《黃金比例的秘密》:你有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」的笑話嗎?

《黃金比例的秘密》:你有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」的笑話嗎?
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我們想讓你知道的是

以全新的方式觀看、應用和分享黃金比例的神聖之美。

文:蓋瑞.邁斯納(Gary B. Meisner)

畢達哥拉斯和克卜勒走進⋯⋯三角形?

你有沒有聽過「畢達哥拉斯和克卜勒走進酒吧」這個笑話?你很可能沒聽過,不過你可以發現:這兩位歷史上著名數學家的發現,有助於說明黃金比例的一個特性。除了五角星形之外,畢達哥拉斯最著名的還有他的同名定理:畢氏定理。該定理指出,邊長為a、b和c(其中c為斜邊)的直角三角形具有以下關係:

a² + b² = c²

我們在引言裡說過,φ是唯一一個其平方比其本身大1的數:

Φ + 1 = Φ²

畢達哥拉斯提出他著名的定理兩千年後,德國數學家約翰尼斯.克卜勒(Johannes Kepler,1571–1630)注意到了這兩個方程式之間的相似性,並由此發現了一個獨特的三角形,現在我們稱作「克卜勒三角形」,邊長分別為1、√φ和φ

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克卜勒肖像,1610年,作者不詳。這幅畫來自奧地利克雷姆斯明斯特的一家本篤會修道院。

克卜勒注意到了這個三角形的另一個特性,他在寫給他的老師邁可.馬斯特林教授(Michael Mästlin,1550-1631)的信中提到:

「如果在一條以中末比分割的線段上建構一個直角三角形,
將直角置於分割點的垂直線上,
則這個三角形短邊的長度,
會等於被分割的那條線段的較大部分。」

他這裡所說的,就是下面這個短邊長度為1的三角形。

黃金比例p_28圖
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如圖所示,當你以克卜勒三角形的直角頂點為起點,畫出一條垂直於斜邊的線段,斜邊即會出現黃金比例,且所得到的兩個三角形,會與原始克卜勒三角形比例相同。

畢達哥拉斯的「3-4-5」三角形是唯一一個邊長為等差級數的直角三角形,其中每個連續項,都可以透過加上一個共同的差數獲得:

  • 3 + 1 = 4
  • 4 + 1 = 5

不可思議的是,克卜勒的「√Φ-1-√Φ」三角形是唯一一個邊長為幾何級數的直角三角形,其中每個連續項,都可以透過乘以一個共同的比率獲得。在這個獨特的例子中,該比率即是黃金比例的平方根:

  • 1 × √Φ = √Φ
  • √Φ × √Φ = Φ

回到畢達哥拉斯。在五角星形中我們可以發現另外兩個黃金比例的三角形——也就是底邊和斜邊之間,也具有φ比1的關係。

黃金比例p_29圖1
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五角形(左)可以分割成數個「黃金三角形」(右)和「黃金磬折形 」(中),且其中每個形狀都至少有一個36度的角。

上圖中的鈍角三角形,也就是中間那個三角形,稱為「黃金磬折形」(golden gnomon)。右邊的等腰三角形,稱為「黃金三角形」。這些反過來看,又成為一個重要數學發現的基礎——彭羅斯貼磚(Penrose Tiling,見第34頁)。

黃金比例p_29圖2
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天體和諧

從絃樂器的振動到行星的運動,畢達哥拉斯和克卜勒都看見了無所不在的數學。雖然不能百分之百確定,但普遍認為:畢達哥拉斯是第一個發現音符音高和絃長之間反比關係的人,而且他可能已經進一步將不同行星的軌道頻率與聽不見的雜音聯繫起來,這個理論以諸如「天體音樂」(Musica Universalis)、「天體和諧」(Harmony of the Spheres)等名稱流傳了幾個世代。

克卜勒的興趣涉獵神祕領域。他在1596年出版的《宇宙的奧祕》(Cosmographic Mystercum),以及1619年的《世界的和諧》(Harmonices Mundi)中,探討了「宇宙是一種幾何圖形的和諧安排」的概念。在《宇宙的奧祕》一書中,克卜勒提出,當時已知的六顆行星之間的相對距離,可以透過五個柏拉圖立體(參見第16頁)的套疊來理解。每個多面體被包圍在表示其軌道的球體內,最後一個球體則代表了土星軌道。這個模型最終被證明是不準確的,但克卜勒仍然孜孜不倦地致力於詮釋宇宙,於1617年出版了第一卷《哥白尼天文學概要》(Epitome Astronomiae Copernicanae)。在這本書中,克卜勒提出了他最重要的發現:行星軌道是橢圓形的,以及行星運動三大定律的第一個定律。

