我愛你、你愛他、他愛她：從賽局理論看兩首古詩中的「穩定婚姻」問題

賽局理論可以演算「穩定婚姻」？

賽局理論中有所謂「穩定婚姻問題」。

在所有婚姻狀態均「穩定」的已婚社群，每對婚姻中的男、女，各自都無法找到更心儀的、喜歡他、她甚於喜歡自己配偶的對象。換句話說，男人即使心中有他認為比太太更好的女人，這女人也不會認為他比自己的先生好。同樣地，女人心中即使有她認為比先生更好的男人，這男人也不會認為她比自己的太太好。

因此，婚姻中的男女即使見異思遷，實際上也改變不了自己的婚姻狀態。

「穩定婚姻」意涵社群中沒有任何曠夫怨婦，可以藉著「與原來配偶離婚，再互相結婚」來同時改進他們的婚姻狀況。這也是賽局理論所說的「伯瑞多最佳」狀態。但這並不代表每個婚姻中人都是如魚得水，他們可能只是找不到更好而有意願的對象而已。

Gale-Shapley演算法：試圖解決男女配對問題

「穩定婚姻問題」尋求一個把男、女配對，而形成穩定婚姻社群的演算法。

這方法早在1962年即由2012年諾貝爾經濟學獎得主Lloyd Shapley和David Gale解出。其方法稱做Gale-Shapley演算法。Gale-Shapley演算法的應用遠超過婚姻配對問題，例如美國醫學協會把住院醫師與實習醫院配對便用了這個演算法。

這個演算法要求，社群中每個人都要列出他或她對所有異性的喜好順序。例如：在三男三女的社群中，假設各人的偏好順序如下表：

Photo Credit: 林澤民教授

三男三女，共可產生六組不同的婚姻配對，其中有三組是「穩定婚姻」，列舉如下。

• 第一組婚姻配對（Ａ女，乙男）、（Ｂ女，丙男）、（Ｃ女，甲男）：社群中每位女士均嫁了她們最心儀的男士，但每位男士均娶了他們最看不上眼的女士。很顯然地，雖然男士們都蠢蠢欲動，其奈女士們不動如山何？這組婚姻符合「穩定」的定義。
• 第二組婚姻配對（Ａ女，甲男）、（Ｂ女，乙男）、（Ｃ女，丙男）：與第一組恰恰相反，這裡每位男士均娶了他們最心儀的女士，但每位女士均嫁了她們最看不上眼的男士。依同理，這組婚姻也是穩定的。
• 第三組婚姻配對（Ａ女，丙男）、（Ｂ女，甲男）、（Ｃ女，乙男）：這裡不分男女均已獲得了次愛對象的垂青。如果有人還不知足，想更上一層樓，很抱歉：他（她）們心目中最愛的對象卻看他（她）們最不上眼呢，還是乖乖守護家庭吧。穩定婚姻！

從這個例子可以看出：穩定婚姻的演算法並不保證是唯一解，而且也不保證人人都美滿幸福。

那麼，對婚姻充滿浪漫期待的青年男女們，如何才能在「穩定」的前提上爭取到如意的對象呢？

賽局分析顯示，採取主動的一方，比較容易得到排序較高的對象。例如若女性採取主動，則結果較可能是第一組。若男性採取主動，則結果較可能是第二組。被動的一方很可能在形勢比人強的情形下止於末選。

網路上有好幾個網頁以Python程式語言執行了Gale-Shapley演算法。有興趣的讀者可以參考文末書目。

中國古詩中的穩定婚姻問題

這裡以兩首中國古詩為例說明什麼是「穩定婚姻」、什麼不是「穩定婚姻」。

漢朝樂府詩「陌上桑」全詩如下：

日出東南隅，照我秦氏樓。秦氏有好女，自名為羅敷。羅敷喜蠶桑，採桑城南隅。青絲為籠繫，桂枝為籠鉤。頭上倭墮髻，耳中明月珠。緗綺為下裙，紫綺為上襦。行者見羅敷，下擔捋髭鬚。少年見羅敷，脫帽著帩頭。耕者忘其犁，鋤者忘其鋤。來歸相怨怒，但坐觀羅敷。

使君從南來，五馬立踟躕。使君遣吏往，問是誰家姝。「秦氏有好女，自名為羅敷。」「羅敷年幾何？」「二十尚不足，十五頗有餘。」使君謝羅敷：「甯可共載不？」

羅敷前致辭：「使君一何愚！使君自有婦，羅敷自有夫。東方千餘騎，夫婿居上頭。何用識夫婿？白馬從驪駒。青絲繫馬尾，黃金絡馬頭；腰中轆轤劍，可直千萬餘。十五府小吏，二十朝大夫，三十侍中郎，四十專城居。為人潔白皙，鬑鬑頗有鬚。盈盈公府步，冉冉府中趨。坐中數千人，皆言夫婿殊。

