用數學解析愛情：「向量内積」計算你們的感情契合度

文：林家妤（Shark Lin）

「你是個好人，但我們之間的夾角大於90度，你有你的路，我有我的方向，我們還是分開吧！」

自從笛卡兒（René Descartes）發明了座標系，宇宙從此就有了秩序不再迷失方向。如果我們每個人都是宇宙中的小塵埃，在浩瀚的空間中各有各的方向，要怎麼在茫茫人海中找出最契合的那個人呢？又該怎麼知道心裡在乎的那個人和自己到底有多契合？

愛情習題怎麼解？讓向量幫你一把

你都怎麼評估和一個人的契合度？查查星座配對指數？或是合生辰八字？有沒有什麼理性的方法能夠幫助我們？數學，乍看是和人生脫節的一門艱深學問，但其實數學很實用，運用向量內積公式或許可以幫忙解析人生的愛情習題。

首先讓我們建立一個座標平面，再去思考要如何評估彼此之間的契合度。評估兩人感情可能與否的項目有很多，我們可以先舉出心裡覺得最重要的兩個因素，分別列在X軸與Y軸。

舉例來說，一位高中生擔心畢業以後和暗戀的人還會不會有交集、彼此是否契合，這時就可以用一些準則來判斷。

由於筆者從小就是個趣味數學愛好者，因此將「喜不喜歡數學」這點加入評估因素中，我們就能以兩個人畢業後的地理位置，還有喜歡數學的程度作為基準。把重視的這兩項因素當作座標上的指標，在X軸的兩端分別標上北部與南部，而Y軸兩端則是喜歡數學與不喜歡數學。

接著把自己和對方對於居住於「北部─南部」以及「喜歡數學─不喜歡數學」的傾向分別定出一個值，根據實際情況在-10～+10之間選一個整數，就可以在座標平面上把代表自己和別人的向量標示出來，就像是下圖S、R、V與Z四個向量各代表四個人的傾向。

Photo Credit: 科學月刊

住在中部喜愛數學的S想知道自己與其他人的契合程度，可以利用兩個向量的內積大小去評估，也就是對方投影過來的值與自己相乘後得到的內積值，內積值愈大則表示契合度愈高。

有兩種方法可以計算出向量內積，第一種方法是直接在圖面上操作任兩個向量A與B：把對方的向量B投影到自己的方向A，就會得到一個分量稱之為「向量B對向量A的正射影」，再將正射影的長度乘上向量A的長度後，得到內積值。

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第二種則是將數字帶入向量內積公式計算，將向量A與向量B的x、y分量分別相乘後再加總，便會得到內積的運算結果，除以向量A與向量B的長度乘積會得到cosθ，再進行反函數運算得到兩向量的夾角θ：

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兩人契合不契合？夾角θ告訴你

從公式裡面我們可以知道，內積結果會受到兩向量的絕對值大小和夾角影響，其中夾角θ是判斷和對方有無可能的關鍵，θ不僅決定了向量內積結果的正負號，也決定你和對方是同向或是反向。由兩個因素座標軸構成的二維平面中，依照θ的大小可分成三種情況：

第一種情況，兩個向量的夾角小於90度，內積為正。這表示在目前的判斷因素中，你們是比較接近的，夾角愈小你們也愈相投。而圖上向量S與夾角小於90度的只有住在北部又有點喜歡數學的向量R。

第二種情況，兩個向量夾90度相互垂直，你和對方彼此的正射影為0，相乘起來的內積值也為0，可以說是彼此之間沒有相互作用。對於向量S來說，如果有個人對於數學不喜歡也不討厭，居住地無論在哪裡，內積皆為0。

那如果兩個向量夾角超過90度呢？這是內積為負的第三種情況，在這兩個判斷因素中顯然你們不太契合。就像是向量V住在北部不喜歡數學、向量R住在中部偏南部同樣不喜歡數學，這兩位與向量S就沒有那麼契合。

剛才的運算有一個假設，也就是座標軸上的兩個因素──「所在地區」與「喜歡數學的程度」是一樣重要的。如果實際上喜歡數學的重要性只有所在地區的50％，這時候只要把所有向量的y分量乘上係數0.5就可以了，其他步驟不變。

在意的因素很多？就用三維空間來解

Photo Credit: 科學月刊

雖然這個方法可以簡單地算出兩人的契合度，但在現實生活中，如果在意的因素不只兩種，是要先挑出其中兩種在平面上交叉比對嗎？還是有什麼更好的方式？

其實只要改變座標軸上的判斷因素，內積結果就會明顯不同，但把判斷因素排列組合再進行比對不太有效率。因此，有三個因素的話就把Z軸也標上去吧！讓整個座標系增加一個維度，這道愛情習題也會從平面延伸到立體：

Photo Credit: 科學月刊

在三維空間中，向量內積的計算方式與二維空間非常相似，將各分量相乘之後加總便可得出內積值，只要移項就能算出空間向量的cosθ，再進行反函數運算就能得到θ值。那假如自己在意的事很多，有四個因素以上呢？這時內積的計算也可以用變量相乘後的總和計算，不過還需要算cosθ嗎？其實是可以的。

此處的cosθ可以視為兩組變量的相關係數（correlation coefficient, r），這是個介於1與-1之間的值，愈高則表示這兩組變量的相關性愈高，當然兩個人的契合度也就愈高囉！掌握了這個方法，就算變數再多也不會心煩意亂，只要照著前面說的順序，就可以順利判斷了。

什麼是最重要的？外表、智商還是價值觀？

等等，我聽到有人說是不是弄錯了什麼：「喜歡數學是感情中的關鍵判斷因素嗎？那是作者自己覺得吧？又不是每個人都是數學控。如果換成其他事情，結果應該會不同吧？難道不能用外表、智商判斷就好嗎？」仔細想想，外在條件好的確有很強的吸引力，但是兩個人的外表與智商接近就代表彼此契合嗎？似乎沒有一定關係呢。

其實每個人的擇偶基本條件不同，多少都會對於長相、智商或EQ（emotional intelligence quotient）設有一些基本門檻，筆者建議過了這些門檻之後，再來利用座標平面以判斷彼此的契合度比較適合，所以不需要將外在條件放到座標軸上判斷。