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克卜勒的太陽系模型,五個柏拉圖立體以套疊的方式包含其中。

儘管《宇宙的奧祕》中柏拉圖立體套疊的假說最終經不起推敲,但克卜勒早期的宇宙模型在數學上還是可圈可點的。這些正多面體,包括:四面體、立方體、八面體、十二面體和二十面體(下圖,從左到右),全都具備一個獨特的屬性:每個多面體,都能透過在每個頂點相交的相同的面建構出來。

黃金比例p_31圖1
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這五個迷人的正多面體,其中有兩個(十二面體和二十面體)都在幾何上遵循黃金比例。每個頂點都可以透過三個黃金矩形(意即:矩形的長寬比等於φ)來決定。

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上圖中的三個黃金矩形可以互鎖成右圖的結構。這個互鎖結構就是構成十二面體和二十面體的幾何基礎。
黃金比例p_32圖1
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在十二面體中,12個角是12個五邊形的12個面的12個中心。 在二十面體中,12個角是20個三角形的20個面的12個頂點。

如果我們將這個黃金矩形的互鎖結構映射到直角坐標系中,則邊長為2的二十面體的12個頂點的座標(X,Y,Z),以原點為中心可表示如下:

  • x-z平面(綠色,y = 0):(±1,0,±φ)
  • y-z平面(藍色,x = 0):(0,±φ,±1)
  • x-y平面(紅色,z = 0):(±φ,±1,0)
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接下來,將十二面體映射到直角坐標系中。內接正方體邊長為2的十

二面體的20個頂點的座標(X,Y,Z),以原點為中心可表示如下:6

  • 橙色立方體:(±1,±1,±1)
  • y-z平面(綠色,x = 0):(0,±φ,±1/φ)
  • x-z平面(藍色,y = 0):(±1/φ,0,±φ)
  • x-y平面(紅色,z = 0):(±φ,±1/φ,0)
黃金比例p_33圖
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根據我們已知關於五角形的比例,內接邊長為2的正方體的十二面體,其邊長應為2/φ。

黃金貼磚

把每個柏拉圖立體的面映射到二維空間中,如第31頁所示,二維平面上的映射區域可以完全對稱地用三邊、四邊和六邊的貼磚填充。

那麼,五邊的貼磚呢?讓我們走進英國數學物理學家羅傑.彭羅斯爵士(Roger Penrose,1931-)的理論之中。在20世紀70年代早期,彭羅斯注意到,五邊形內的兩個黃金比例三角形(參見第29頁以及本頁下面的左上圖)可以成對組合,形成全新的對稱貼磚,進而組合成不同的圖案。例如,兩個銳角黃金三角形可以組合成「風箏」(圖b黃色部分),而兩個鈍角黃金三角形可以形成「飛鏢」(圖b紅色部分)。此外,一個「風箏」和一個「飛鏢」可以組合成邊長為φ的菱形,如圖所示(圖b)。這兩個三角形也可以組合成菱形貼磚,如圖所示(圖c)。

雖然五邊形本身無法完全填滿二維空間,但是這些擁有黃金比例的「彭羅斯貼磚」卻可以(圖d)。

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36歲身價千萬仍然沒有安全感?善用「負債」,縮短與財富自由的距離

36歲身價千萬仍然沒有安全感?善用「負債」,縮短與財富自由的距離
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我們想讓你知道的是

本文以VI College價值投資學院的學員案例來分析推導,說明透過系統性的分析、目標設定及投資規劃,財富自由並非遙不可及的夢想,甚至能藉此達成財富自由與志業圓滿的雙重目標。

財富自由是許多人共同夢想,如果可以擁有足夠被動收入讓生活無虞,甚至還能每月度假,相信這是許多人欣羨的生活。然而,財富自由確實是很好的理財目標,卻未必是「快樂」的終點。

36歲的心怡過去時常在各地飛來飛去長達八年,高壓工作、生活作息日夜顛倒,也為自己累積下遠高於同齡人的資產。分析心怡的資產負債現況:現金活存、股票、外幣存款、美股、債券、保險,包含名下一棟房地產,即便房子還有500多萬房貸,但總資產淨值有1300多萬。

