《翻轉你的數學腦》:中國的計數系統是巨大突破,人類第一次能用不到20個符號表示任何數

《翻轉你的數學腦》:中國的計數系統是巨大突破,人類第一次能用不到20個符號表示任何數
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我們想讓你知道的是

對中國人而言,數學不關抽象的事,整本書中找不到一個一般性的定義或一段證明。他們關注的主要是通過許多具體例子解決實際問題。他們希望找出最廣泛可用的方法,只要方法可行,就無需再回溯研究其中基礎的數學原理。

文:斯蒂芬・布伊斯曼(Stefan Buijsman)

很久很久以前的數學

中國的怪胎

到目前為止,我們看到的文化都很相似。美索不達米亞和埃及很早就開始使用數字,幾乎是他們最早書寫下來的東西。在那裡以及希臘,數學家享有崇高的地位,主要是從事實際問題的工作,不過使用的是通用的方法。

在中國的情形就很不一樣,這種差異從一開始就顯現出來。

在中國,可能不是因為行政需要而開始書寫,因為從未出土過物品和數量的清單。另外一方面,卜筮則非常重要,最早的文獻是在甲骨上用來卜筮的符號。雖然中國人在某個時候開始使用數學,地位卻不高,這恐怕是我們對中國古代的數學知之甚少的原因。我們知道的是在相對較晚的時候,大約公元前1000年,他們有為曆法及行政目的的計算。

他們採用兩種數字系統來做這些事。他們有關於數字的語詞,就像一般口語中常見的那樣。那些語詞的形式很簡單,現在還是這樣。354讀起來就是「三百五十四」,和英文或法文中的寫法類似,比德文或荷蘭文要簡單,在後兩種文字中五十和四的位置是相反的。

第二種表示數字的方法就比較具革命性。最早他們是用竹籤,後來改為線段的符號。對於數字1到9,竹籤以特定的形式排列,對於大的數目則以重複的方式來表現,就像數字重複使用1到9來表達一樣。

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古代中國1到9的表示法,橫寫及直書|Photo Credit: 時報文化

就算是用竹籤表示數字的系統也有兩種。上面的圖示中,第一列是橫寫的符號,第二列是直書的符號。中國人用這兩種不同符號來顯示0。在美索不達米亞及埃及,人們無法分辨有0或無0的數(例如,506和56)。他們沒有表示0的方法,當然就無法顯示出一個數中沒有十位數。而利用兩種符號表示法,中國人是世界上最早能夠表示0的人群。下圖展示他們表示60390的方法。

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中國古代表達60390的方法|Photo Credit: 時報文化

他們寫數字使用到這兩組符號。上圖中,3是用直書的符號表示,而9則是用橫寫的符號。這就表示3和9之間沒有0。6和3都是直書的符號,表示它們之間有個0。他們沒有寫出0,因為沒有代表它的符號。兩個相鄰的直書(或橫寫)符號表示它們中間有個0。遺憾的是沒有0的符號,他們還是無法顯示數字之間有多少個0(圖中用方格顯示的比較清楚)。然而,中國的計數系統是一項巨大的突破,因為人類第一次能用不到20個符號表示任何數。

除了聰明的計數系統,中國人也有不同的計算方法。他們可以像我們現在一樣快速地進行乘法運算。要計算81×81,他們先用竹籤擺好數字,然後一步一步地往上加,先是80×80,然後80×1……。他們也有解決更複雜問題的方法,收集在《九章算術》以及後續的注中。該書各章節的標題,讓你對中國人在公元0年左右的數學水平有點了解。

  1. 方田章:不同形狀的面積和分數的計算。
  2. 粟米章:不同價格物品交易的計算。
  3. 衰分章:物品與錢財的定比例分配。
  4. 少廣章:矩形的邊長,圓形的周長,平方根與立方根的計算。
  5. 商功章:各種形狀的體積計算。
  6. 均輸章:更加複雜的稅收等比例問題,例如與人數的關係。
  7. 盈不足章:線性方程式,例如工作時數增加時。工資的增加。
  8. 方程章:聯立一次方程組,與農產品收穫與牲畜買賣相關。
  9. 勾股章:畢氏定理的應用。

對中國人而言,數學不關抽象的事,整本書中找不到一個一般性的定義或一段證明。他們關注的主要是通過許多具體例子解決實際問題。他們希望找出最廣泛可用的方法,只要方法可行,就無需再回溯研究其中基礎的數學原理。

