《翻轉你的數學腦》：中國的計數系統是巨大突破，人類第一次能用不到20個符號表示任何數

文：斯蒂芬・布伊斯曼（Stefan Buijsman）

很久很久以前的數學

中國的怪胎

到目前為止，我們看到的文化都很相似。美索不達米亞和埃及很早就開始使用數字，幾乎是他們最早書寫下來的東西。在那裡以及希臘，數學家享有崇高的地位，主要是從事實際問題的工作，不過使用的是通用的方法。

在中國的情形就很不一樣，這種差異從一開始就顯現出來。

在中國，可能不是因為行政需要而開始書寫，因為從未出土過物品和數量的清單。另外一方面，卜筮則非常重要，最早的文獻是在甲骨上用來卜筮的符號。雖然中國人在某個時候開始使用數學，地位卻不高，這恐怕是我們對中國古代的數學知之甚少的原因。我們知道的是在相對較晚的時候，大約公元前1000年，他們有為曆法及行政目的的計算。

他們採用兩種數字系統來做這些事。他們有關於數字的語詞，就像一般口語中常見的那樣。那些語詞的形式很簡單，現在還是這樣。354讀起來就是「三百五十四」，和英文或法文中的寫法類似，比德文或荷蘭文要簡單，在後兩種文字中五十和四的位置是相反的。

第二種表示數字的方法就比較具革命性。最早他們是用竹籤，後來改為線段的符號。對於數字1到9，竹籤以特定的形式排列，對於大的數目則以重複的方式來表現，就像數字重複使用1到9來表達一樣。

就算是用竹籤表示數字的系統也有兩種。上面的圖示中，第一列是橫寫的符號，第二列是直書的符號。中國人用這兩種不同符號來顯示0。在美索不達米亞及埃及，人們無法分辨有0或無0的數（例如，506和56）。他們沒有表示0的方法，當然就無法顯示出一個數中沒有十位數。而利用兩種符號表示法，中國人是世界上最早能夠表示0的人群。下圖展示他們表示60390的方法。

他們寫數字使用到這兩組符號。上圖中，3是用直書的符號表示，而9則是用橫寫的符號。這就表示3和9之間沒有0。6和3都是直書的符號，表示它們之間有個0。他們沒有寫出0，因為沒有代表它的符號。兩個相鄰的直書（或橫寫）符號表示它們中間有個0。遺憾的是沒有0的符號，他們還是無法顯示數字之間有多少個0（圖中用方格顯示的比較清楚）。然而，中國的計數系統是一項巨大的突破，因為人類第一次能用不到20個符號表示任何數。

除了聰明的計數系統，中國人也有不同的計算方法。他們可以像我們現在一樣快速地進行乘法運算。要計算81×81，他們先用竹籤擺好數字，然後一步一步地往上加，先是80×80，然後80×1……。他們也有解決更複雜問題的方法，收集在《九章算術》以及後續的注中。該書各章節的標題，讓你對中國人在公元0年左右的數學水平有點了解。

1. 方田章：不同形狀的面積和分數的計算。
2. 粟米章：不同價格物品交易的計算。
3. 衰分章：物品與錢財的定比例分配。
4. 少廣章：矩形的邊長，圓形的周長，平方根與立方根的計算。
5. 商功章：各種形狀的體積計算。
6. 均輸章：更加複雜的稅收等比例問題，例如與人數的關係。
7. 盈不足章：線性方程式，例如工作時數增加時。工資的增加。
8. 方程章：聯立一次方程組，與農產品收穫與牲畜買賣相關。
9. 勾股章：畢氏定理的應用。

對中國人而言，數學不關抽象的事，整本書中找不到一個一般性的定義或一段證明。他們關注的主要是通過許多具體例子解決實際問題。他們希望找出最廣泛可用的方法，只要方法可行，就無需再回溯研究其中基礎的數學原理。

因此數學的首要目的就是實用。任何人學了數學之後，要處理的就是徵稅、建築、戰事以及許多其他事物。在美索不達米亞和埃及，數學家因此取得了崇高的地位，是大老闆之下的首席經理人，而在中國就很不一樣了。

在中國，數學家和匠人一起解決問題，他們更多像是社會的「怪胎」。就算在中國數學最輝煌的時代，數學家還是因被文人輕看而有微言。中國的帝王也絕不會吹噓他的數學知識。

想來數學家還是在中國扮演了非常重要的角色。那個時期最著名的就是《數書九章》，大約寫於公元1247年，其中有兩章是關於設防工程及到敵營距離的計算，這在當時與蒙古人的戰爭中是迫切需要的。書中還有許多其他的實際問題，例如信貸制度及建造堤防，還有一些「沒用」的東西，這些問題以不必要的繁雜方式解決。其中一個問題的解答極其複雜，以至於這本13世紀的書所包含的內容，歐洲要到1890年才發現。

簡而言之，在中國，數學基本上也是扮演實用的角色，尤其在組織與行政方面。但它履行那個角色的方式不同於其他的古老文明；以一般性的方法來解決問題，而非抽象的證明；以具體的例子取代定義與基本原理。使用數學的方式不同，使用的原因卻相同。這是個好時機回到我在上一章末尾所問的那個問題——我們為什麼開始使用數學？

答案其實很簡單：數學讓我們得以組織城市及其他大型的社會。或許可以不靠數字或數學來徵稅，但事實證明實行起來卻不可能。只要大量人群聚居及貿易，數學就必會隨之發展。都市計畫、房屋建造、食物庫存資料的保存、武器的製造等等都需要數學。我們或許能靠我們天生的本能，但數學能讓我們做得更好、更有效率，也更精確。

也可以用不同的方式來看這個答案。不同的文化有他們自己的方式來書寫數字。有時候比較簡單，像埃及人寫；有時候就過於複雜，例如埃及人表示。然而從抽象的希臘方式到以具體例子為基礎的中國方式，不同的處理方法都造成了相同的結果。例如，埃及人得以有效的分割麵包，作為報酬分配，而且還能夠藉此顯示地位的差異——神殿的首席祭司分配到的是最低級工人的30倍。組織這樣的系統，有數字要比沒數字容易得多。

我們在第一章已經探討過這種想法。那一章裡，我們看到數學讓問題變得容易，並提供了實用的答案；這就是為什麼我們一開始就使用數學。城市與國家都有行政管理的問題，光靠天生能力很難解決，於是我們發展數學以幫助我們處理這些問題。這也是為什麼不用數學的文化都很小型——人民居住在村落，彼此相識。城邦與王國過於複雜，不靠數學無法管理。