為2/φ。

黃金貼磚

把每個柏拉圖立體的面映射到二維空間中，如第31頁所示，二維平面上的映射區域可以完全對稱地用三邊、四邊和六邊的貼磚填充。

那麼，五邊的貼磚呢？讓我們走進英國數學物理學家羅傑．彭羅斯爵士（Roger Penrose，1931-）的理論之中。在20世紀70年代早期，彭羅斯注意到，五邊形內的兩個黃金比例三角形（參見第29頁以及本頁下面的左上圖）可以成對組合，形成全新的對稱貼磚，進而組合成不同的圖案。例如，兩個銳角黃金三角形可以組合成「風箏」（圖b黃色部分），而兩個鈍角黃金三角形可以形成「飛鏢」（圖b紅色部分）。此外，一個「風箏」和一個「飛鏢」可以組合成邊長為φ的菱形，如圖所示（圖b）。這兩個三角形也可以組合成菱形貼磚，如圖所示（圖c）。

雖然五邊形本身無法完全填滿二維空間，但是這些擁有黃金比例的「彭羅斯貼磚」卻可以（圖d）。

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