以福爾摩斯為例闡釋「回溯推論法」，如何幫助我們尋求事實的最佳解釋？

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• 結論： ¬A2
• 前提1：若A3則B3及B
• 前提2：¬B3

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• 結論：¬A3

如果福爾摩斯能確定他提的三個理論是互斥而且窮盡所有可能性的（mutually exclusive and exhaustive），則他所謂「當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實」可以示意如下：

• 前提1：若¬A2及¬A3則A1
• 前提2：¬A2及¬A3

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• 結論：A1

這樣的推論沒有任何不確定性，當然是十足的演繹法。也許這是道爾把福爾摩斯的方法稱為「演繹的科學」的原因吧？

但是這種演繹法成立的條件，除了理論必須互斥而且窮盡所有可能性之外，還得他的前提特別是對B2、B3（或¬B2、¬B3）的鑑識都是百分之百確定的。如果其中有任何不確定性，例如疑犯自白、證人證詞、甚至科學鑑識的可信度不足，則使用「以否定後項來否定前項」的邏輯也就無法達到p=1的結論了。《皮膚變白的軍人》案中，福爾摩斯亟想知道小屋看守人是否在讀《柳葉刀》等醫學刊物，但客戶沒去注意這些細節，隨口答了比較像《觀察家》。這種「證詞」能有多少確定性？如何足以讓福爾摩斯百分之百否定精神失常的假說？而且難道痲瘋病患者的看守人就不會讀《柳葉刀》嗎？當0＜p＜1時，我們就又回到回溯推論法了。此時因為不止一個理論無法完全排除，必須仰賴貝氏定理來算各理論的後驗機率。

貝氏定理的計算必須要假設先驗機率，其值由福爾摩斯依客戶的敘述及他自己的專業知識可以主觀判斷。以下的例子假設犯罪逃亡（理論1）、精神失常（理論2）、傳染疾病（理論3）三個理論的先驗機率分別為Pr(1)=0.2、Pr(2)=0.3、Pr(3)=0.5。福爾摩斯到現場調查之後，依鑑識結果判定資料支持各理論的程度。這是假設理論為真時，觀察到所得資料的條件機率。這裡依據故事中福爾摩斯自己的分析假設了下列條件機率，其中「＋」代表調查所發現的資料與理論相符，「－」代表調查所發現的資料與理論不符：

• 調查結果與犯罪逃亡的理論完全不符，Pr(+|1)=0.0，Pr(-|1)=1.0。
• 調查結果與精神失常的理論不盡相符，Pr(+|2)=0.5，Pr(-|2)=0.5。
• 調查結果與傳染疾病的理論大致相符，Pr(+|3)=0.9，Pr(-|3)=0.1。

這些調查結果可以讓福爾摩斯用貝氏定理來更新他的先驗機率，其結果就是所謂後驗機率，也就是回溯推論法結論的確定性。計算的結果顯示：如福爾摩斯所說，犯罪逃亡的理論的確是不能成立的（Pr(1|+)=0），但其它兩個理論都不能完全排除。經過調查之後，資料證據稍微減少了精神失常的可能性（Pr(2|+)=0.25），但大大加強了傳染疾病的可能性（Pr(3|+)=0.75）。見表一。這結果雖然無法保證每案必破，卻比較合乎現實情況。

Photo Credit: 林澤民教授部落格

貝氏定理的計算，請參考我的文章：〈貝氏定理在生活中很有用，可是它到底怎麼算？〉

從這個例子可以看出：不論先驗機率如何，只要資料與理論完全不符（即條件機率為零），該理論就可以完全排除。如果資料不只與犯罪逃亡的理論不符，也與精神失常的理論不符，那剩下的當然就只有傳染疾病的理論了。這就是「當你把一切不可能的結論都排除之後，那剩下的，不管多麼離奇，也必然是事實」。這個結論雖然在特殊的條件下用演繹法就可推出，但它其實是回溯推論法的一個特例，用貝氏定理也可算出，只是不需要那麼麻煩而已。見表二。當鑑識資料與理論的符合程度不是那麼確定時，光靠演繹法就行不通的，還是要仰賴回溯推論法及貝氏定理！

五、諾伯里！

太過於相信自己的判斷曾經給福爾摩斯帶來失敗的教訓。在另一個與《皮膚變白的軍人》有點類似的疑案《黃面人》中，從倫敦西南諾伯里（Norbury）區專程來求助的客戶懷疑自己的婚姻出了可怕的問題。他有次經過住家附近的一棟空屋，發現空屋的一扇窗戶裡有一張詭異的面孔也正在看著他：

「我背上似乎冒出了冷汗。我站得稍微遠了一點，所以看不清面貌如何。不過這張面孔有點不自然而且不像人臉。這就是我那時的印象。我便急忙走向前去，以便把窺視我的那個人看得更清楚些。但我走近以後，那張面孔突然不見了，彷彿突然被拉到室內的暗處。我站了足有五分鐘，仔細考慮這件事，打算把我得到的印象分析一下。我很難說明這究竟是一張男人的面孔，還是女人的，它離我太遠了。可是這張面孔的顏色給我留下的印象卻是很深的。它就像青灰色的白堊土一樣，而且有點僵硬呆板，不自然得嚇人。」

客戶心中不安，可是接下來發生的事更令他焦急：他發現他的美國妻子進出這棟空屋，行為異常，卻堅決不肯透露實情，只請求他相信她的愛情和苦衷。可是客戶忍不住了，來請福爾摩斯協助。

聽過客戶敘述案情之後，福爾摩斯在華生催問下，提出了他的唯一一個理論：客戶妻子的前夫住在空屋裡。華生難得地不以為然，說那完全是臆測，但福爾摩斯說：「可是它至少符合所有的事實。假使再發現了不相符合的新情況，我們重新考慮也還來得及的。」

可是福爾摩斯和華生搭火車到達當地之後，在月台等待的客戶「面色蒼白，憂心忡忡，渾身顫抖」已經忍無可忍了，要求兩人為證，直接闖入空屋。這才發現黃面人是妻子與美國具非洲血統的前夫所生的小女孩。前夫雖然膚色不黑，小孩卻黝黑得多，妻子怕鄰居的流言蜚語，給女孩戴上黃色的面具，讓她至少可以在窗戶後面窺視戶外景物。客戶諒解妻子的苦衷，抱著小孩與妻子攜手回家。

福爾摩斯不發一言回到倫敦，直到夜晚，才對華生說：「如果以後你覺得我過於自信我的能力，或在辦一件案子時下的功夫不夠，請你最好在我耳旁輕輕說一聲『諾伯里』，那我一定會感激不盡的。」