《黃金比例的秘密》:你有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」的笑話嗎?

《黃金比例的秘密》:你有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」的笑話嗎?
Photo Credit: 遠流出版提供

我們想讓你知道的是

以全新的方式觀看、應用和分享黃金比例的神聖之美。

文:蓋瑞.邁斯納(Gary B. Meisner)

畢達哥拉斯和克卜勒走進⋯⋯三角形?

你有沒有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」這個笑話?你很可能沒聽過,不過你可以發現:這兩位歷史上著名數學家的發現,有助於說明黃金比例的一個特性。除了五角星形之外,畢達哥拉斯最著名的還有他的同名定理:畢氏定理。該定理指出,邊長為a、b和c(其中c為斜邊)的直角三角形具有以下關係:

a² + b² = c²

我們在引言裡說過,φ是唯一一個其平方比其本身大1的數:

Φ + 1 = Φ²

畢達哥拉斯提出他著名的定理兩千年後,德國數學家約翰尼斯.克卜勒(Johannes Kepler,1571–1630)注意到了這兩個方程式之間的相似性,並由此發現了一個獨特的三角形,現在我們稱作「克卜勒三角形」,邊長分別為1、√φ和φ

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克卜勒肖像,1610年,作者不詳。這幅畫來自奧地利克雷姆斯明斯特的一家本篤會修道院。

克卜勒注意到了這個三角形的另一個特性,他在寫給他的老師邁可.馬斯特林教授(Michael Mästlin,1550-1631)的信中提到:

「如果在一條以中末比分割的線段上建構一個直角三角形,
將直角置於分割點的垂直線上,
則這個三角形短邊的長度,
會等於被分割的那條線段的較大部分。」

他這裡所說的,就是下面這個短邊長度為1的三角形。

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如圖所示,當你以克卜勒三角形的直角頂點為起點,畫出一條垂直於斜邊的線段,斜邊即會出現黃金比例,且所得到的兩個三角形,會與原始克卜勒三角形比例相同。

畢達哥拉斯的「3-4-5」三角形是唯一一個邊長為等差級數的直角三角形,其中每個連續項,都可以透過加上一個共同的差數獲得:

  • 3 + 1 = 4
  • 4 + 1 = 5

不可思議的是,克卜勒的「√Φ-1-√Φ」三角形是唯一一個邊長為幾何級數的直角三角形,其中每個連續項,都可以透過乘以一個共同的比率獲得。在這個獨特的例子中,該比率即是黃金比例的平方根:

  • 1 × √Φ = √Φ
  • √Φ × √Φ = Φ

回到畢達哥拉斯。在五角星形中我們可以發現另外兩個黃金比例的三角形——也就是底邊和斜邊之間,也具有φ比1的關係。

黃金比例p_29圖1
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五角形(左)可以分割成數個「黃金三角形」(右)和「黃金磬折形 」(中),且其中每個形狀都至少有一個36度的角。

上圖中的鈍角三角形,也就是中間那個三角形,稱為「黃金磬折形」(golden gnomon)。右邊的等腰三角形,稱為「黃金三角形」。這些反過來看,又成為一個重要數學發現的基礎——彭羅斯貼磚(Penrose Tiling,見第34頁)。

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天體和諧

從絃樂器的振動到行星的運動,畢達哥拉斯和克卜勒都看見了無所不在的數學。雖然不能百分之百確定,但普遍認為:畢達哥拉斯是第一個發現音符音高和絃長之間反比關係的人,而且他可能已經進一步將不同行星的軌道頻率與聽不見的雜音聯繫起來,這個理論以諸如「天體音樂」(Musica Universalis)、「天體和諧」(Harmony of the Spheres)等名稱流傳了幾個世代。

克卜勒的興趣涉獵神祕領域。他在1596年出版的《宇宙的奧祕》(Cosmographic Mystercum),以及1619年的《世界的和諧》(Harmonices Mundi)中,探討了「宇宙是一種幾何圖形的和諧安排」的概念。在《宇宙的奧祕》一書中,克卜勒提出,當時已知的六顆行星之間的相對距離,可以透過五個柏拉圖立體(參見第16頁)的套疊來理解。每個多面體被包圍在表示其軌道的球體內,最後一個球體則代表了土星軌道。這個模型最終被證明是不準確的,但克卜勒仍然孜孜不倦地致力於詮釋宇宙,於1617年出版了第一卷《哥白尼天文學概要》(Epitome Astronomiae Copernicanae)。在這本書中,克卜勒提出了他最重要的發現:行星軌道是橢圓形的,以及行星運動三大定律的第一個定律。

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克卜勒的太陽系模型,五個柏拉圖立體以套疊的方式包含其中。

