被視為「常識」的圓周率π ≈ 3.14，當年差點被法院認證成3.2

文：數感實驗室

圓周率π ≈ 3.14，這應該是全台灣人都學過、被視為「常識」的數學知識。阿基米德早2200多年前，就求出這個近似值了。

但是呢，世界就是這麼的無奇不有，200多年前在美國差一點通過一條法案，裡面的圓周率不是3.14，而是3.2。

故事發生在1897年印第安那州，提案者古德溫（Goodwin）宣稱他發現了一個新的數學真理，並且願意很慷慨的不收取任何費用，免費提供給印第安那州使用，只要州議會願意正式通過這條法案。

數學真理卻要靠著法律條文來證明？這個邏輯就讓人有些摸不著頭腦。如果仔細看法案，你會發現古德溫其實不是想講圓周率，而是想偷渡一個經典數學難題的解法，這個難題就是「化圓為方」。

化圓為方：給定一個圓，利用尺規做圖，做出一個面積跟圓一樣大的正方形。

這問題從古到今吸引了許多人前仆後繼，希臘人甚至發明了單字「τετραγωνιζειν」，意思是「化圓為方者」，用來描述這些努力想破解這個問題的人們。

「化圓為方」難題的迷人之處，在於題目很容易理解，感覺好像也有機會做出來，可偏偏一直以來都沒人成功。如果被你破解了，那恭喜，這下你能在數學史上留名青史啦！

歷史上不乏名人來挑戰化圓為方，包括英國哲學大師，《利維坦》作者霍布斯（註）。

化圓為方有名到連但丁都把它作為經典名著《神曲》的結尾：

幾何學家嘗試化圓為方，卻又徒勞無功時，便會懷疑它是否仍未掌握某些原理。我剛看到這幅景象時，也有類似的想法。

──《神曲．天堂篇》第33首

由於每隔一陣子，就會有人宣稱他們破解了化圓為方，因此在1775年，法國科學學會做出決議：不再審核任何化圓為方的研究。

同時被列為拒絕往來戶的題目還有「永動機」。不過直到現在都有人在做永動機，就不難理解門檻更低的化圓為方會那麼受歡迎了。

「都是數學問題啊，為什麼不能好好討論，要拒絕審核呢？」或許有人會這樣想。的確，好好討論都沒問題，可是偏偏很多宣稱成功「化圓為方」的人，都會犯一些一目了然的錯，比方說霍布斯在處理化圓為方時，就順便講了：

「嗯，圓周率是3又1/8。」

另一位化圓為方的狂熱份子約翰．戴維斯則認為圓周率是19/6，差不多是3.166。人們問他為什麼圓周率是這樣，他只回答：

「大家都認為蘋果是酸的，所以蘋果就是酸的，這就是證明。」

數學家迪摩根（註2）超級看不慣這些人，他在著作《矛盾集（Budget of Paradoxes）》裡大酸特酸：

「化圓為方很容易，要說服數學家就難了。……就像達爾文描述的蜘蛛。他總是在繞圈圈；每當他編出來的理論被推翻了，他又會重頭再編一個。」

他還曾經這麼戰過一個化圓為方者：

「他沒有瘋，瘋子只是根據錯誤的前提作正確的推理；但史密斯先生完全不懂推理，而且他根本沒有任何前提。」

誰說數學家不擅言詞，迪摩根根本戰神！

1882年，數學家林德曼證明了圓周率的某種特性，間接關門了化圓為方這個問題，證明它不可能被解出來。

圖片來源：維基百科

劇情回到一開始的圓周率法案。

提案者古德溫其實就是想靠著法案通過，來宣稱自己破解了化圓為方的難題。它的法案一開始被送到金融委員會，後來被轉到運河委員會，然後又被扔到了教育委員會。

總算回到了專業手上，應該沒問題了吧？

然後令人驚訝的是，它被通過了！

被通過的一大關鍵，是古德溫宣稱它的解法被刊登在《美國數學月刊》。這的確也是事實，只是很妙的，在他的文章最末有免責聲明，表示不對古德溫的解法背書。但恐怕教育委員諸公們沒看這麼細，只覺得《美國數學月刊》好像很威，就讓法案通過了。

還好，數學之神真的存在。

法案通過當天，普渡大學的數學教授沃爾多剛好為了補助，前來拜訪委員會。當時有議員拉著他介紹這條法案，還想介紹兩位數學天才彼此認識一番。而沃爾多同樣是戰神！他說：

「我看過的瘋子已經夠多了。」

後來，沃爾多努力幫委員們惡補數學，作數學科普。媒體也開始注意這件事，嘲諷這條法案有多不合理。終於，法案遭到否決，被無限期擱置。化圓為方陣營想靠法律認證的策略以失敗告終。

早就被證明不可能的問題，卻一直有人認為可以。乍看之下非常荒謬，可是換個角度想，生活中有很多事情不也是這樣嗎？

真相可能是A，卻有一堆人認為是B或C，差別只在於化圓為方可以經過數學證明不可能。生活中很多事情更加複雜，是無法被嚴格證明。這也再次驗證了數學家馮．諾伊曼的經典名言：

「人們以為數學很困難，那是因為他們不知道生活有多複雜。」

最後，今天是3月14日，剛好就是圓周率日，還好古德溫的法案沒通過，不然至少在美國印第安那州的圓周率日就是3月2日了。

活動訊息

3月14日（日）數感實驗室與中華民國數學會、台灣數學史教育學會，將在科教館有相關的圓周率日慶祝活動，歡迎大家一起來參加！

註釋

1. 霍布斯的另一個數學「傑作」是關於無限小概念的爭論，有興趣的朋友可以參考《無限小：一個危險的數學理論如何形塑現代世界》這本書。
2. 對，就是迪摩根定律的那位迪摩根。

參考資料

• 《神奇的π》，商周出版

本文經數感實驗室授權轉載，原文刊載於此

責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航