因此數學的首要目的就是實用。任何人學了數學之後,要處理的就是徵稅、建築、戰事以及許多其他事物。在美索不達米亞和埃及,數學家因此取得了崇高的地位,是大老闆之下的首席經理人,而在中國就很不一樣了。

在中國,數學家和匠人一起解決問題,他們更多像是社會的「怪胎」。就算在中國數學最輝煌的時代,數學家還是因被文人輕看而有微言。中國的帝王也絕不會吹噓他的數學知識。

想來數學家還是在中國扮演了非常重要的角色。那個時期最著名的就是《數書九章》,大約寫於公元1247年,其中有兩章是關於設防工程及到敵營距離的計算,這在當時與蒙古人的戰爭中是迫切需要的。書中還有許多其他的實際問題,例如信貸制度及建造堤防,還有一些「沒用」的東西,這些問題以不必要的繁雜方式解決。其中一個問題的解答極其複雜,以至於這本13世紀的書所包含的內容,歐洲要到1890年才發現。

簡而言之,在中國,數學基本上也是扮演實用的角色,尤其在組織與行政方面。但它履行那個角色的方式不同於其他的古老文明;以一般性的方法來解決問題,而非抽象的證明;以具體的例子取代定義與基本原理。使用數學的方式不同,使用的原因卻相同。這是個好時機回到我在上一章末尾所問的那個問題——我們為什麼開始使用數學?

答案其實很簡單:數學讓我們得以組織城市及其他大型的社會。或許可以不靠數字或數學來徵稅,但事實證明實行起來卻不可能。只要大量人群聚居及貿易,數學就必會隨之發展。都市計畫、房屋建造、食物庫存資料的保存、武器的製造等等都需要數學。我們或許能靠我們天生的本能,但數學能讓我們做得更好、更有效率,也更精確。

也可以用不同的方式來看這個答案。不同的文化有他們自己的方式來書寫數字。有時候比較簡單,像埃及人寫;有時候就過於複雜,例如埃及人表示。然而從抽象的希臘方式到以具體例子為基礎的中國方式,不同的處理方法都造成了相同的結果。例如,埃及人得以有效的分割麵包,作為報酬分配,而且還能夠藉此顯示地位的差異——神殿的首席祭司分配到的是最低級工人的30倍。組織這樣的系統,有數字要比沒數字容易得多。

我們在第一章已經探討過這種想法。那一章裡,我們看到數學讓問題變得容易,並提供了實用的答案;這就是為什麼我們一開始就使用數學。城市與國家都有行政管理的問題,光靠天生能力很難解決,於是我們發展數學以幫助我們處理這些問題。這也是為什麼不用數學的文化都很小型——人民居住在村落,彼此相識。城邦與王國過於複雜,不靠數學無法管理。


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【專訪】前副總統陳建仁:「缺水問題,恐怕是不輸COVID-19的嚴重公衛危機」

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我們想讓你知道的是

全球缺水危機正對人類生命帶來的威脅,缺水地區的人們在渴死以前,往往是因為缺乏乾淨水源而病死的。前副總統、公衛專家陳建仁不只為我們上了一堂「水源與疾病」的通識課,也呼籲台灣人展現愛心與國際救援力。

全球缺水危機正對人類生命帶來威脅,缺水地區的人們在渴死以前,往往是因為缺乏乾淨水源而造成疾病、進而死亡。根據聯合國統計,每天有超過700位五歲以下的兒童因為不安全用水、不良衛生環境導致腹瀉死亡。無水之地的悲劇不只影響當地居民,其衍生的疾病也可能會衝擊全球的未來。

為了呼籲讀者重視全球缺水議題、重視其所帶來的公衛挑戰,本文專訪具有公衛專家背景的前副總統陳建仁,從公衛的角度談缺水問題。並邀請社會各界付出行動,別因為輕視缺水衍生的公衛危機,而造成下一次的大流行瘟疫。

當人們病死在無水之地——乾旱、缺水、髒水與公衛的關係

在2030年前,確保所有人都能享有乾淨可負擔的用水、以維持個人健康衛生及永續管理,是聯合國永續發展目標(SDG)的目標之一,也是當今世上所有人都應共同努力的任務。除了要確保現有的水源維持乾淨安全、減少污染,也要確保雨露均霑、人人有水,同時也不能忽視氣候變遷導致的乾旱、洪水對水資源造成的影響。儘管要努力的方向還有很多,「飲水思源」仍是世人時常忘記的課題。

