台灣飲料封口演化論:為什麼紙吸管總是插不進去,但塑膠吸管就可以?

台灣飲料封口演化論:為什麼紙吸管總是插不進去,但塑膠吸管就可以?
Photo Credit: iStock

我們想讓你知道的是

近幾年來,紙吸管的使用量逐漸增多,但大家是不是常常覺得紙吸管很難插呢?其實紙吸管難插的原因主要不是因為比較軟,而是與圓錐截痕、三角函數有密切關係,而吸管截痕的投影竟然符合z =cos-1x 函數。在了解這些原理後,也可以知道吸管以垂直杯口的方式插入最為省力。

文:郭君逸(國立台灣師範大學數學系副教授)

近幾年國內環保意識抬頭,因為塑膠吸管不能回收,容易造成大量圾垃,所以環保署在去(2019)年7月起禁用一次性塑膠吸管,使得不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管,咖啡廳、餐廳則是改用可重複清洗使用的金屬吸管。由於使用金屬吸管的店家通常都是以內用為主,直接將金屬吸管放入杯中,不用插,所以沒什麼太大的問題,但紙吸管就常常讓人覺得非常難用,甚至插到吸管爛掉還插不進去!到底為什麼紙吸管這麼難插?就讓我們先從這些年飲料封膜與吸管的演變開始說起。

台灣飲料封口演化論

台灣的街頭常常可以見到人手一杯手搖飲,珍珠奶茶更是紅遍全球;光是在筆者生活的台北市公館一帶,就有三十幾家飲料店,非常恐怖。大約在二十幾年前,很多飲料店的包裝就像麥當勞飲料一樣,是紙杯蓋上個塑膠蓋,然後再插上「圓柱狀」的吸管來喝。

一直到1996年葉益芳先生發明了封口機後,方便的飲料封口機才慢慢走入生活,手搖飲也逐漸換成如今常見的封口杯樣式,即使隨意放置飲料也不會流出來,跟以前用塑膠杯蓋封口的方式相比,可說是方便了許多。而在全面換成封口杯之後,有一樣東西也跟著產生微妙變化,那就是吸管。

吸管的一端必須要是尖的才會好插

隨著飲料封口技術的進展,以前的圓柱狀吸管就非常難插入塑膠封膜中,想喝到飲料還必須將封膜撕開插入吸管才有辦法達成,喝有料的飲料又是另一件更加麻煩的事(只能用小湯匙挖珍珠來吃了),因此吸管也必須進行一番改革!那一根好用、好插的吸管又該怎麼設計?筆者前幾天買了一杯珍奶,結果插到吸管都爛了,還是插不進去,因此就一直在想到底為什麼吸管會這麼難插?想了許久,直到我發現原因,並寫完這篇文章,珍奶就這樣被我擱置在研究室的桌上,應該已經壞了。

高中的時候大家可能都學過二次曲線,雖然課程內容著重在代數上的運算,但大部份老師多少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕(或稱圓錐曲線),例如圖一展示出平面在雙圓錐上產生的各種截痕。而當雙圓錐退化成圓柱的時候,此時的截痕就會變成圖二的樣子,看起來是不是有點像一根吸管被切了一刀?

吸管一
Photo Credit:科學月刊
圖一:雙圓錐的截痕 當我們對雙圓錐中的其中一個圓錐,以左上到右下的斜切方式畫下一刀,會產生一道拋物線的圓錐截痕(a);如果是對其中一個圓錐以橫向方式切一刀,則會依橫切的傾斜角度,產生圓(平切)或橢圓形(有角度的切)的圓錐截痕(b);若是直直地對整個雙圓錐直切下去,則會產生雙曲線截痕(c)。
吸管二
Photo Credit:科學月刊
圖二:圓柱的截痕 當雙圓錐退化成圓柱時,此時的圓柱截痕就會有點開始有點吸管的樣子了。

但先等等,仔細觀察一下手中的吸管,它真的是長這樣嗎?讀者們可以回想一下,如果吸管從側面看過去,長相會是下列哪一個圖?