她的夢想跟許多人相同,希望能靠著理財就不需要工作,每月有10萬元用來度假、15萬生活開銷資金和給家裡5萬的孝親費,同時維持目前每個月公益捐款的好習慣。現階段生活看似豐盛,但是距離自己設定的3億身家還有相當長一段距離,特別是盤點目前可動用初始資金只有美金3萬元,更讓心怡覺得目標難以達成。而在離開上一份工作後就因為帳面不缺錢而始終待業中,也讓心怡對未來不時感到不安。

擁有千萬身價,想要過上相對充裕、財富自由的生活是否是件難事?或許關鍵就在於資產負債組合當中的「負債」!

六月第二篇_(1)
photo credit:VI College價值投資學院
VI College價值投資學院台灣區總經理黃士豪建議心怡善用負債,打造財富自由並進而追求人生使命感。

給心怡的建議一:財富自由的關鍵在於善用「負債」。

與多數諮詢的學員相比,心怡的投資體質跟觀念都算相當完善,特別是本身資產分配方向十分多元,表現出對於投資她是有長期研究且願意嘗試的。而透過完整檢視「資產負債」「資產損益」及「投資組合」三張表格,我可以在短時間內理解學員本身屬於哪種類型投資者,目前於投資理財方面存在什麼問題通常也能一目了然。

財務問題一定是出在負債嗎?以心怡這個案例來看,反而是卡在分配最多資產於「保險」上,而能讓自己加速達成財富自由的機會,反倒是唯一且最大的負債「房貸」。

心怡的房子目前剩餘房貸已經低於房價50%,我建議她可以尋找銀行重新談30年換貸並加上使用三年房貸寬限期,這樣除了立即將每月10,000多元房貸支出減輕為幾千元,對待業中的心怡來說可減輕相當大支出負擔,還能取得一筆不小的資金將防守型資產轉為進攻型資產。如果又進一步將那些投資報酬率過低的儲蓄險贖回,將資金都投入進攻型投資項目中,能在三年寬限期內靠著投資達成每月10,000多元的被動收入,等同於用手邊資金幫自己繳未來每月房貸。

給心怡的建議二:明確財務目標,距離財富自由其實很近。

但想要財富自由真有那麼困難嗎?或許單靠心怡目前手邊資產能在60歲前達成願望。

如果以心怡目前保障型資產高達518萬、防守型資產1400多萬、進攻型資產僅有250萬,分配比例為24:64:12現況來看,如果維持投資組合現況每年約8%獲利計算,要達到3億身家需要40年9個月。

圖表_1_
photo credit:VI College價值投資學院
資產配置比例分配示意圖

但如果能將保障型資產降低至6%,防守型資產降低為31%,進攻型資產提高到63%,就目前心怡於美股平均獲利為15%,只需要將獲利提高至20%,16年又8個月就能實現3億身家目標。

圖表_2
photo credit:VI College價值投資學院
資產配置比例分配示意圖

但事實上3億真的是必要目標嗎?如果以心怡希望的未來生活來看,即使加上換房、換車及新房裝修等開銷,也只需要1億3千多萬資產,同樣投資組合、同樣獲利只需要13年,心怡於50歲前就能實現財富自由夢想。

給大家的財富建議:比起追求金錢,更該追求使命。

雖然心怡有相當大機會達成財富自由的夢想,但在諮詢過程中我也發現她對未來的不安感,主要原因來自缺乏「使命」。即使可以靠著理財就擁有不錯的生活,但缺乏使命可能會讓人覺得人生沒有重量感。除了追求財富自由,我常常建議學員建議一定要找到「沒有錢也會願意做」的事情,才有辦法創造更多財富,所以建議目前待業中的心怡可以趁著目前還沒有生活壓力,找到「使命」並做為主動收入來源。

我也會透過一連串問題引導學員,從這些問題的答案中找到一個方向後確實執行,無論透過創業、找到相關產業或相關職位,建立屬於自己的中長期志業規劃。在執行跟學習過程當中,也能夠找到更多元的新道路,這是每個成功者在找到財富事業前必經之路,藉由系統性的分析、規劃及目標設定,讓自己找到真正的人生快樂泉源。關鍵在於:你有找到屬於自己的「使命」了嗎?

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本文章內容由「VI College價值投資學院」提供,經關鍵評論網媒體集團廣編企劃編審。


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