2021年初,台灣曾遭遇旱災缺水危機,幸運的是我們有足夠因應的措施與設備,國人仍能保有安全衛生的淨水生活,但也可能因此未有深刻的缺水之痛。事實上,現在仍有許多國家或地區深陷乾旱的痛苦,並因為缺水或骯髒的水源導致大量疾病與死亡;根據聯合國統計(2022),光是因為洪災及水媒疾病導致的死亡人數,就佔了整體天災死亡率的70%。對此,陳建仁表示:

「其實缺水問題,恐怕是不輸COVID-19的嚴重公衛危機。COVID-19目前造成全球約5億人感染,且隨著病毒株變化和疫苗興起,這場流行病或許耗費2~3年就會減緩。但全球缺水問題卻有高達8億多人受影響,若不付出行動改善,當地居民只能一直面臨無水之苦。」

接著,陳建仁為我們上了一堂課,娓娓道來「水源與疾病」兩者之間的高度關聯性。

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前副總統陳建仁,中央研究院 院士

「一直以來,人類期望從大自然取得乾淨水源,但是隨著人口增加、城市中的水源污染、氣候變遷造成的水災或乾旱,乾淨水源只會愈來愈得來不易。而不良水質當中,可能含有微生物細菌、病毒、化學污染物等,會造成霍亂、傷寒、阿米巴痢疾、病毒肝炎、癌症等疾病,因此缺水地區的人往往不是渴死,而是病死的。」

回顧人類歷史上跨國性的重大流行傳染病,就是起源於水中細菌的「霍亂」。19世紀中葉,霍亂從印度傳到歐洲,甚至傳播到中國和裏海;最後終結全球霍亂的關鍵,則是「流行病學之父」約翰・斯諾(John Snow)在倫敦霍亂流行時發現霍亂是因為嚴重的水污染所傳播。陳建仁說明:

「霍亂是污水引起,而非瘴癘引起。約翰・斯諾建立了這樣的觀念,可以說是公共衛生學上一項重大事件。」

陳建仁也強調,因為污水引起地方性疾病、後來蔓延至其他地區的案例,至今仍相當常見。「尤其因為氣候變遷而引發的洪水或暴雨,其過境之地使糞水、污水被沖刷出地面,更容易引起大範圍地區的公共衛生污染,所以,通常水災後的三個月內,受災地區又會流行好一陣子的腸胃道疾病感染。」

「時至今日,全球仍約有8.4億人無法享用安全乾淨的水,其中有3.4億人集中在撒哈拉沙漠以南的非洲。為了取水,當地人每天都要花好幾個小時取水,兒童也因此無法上學受教育。連飲用水都不足,遑論吃飯洗手的用水、或有沖水馬桶的廁所。水的問題尚未解決,公共衛生措施又該如何推展?」

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電子顯微鏡下的霍亂弧菌。「流行病學之父」約翰・斯諾(John Snow)發現霍亂是污水引起,而非瘴癘引起。

不潔淨飲水,曾引發台灣地區性烏腳病

而台灣因為水污染引起疾病的經典案例之一,就是1950年代在西南沿海盛行的「烏腳病」。「烏腳病的患者,主要病徵是手掌與腳蹠皮膚發紫、角化、潰瘍,手指或腳趾末梢只要稍微受傷,就會壞疽發黑並且壞死脫落,而且伴隨劇痛。」陳建仁接著向我們說起這段故事。

在台灣盛行烏腳病的年代,當時的孫理蓮牧師娘(Lillian R. Dickson),與王金河醫師、謝緯醫師三人心疼受苦病患,便展開義診與照顧服務。不只免費為病人截肢,還設立「烏腳病患手工藝生產中心」,由王金河醫師的太太王毛碧梅女士教導病患編織竹簍等工藝,習得一技之長以自食其力,照顧病患的生命尊嚴。

「然而,光是截肢並不能解決層出不窮的烏腳病病例。」因此,謝緯醫師找上台大醫學院的陳拱北教授(後被譽為「台灣公衛之父」),與當時多位台大醫學院菁英組織研究團隊,試圖找出烏腳病的原因。「後來發現是居民飲用了深達地下30至100公尺的「地河井」水源,由於部分深井水的砷濃度很高,因此居民飲用後產生砷中毒現象,烏腳病也就是其中之一。」陳建仁說。

而在這段台灣烏腳病的流行史上,陳建仁也扮演了重要角色。「1980年,我從美國學成返台,當時台大公共衛生研究所主任吳新英教授就給了我一筆經費,授命我去研究烏腳病。」因此陳建仁走訪烏腳病盛行地區,採訪了300多位病患,發現慢性砷中毒不只造成烏腳病,還引起多重健康危害,包括缺血性心臟病、頸動脈硬化、癌症等。」