611_P33
Photo Credit:科學月刊

答案是:D

什麼!怎麼跟圓錐截痕不一樣?這是因為⋯⋯吸管就不是圓錐截痕啊!答案違背我們直覺的原因在於,當吸管用剪刀或裁刀裁切時,塑膠製的吸管必定會先被裁刀壓扁,然後再直直切過去,最後由於塑膠吸管的彈性,才會使吸管彈回來形成我們現在見到的空心柱體。

用數學來看吸管

假設剪裁前的吸管本身是半徑為1圓柱,將這根圓柱直立於xy平面,並利用參數式來描述吸管截痕曲線的話,此參數式為r(t)=〈cost, sint, z(t)〉。其中,t是繞圓的角度,而此時的觀察重點就在於高度z(t) 是多少了。若是圓柱截痕,截平面以45°切下去的話,就會是沿平面z=x來切,也就是z(t)=cost,所以從側面看過去的參數式就是r1(t)=〈cost, sint, cost〉,當我們調整t的範圍,就可以畫出圖三的3D圖。

611_P34-1
Photo Credit:科學月刊
圖三:鐵吸管截痕 假設吸管圓柱的參數式為r(t)=⟨cost, sint, z(t)⟩。t是繞圓的角度,高度為z(t);若圓柱截痕,以45°為截面切下去的話,相當於沿著平面z=x切,也就是z(t)=cost,因此從側面看過去的參數式就是r1 (t)=⟨cost, sint, cost ⟩,我們調整t的範圍,並以3D 圖表示。

但問題在於剪塑膠吸管時,吸管必定會先被剪刀壓扁,而後再沿z=x的平面剪過去,也就是z會隨著x等比例增加,然後吸管再彈回去。此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上,換句話說在固定一個高度z時吸管會回復至圓形的狀態,亦即圓參數式中的角度隨著z(t)=t 做變化,所以截面曲線就是r2(t)=〈cost, sint, t〉。畫出的3D吸管如圖四。

611_P34-2
Photo Credit:科學月刊
圖四:模擬吸管被壓扁再彈回後的截痕 如果我們模擬吸管先被剪刀壓扁,而後再沿z=x的平面剪過去的情形,z會隨著x等比例增加,然後吸管再彈回去,固定高度z時吸管會回復至圓形的狀態,亦即圓參數式中的角度隨著z(t)=t做變化,所以截面曲線就是r2(t)=⟨cost, sint, t⟩,畫出來的3D圖就會長這樣。

此時從吸管的側面看過去,相當於圖形投影到xz 平面,即為z=cos-1x 的圖形(圖五a);當然,吸管橫擺也可以說成z=cosx 或z=sinx 週期函數中的一部份(圖五b)。

611_P34-3
Photo Credit:科學月刊
圖五a
611_P34-4
Photo Credit:科學月刊
圖五b

如果我們將吸管投影到xz平面,即為z=cos-1x的圖形(a);若將吸管橫擺也可以說成是z=cosx或z=sinx週期函數中的一部份。

你知道大多數吸管是切幾度嗎?

解決了吸管切面的問題後,切吸管的角度也是一項關鍵。讀者不妨猜猜看吸管大多以幾度來切,難道是45°嗎?並不是哦,因為如果是切45°的話,最後會剩太多飲料吸不起來,一般切吸管時會沿斜率是3/5 ~ 1/2 之間來切,也就是在25°~ 40°之間。從圖六可以看出,若吸管切的斜率太陡,就會有比較多的飲料吸不起來。

611_P35-1
Photo Credit:科學月刊
圖六:切吸管的角度 如果吸管切的斜率太陡,就會有比較多的飲料剩下吸不起來。

那吸管又該怎麼插會最省力呢?我們將吸管直著擺,尖端從側面看時,斜率是無限大,所以插吸管時,應該要垂直插最省力。

紙吸管插不進去的關鍵

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟,然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟,但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的,甚至比塑膠吸管硬多了!最主要的原因還是在於形狀,紙吸管的切面是橢圓,而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

為什麼紙吸管的切面是橢圓的?相較於塑膠,紙的彈性比較沒那麼大,被裁刀重重一壓就扁了,回復不了圓柱狀,除了造型不好看,壓扁的吸管恐怕也不是很好用。因此,紙吸管的生產過程是在不變形的情況下,將紙吸管鋸斷,或是使用雷射切割,故其截面為橢圓,因為沒有「尖端」,導致紙吸管非常難插。


猜你喜歡

Tags: