用數學解析愛情:「向量内積」計算你們的感情契合度

用數學解析愛情:「向量内積」計算你們的感情契合度

我們想讓你知道的是

你都怎麼評估和一個人的契合度?有沒有什麼理性的方法能夠幫助我們?數學,乍看是和人生脫節的一門艱深學問,但其實數學很實用,運用向量內積公式或許可以幫忙解析人生的愛情習題。

文:林家妤(Shark Lin)

「你是個好人,但我們之間的夾角大於90度,你有你的路,我有我的方向,我們還是分開吧!」

自從笛卡兒(René Descartes)發明了座標系,宇宙從此就有了秩序不再迷失方向。如果我們每個人都是宇宙中的小塵埃,在浩瀚的空間中各有各的方向,要怎麼在茫茫人海中找出最契合的那個人呢?又該怎麼知道心裡在乎的那個人和自己到底有多契合?

愛情習題怎麼解?讓向量幫你一把

你都怎麼評估和一個人的契合度?查查星座配對指數?或是合生辰八字?有沒有什麼理性的方法能夠幫助我們?數學,乍看是和人生脫節的一門艱深學問,但其實數學很實用,運用向量內積公式或許可以幫忙解析人生的愛情習題。

首先讓我們建立一個座標平面,再去思考要如何評估彼此之間的契合度。評估兩人感情可能與否的項目有很多,我們可以先舉出心裡覺得最重要的兩個因素,分別列在X軸與Y軸。

舉例來說,一位高中生擔心畢業以後和暗戀的人還會不會有交集、彼此是否契合,這時就可以用一些準則來判斷。

由於筆者從小就是個趣味數學愛好者,因此將「喜不喜歡數學」這點加入評估因素中,我們就能以兩個人畢業後的地理位置,還有喜歡數學的程度作為基準。把重視的這兩項因素當作座標上的指標,在X軸的兩端分別標上北部與南部,而Y軸兩端則是喜歡數學與不喜歡數學。

接著把自己和對方對於居住於「北部─南部」以及「喜歡數學─不喜歡數學」的傾向分別定出一個值,根據實際情況在-10~+10之間選一個整數,就可以在座標平面上把代表自己和別人的向量標示出來,就像是下圖S、R、V與Z四個向量各代表四個人的傾向。

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Photo Credit: 科學月刊
S、R、V與Z四個向量各代表四個人的傾向

住在中部喜愛數學的S想知道自己與其他人的契合程度,可以利用兩個向量的內積大小去評估,也就是對方投影過來的值與自己相乘後得到的內積值,內積值愈大則表示契合度愈高。

有兩種方法可以計算出向量內積,第一種方法是直接在圖面上操作任兩個向量A與B:把對方的向量B投影到自己的方向A,就會得到一個分量稱之為「向量B對向量A的正射影」,再將正射影的長度乘上向量A的長度後,得到內積值。

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Photo Credit: 科學月刊
圖二(5)
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三個向量投影到S向量以後得到的正射影。

第二種則是將數字帶入向量內積公式計算,將向量A與向量B的x、y分量分別相乘後再加總,便會得到內積的運算結果,除以向量A與向量B的長度乘積會得到cosθ,再進行反函數運算得到兩向量的夾角θ:

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Photo Credit: 科學月刊

兩人契合不契合?夾角θ告訴你

從公式裡面我們可以知道,內積結果會受到兩向量的絕對值大小和夾角影響,其中夾角θ是判斷和對方有無可能的關鍵,θ不僅決定了向量內積結果的正負號,也決定你和對方是同向或是反向。由兩個因素座標軸構成的二維平面中,依照θ的大小可分成三種情況:

第一種情況,兩個向量的夾角小於90度,內積為正。這表示在目前的判斷因素中,你們是比較接近的,夾角愈小你們也愈相投。而圖上向量S與夾角小於90度的只有住在北部又有點喜歡數學的向量R。

第二種情況,兩個向量夾90度相互垂直,你和對方彼此的正射影為0,相乘起來的內積值也為0,可以說是彼此之間沒有相互作用。對於向量S來說,如果有個人對於數學不喜歡也不討厭,居住地無論在哪裡,內積皆為0。

那如果兩個向量夾角超過90度呢?這是內積為負的第三種情況,在這兩個判斷因素中顯然你們不太契合。就像是向量V住在北部不喜歡數學、向量R住在中部偏南部同樣不喜歡數學,這兩位與向量S就沒有那麼契合。

剛才的運算有一個假設,也就是座標軸上的兩個因素──「所在地區」與「喜歡數學的程度」是一樣重要的。如果實際上喜歡數學的重要性只有所在地區的50%,這時候只要把所有向量的y分量乘上係數0.5就可以了,其他步驟不變。

在意的因素很多?就用三維空間來解

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Photo Credit: 科學月刊
三維空間的向量。

雖然這個方法可以簡單地算出兩人的契合度,但在現實生活中,如果在意的因素不只兩種,是要先挑出其中兩種在平面上交叉比對嗎?還是有什麼更好的方式?

其實只要改變座標軸上的判斷因素,內積結果就會明顯不同,但把判斷因素排列組合再進行比對不太有效率。因此,有三個因素的話就把Z軸也標上去吧!讓整個座標系增加一個維度,這道愛情習題也會從平面延伸到立體:

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Photo Credit: 科學月刊

在三維空間中,向量內積的計算方式與二維空間非常相似,將各分量相乘之後加總便可得出內積值,只要移項就能算出空間向量的cosθ,再進行反函數運算就能得到θ值。那假如自己在意的事很多,有四個因素以上呢?這時內積的計算也可以用變量相乘後的總和計算,不過還需要算cosθ嗎?其實是可以的。

此處的cosθ可以視為兩組變量的相關係數(correlation coefficient, r),這是個介於1與-1之間的值,愈高則表示這兩組變量的相關性愈高,當然兩個人的契合度也就愈高囉!掌握了這個方法,就算變數再多也不會心煩意亂,只要照著前面說的順序,就可以順利判斷了。

什麼是最重要的?外表、智商還是價值觀?

等等,我聽到有人說是不是弄錯了什麼:「喜歡數學是感情中的關鍵判斷因素嗎?那是作者自己覺得吧?又不是每個人都是數學控。如果換成其他事情,結果應該會不同吧?難道不能用外表、智商判斷就好嗎?」仔細想想,外在條件好的確有很強的吸引力,但是兩個人的外表與智商接近就代表彼此契合嗎?似乎沒有一定關係呢。


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