為了徹底解決烏腳病問題,陳建仁積極投入砷中毒研究,並估計出飲水砷濃度的可容忍極限。後來這項台灣研究算出的標準,美國和世界衛生組織也正式採用,修法將標準濃度從50μg/L改為10μg/L。

而當時全世界最嚴重的飲水砷中毒地區還包括孟加拉。為了解決缺水、污水引發的消化道疾病與死亡,聯合國兒童基金會與世界銀行援助孟加拉的公共衛生工程處共同開發地下水,以提供人民「安全」乾淨的飲用水,殊不知又遇到砷中毒的挑戰。後來世界衛生組織取經陳建仁的研究,陳建仁也大方分享台灣經驗,推廣並協助檢測井水砷濃度含量,篩選可飲用的水源,才得以緩解這項全球公衛危機。

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1990年代,陳建仁研究團隊在宜蘭地區發現因飲水造成的砷中毒、烏腳病案例。當時陳建仁火速建議宜蘭縣縣長游錫堃改善之道,後來宜蘭縣在短短三年內完成自來水管線的全面鋪設,確保民眾享有乾淨安全飲用水,減少砷中毒罹病風險。

再將時間往前推移,相信不少讀者的童年,有著每逢開學都要吃驅蟲藥、貼蛔蟲貼片的回憶。「台灣早期農業習慣直接用水肥灌溉,因此很多寄生蟲卵會接觸到蔬果,若沒有清洗乾淨,誤食寄生蟲卵污染的食物或水,即會造成腸胃道寄生蟲病,例如:蛔蟲。」

另外,早年的偏鄉或山區較少公共廁所,尚未有自來水廠,民眾多取用山泉水,或習慣隨地便溺,容易造成水源污染,大量引發兒童下痢、A型肝炎等案例。雖然這些經驗因為環境衛生措施和人民衛生習慣改善而愈來愈少,不過陳建仁也強調:「隨著台灣經濟發達、人口愈來愈多,水源供應的挑戰仍不會結束。」

從污水處理下水道的普及化,水庫集水區、河川遭到農業農藥或工廠廢水污染的問題,以及水資源再利用等,仍是近年台灣必須直接面對的水資源課題。萬一忽視水資源對人類生活的影響,最終付出代價的仍是人類的身體健康。

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根據聯合國統計,每天有超過700位五歲以下的兒童因為不安全用水、不良衛生環境導致腹瀉死亡。

疫情下的反思:全球已是命運共同體,別讓地區性缺水釀成全球大瘟疫

「住在台灣的我們很幸福,但我們必須要知道世界上仍有許多人連喝水都有困難。」

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「Taiwan can help. Taiwan is helping.」陳建仁期許國人透過台灣世界展望會水資源資助行動,為改變世界盡一份心力。

從歷史上有名的幾次全球霍亂大流行,到近年最令人感同身受的COVID-19,無不揭示著全球化時代、國際交流與旅遊盛行的現代,傳染病的擴散之速,已不可同日而語。當世界上仍有許多偏遠角落的居民面臨缺水帶來的死亡威脅,而COVID-19疫情也印證了全球已是命運共同體,若人們持續對缺水議題保持冷漠,那麼其所衍生的公衛問題,將是全球人類共付代價。

陳建仁不只祈願世人能發揮愛心、疼惜他人,也期許台灣人能實踐地球村一份子的義務,透過資助的方式加速國際救援的影響力。陳建仁說:「我和台灣世界展望會是老朋友了,一直以來都有關注展望會的行動。這次台灣世界展望會倡議關注水資源議題,並且看見水源與疾病的關係,我很敬佩也很支持。」即使無法以犧牲奉獻的精神到實地服務,或許也能透過資助台灣世界展望會的水資源救援行動,為改變世界盡一份心力。

事實上,在世界展望會的行動下,每10秒就多1個人獲得乾淨的水;每1天多3所學校因安全飲用水受益。光是2021年,世界展望會即幫助300萬人擁有安全水源、230萬人改善家中衛生環境,並向350萬人宣導建立良好衛生習慣。

「Taiwan can help. Taiwan is helping.」

陳建仁不只為我們上了一堂「水源與疾病」的通識課,也呼籲國人付出實行,展現台灣人的愛心與國際救援力。

I can help! I am helping! 立即資助台灣世界展望會,展開水資源救援行動

閱讀數位敘事:把水送進最遙遠的地方|台灣世界展望會#WASH計畫


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