這詩中的「使君」與「羅敷」都已婚。「使君」喜歡「羅敷」甚於喜歡自己太太，但是「羅敷」喜歡自己的先生甚於「使君」。

何以見得？「使君一何愚」等於現代人罵無聊男子是「癡漢」。而「皆言夫婿殊」更掩不住嫁了如意郎君的沾沾自喜。另外，詩中雖未點明，但「羅敷」的夫婿四十幾歲了能娶到十幾歲而又真心愛慕他的美女，即使「使君」的太太羨慕「羅敷」先生高富帥，怨嘆「使君」隨地拈花惹草，「羅敷」的先生應該不至於會喜歡她甚於喜歡自己太太。

果然如此，這兩對夫妻所組成的社群，其婚姻狀態便算「穩定」。

所以「穩定婚姻」不代表婚姻中人不見異思遷，而是即使想劈腿自己更喜歡的人也找不到願意的對象而無法做到。

依照上面的假設，各人的偏好順序如下：

• 【女性】羅敷：羅敷夫＞使君；使君婦：羅敷夫＞使君
• 【男性】羅敷夫：羅敷＞使君婦；使君：羅敷＞使君婦

我們可以看到（羅敷，羅敷夫）、（使君婦，使君）的配對是穩定的。雖然使君婦跟使君都是跟他們的最末順位結婚，可是那即使不滿意也已經無法改善了，被罵「癡漢」也只能黯然。

同樣描寫婚姻狀態的唐代張籍的《節婦吟·寄東平李司空師道》，道出了不太一樣的情境。

君知妾有夫，贈妾雙明珠。
感君纏綿意，繫在紅羅襦。
妾家高樓連苑起，良人執戟明光裡。
知君用心如日月，事夫誓擬同生死。
還君明珠雙淚垂，恨不相逢未嫁時。

這首詩中的「妾」受到「君」的撩撥其實已經動了心。她起初還把「君」贈她的兩顆明珠繫在她貼身的紅色蕾絲小可愛上。後來雖然還給了他，並不是因為喜歡「良人」甚於喜歡「君」。

何以見得？詩中所引用的理由是「妾家高樓連苑起，良人執戟明光裡」。這兩句我怎麼看怎麼不對勁。也許傳統的解釋是說夫家有錢還位居高官。但高樓深宅事實上並沒有防得了「妾」與「君」私通款曲，當然更栓不住她愛慕的心。至於「良人執戟明光裡」，其實也不過是在皇宮充當侍衛，並不是什麼大不了的官，遠比不上「陌上桑」裡羅敷的夫婿。說不定「良人」不值班的夜晚便拿著他那枝戟月光下在自家門外巡防太太私奔呢！

無論如何，這詩裡的「妾」只是個受傳統規範羈束的「節婦」加「怨婦」。「事夫誓擬同生死」不過是「從一而終」的概念。最後一句「恨不相逢未嫁時」更毫不掩飾地表明了「怨婦」的心情：如果不是喜歡「君」甚於喜歡「良人」，直接罵他「痴漢」就是了，何至於「還君明珠雙淚垂」？又何需心中有恨？這樣的婚姻只能以外力來維持穩定，算不得賽局理論的「穩定婚姻」。（註：原詩未提「君」是否已婚。這裡的分析假設他已娶妻，但「君婦」的偏愛順序並不重要。）

在這個配對中，假設各人的偏好順序如下：

• 【女性】妾：君＞妾夫；君婦：君＞妾夫
• 【男性】君：妾＞君婦；妾夫：妾＞君婦

（妾，妾夫）、（君婦，君）的配對是不穩定的，因為「妾」跟「君」如果做得到可以離開原配、互結連理而改進他們的婚姻幸福。只是不幸活在不能隨意離婚的時代，也只能「恨不相逢未嫁時」了！

參考書目

1. D. Gale and L. S. Shapley. “College Admissions and the Stability of Marriage.” The American Mathematical Monthly, Vol. 69, No. 1 (Jan., 1962), pp. 9-15.
2. Alexander Osipenko, “Gale–Shapley Algorithm Simply Explained.”
3. 漢娜．弗萊著，洪慧芳譯。《數學的戀愛應用題》第三章〈提高安打率的秘密〉。天下雜誌出版。

本文經林澤民授權刊登，原文刊載於此

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