儘管《宇宙的奧祕》中柏拉圖立體套疊的假說最終經不起推敲,但克卜勒早期的宇宙模型在數學上還是可圈可點的。這些正多面體,包括:四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體(下圖,從左到右),全都具備一個獨特的屬性:每個多面體,都能透過在每個頂點相交的相同的面建構出來。

黃金比例p_31圖1
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這五個迷人的正多面體,其中有兩個(十二面體和二十面體)都在幾何上遵循黃金比例。每個頂點都可以透過三個黃金矩形(意即:矩形的長寬比等於φ)來決定。

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上圖中的三個黃金矩形可以互鎖成右圖的結構。這個互鎖結構就是構成十二面體和二十面體的幾何基礎。
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在十二面體中,12個角是12個五邊形的12個面的12個中心。 在二十面體中,12個角是20個三角形的20個面的12個頂點。

如果我們將這個黃金矩形的互鎖結構映射到直角坐標系中,則邊長為2的二十面體的12個頂點的座標(X,Y,Z),以原點為中心可表示如下:

  • x-z平面(綠色,y = 0):(±1,0,±φ)
  • y-z平面(藍色,x = 0):(0,±φ,±1)
  • x-y平面(紅色,z = 0):(±φ,±1,0)
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接下來,將十二面體映射到直角坐標系中。內接正方體邊長為2的十

二面體的20個頂點的座標(X,Y,Z),以原點為中心可表示如下:6

  • 橙色立方體:(±1,±1,±1)
  • y-z平面(綠色,x = 0):(0,±φ,±1/φ)
  • x-z平面(藍色,y = 0):(±1/φ,0,±φ)
  • x-y平面(紅色,z = 0):(±φ,±1/φ,0)
黃金比例p_33圖
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根據我們已知關於五角形的比例,內接邊長為2的正方體的十二面體,其邊長應為2/φ。

黃金貼磚

把每個柏拉圖立體的面映射到二維空間中,如第31頁所示,二維平面上的映射區域可以完全對稱地用三邊、四邊和六邊的貼磚填充。

那麼,五邊的貼磚呢?讓我們走進英國數學物理學家羅傑.彭羅斯爵士(Roger Penrose,1931-)的理論之中。在20世紀70年代早期,彭羅斯注意到,五邊形內的兩個黃金比例三角形(參見第29頁以及本頁下面的左上圖)可以成對組合,形成全新的對稱貼磚,進而組合成不同的圖案。例如,兩個銳角黃金三角形可以組合成「風箏」(圖b黃色部分),而兩個鈍角黃金三角形可以形成「飛鏢」(圖b紅色部分)。此外,一個「風箏」和一個「飛鏢」可以組合成邊長為φ的菱形,如圖所示(圖b)。這兩個三角形也可以組合成菱形貼磚,如圖所示(圖c)。

雖然五邊形本身無法完全填滿二維空間,但是這些擁有黃金比例的「彭羅斯貼磚」卻可以(圖d)。

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如果將這些貼磚鋪成更大的面積,你會發現一種類型的貼磚數量與另一種類型貼磚數量的比,總是會接近1.618,即黃金比例。根據貼磚的排列方式,它們也能夠表現出五重旋轉對稱性,也可能出現五重對稱的圖形,例如五角星形和十邊形。我們將在第五章中看到,這種五重對稱排列也會出現在自然界中。

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彭羅斯貼磚的多種構造。注意其中大量出現的五邊圖形,例如五角星形和五邊形。

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書籍介紹

本文摘錄自《黃金比例的祕密:存在於藝術、設計與自然中的神聖數字》,遠流出版

作者:蓋瑞.邁斯納(Gary B. Meisner)
繪者:拉斐爾.阿勞霍(Rafael Araujo)

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【作者介紹】

蓋瑞.邁斯納,是「黃金數字」網站(www.goldennumber.net)創辦人。這是一個相當受歡迎的網站,致力於黃金比例的數學,流行和設計應用。在2004年,他負責領導PhiMatrix黃金比例設計與分析軟體的開發,該軟體受到七十多個國家的數千名藝術家、建築師、設計師及攝影師所使用,也用於美妝醫療和股票市場分析應用程式。他提供了一個可以共享和討論新發現的線上社群,能夠幫助其他人欣賞我們周遭世界中令人難以置信的美麗和設計,並將這些相同的設計原則應用於自己的創作中。

【本書特色】

  • 超過250幅全彩精美圖像,揭開美感奧祕
  • 跨越藝術、建築、設計、幾何、自然和宇宙的永恆追尋,
  • 以全新的方式觀看、應用和分享黃金比例的神聖之美
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Photo Credit: 遠流出版提供

責任編輯:王祖鵬
核稿編輯:翁世航