數學破解猜字遊戲Wordle:「熵」最大的單字,就是最好的起手式

數學破解猜字遊戲Wordle:「熵」最大的單字,就是最好的起手式
Photo Credit: Wordle網站截圖 

我們想讓你知道的是

熵不僅能幫我們找出每步該用哪組單字,它還能預測我們大概還需要幾步。同樣是threeblueonebrown的計算結果,Wordle這款遊戲有2315組可能的答案,一開始的不確定性大約是11.17。每次最好的選擇,也就是能消減的熵大約是5左右。

文:數感實驗室

過年前的臉書開始出現一些綠、黃、灰的小方格,吹起一股Wordle猜字旋風。五個字母組成的單字,運氣不好得猜個五、六次;運氣好三次猜中時嘴角都忍不住上揚。

🟨⬜🟩⬜🟨
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玩著玩著,許多人發展出一套策略。比方說,母音e是最常出現的字母,應該要先猜猜看,還有人寫程式去尋找出最好用的單字組。知名數學頻道threeblueonebrown日前發布了一則影片討論Wordle,影片長達30分鐘,不到一天就突破百萬點閱,有興趣的朋友一定要去看看。

今天,我們將它影片中提到的基礎概念,用一些生活化的譬喻,分享給大家參考:

首先快速介紹Wordle的規則:每次猜一組5個字母的單字,如果跟答案有一樣的字母但位置不同,該字母會用黃色格子表示🟨;若位置也正確,則該字母會用綠色表示🟩;若沒有這個字母,則以灰色格子呈現⬜。根據資料,Wordle的答案有2315組單字。玩家目標就是利用每次猜測的色塊線索,排除不可能的選項,找出答案。

每次猜字都是買樂透

Wordle的各種流派中,有人傾向開場多測常出現的字母,盡可能製造出「綠色」或「黃色」;也有人喜歡走偏鋒放冷門字,倘若猜中,能一口氣快速縮小尋找範圍。

這邊出現了一個取捨:容易出現的字母就算猜到,可能解還是很多;冷門字母雖然不好猜,可一猜到效果絕佳。

這就好比買樂透:一個是中獎機率高但獎金低,一個是中獎機率低但獎金高。你想買哪組樂透呢?

「不確定」的期望值

如果你對機率略懂,就會回答:

不能單看機率或獎金金額,要綜合起來算期望值。

沒錯,我們得把各獎項的機率乘上獎金金額,再加總起來算出期望值,才能決定該買哪一組樂透。

將樂透的譬喻套回Wordle,每次猜字會開出「三的五次方」個獎項,因為每個格字都有「綠、黃、白」三種顏色,一共有五個格字。

全綠表示大獎全部都猜對,安慰獎全灰也有價值,至少刪掉了五個字母。

所以,再給定答案兩千多個單字的情況下,我們可以(交給電腦)統計出每個字母的出現機率,進而算出當你起手式輸入某一個單字,比方說quick或arose,就可以算「三的五次方」個獎項的對應機率各是多少。

機率能算出來了,但樂透獎金該對應到Wordle的什麼呢?我們再來想想看,

🟩🟩🟩🟩🟩 五格全綠是大獎,直接猜對答案;
⬜⬜⬜⬜⬜ 五格全灰是安慰獎,只刪去五個字母,還剩下很多可能的答案;
🟩🟩🟩⬜🟩 四格綠也很棒;沒剩幾個可能的答案,結果呼之欲出了。

你發現關鍵了嗎——可能解越少,相當於獎金越高。

用數學一點的說法就是,當「不確定性(uncertainity)」越低,則獎金越高。

上個世紀,麻省理工學院的Claude Shannon教授使用了「-log p」來量化此不確定性,發展出「熵」(entropy),對應了樂透情境中的獎金期望值。

換句話說,我們可以用電腦計算每個單字作為起手式的「熵」是多少。熵最大的單字,就是最棒的開場。根據threeblueonebrown的計算,最好的起手式是crane。

它的意思是「起重機」,家裡如果有小朋友很愛工程車的應該就知道這個字。起重機做為開場,出乎意料地符合情境。第一次猜完後,根據答案。我們可以算出剩下來的可能單字中,誰的熵最高,再進行第二次猜測,依此類推。

這邊要特別說一下,許多人可能是第一次聽到「熵」,但它其實早就出現在你我的日常中,對我們有著巨大的影響。當年,Claude Shannon寫下幾行關於熵的數學式子,推導出在不同條件下,通信系統能夠傳遞幾位元的資料,成為後來幾十年無數通信工程師,發展各式各樣通信技術時的重要參考依據。現在我們能有這麼便利的無線通信技術,「熵」的概念與後續發展出的資訊理論(information theory)絕對是扮演了很重要的角色。

三次破關的天花板

熵不僅能幫我們找出每步該用哪組單字,它還能預測我們大概還需要幾步。同樣是threeblueonebrown的計算結果,Wordle這款遊戲有2315組可能的答案,一開始的不確定性大約是11.17。每次最好的選擇,也就是能消減的熵大約是5左右。

以開場crane來說,它的熵是5.74。

換句話說,如果你夠厲害,前兩次應該能把剩餘的不確定性壓在1-2之間,換算回去大概就是二到四組可能解。有機會在第三次或第四次猜中。

這也是為什麼大家玩到最後,平均能在四次左右搞定,運氣好一點可以三次。要發展出一個能平均在三次以內就破解的流程或演算法,基本上不太可能,因為數學告訴你「不行就是不行」。

最後,Wordle的重點當然是好玩跟放鬆,認真去算這麼多東西也太累了。不過,相信任何一位Wordle玩家也都很享受猜字過程中的腦力激盪,而我們想跟大家分享的重點是:

當你覺得在用直覺思考,判斷到底該下哪一個字的時候,其實整個思考過程能透過數學化,變得更精準、更有效。

就像數學家Jordan Ellenberg曾說過的——

「數學是擴充直覺的手段。」

本文經數感實驗室授權刊載,原文刊載於此

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責任編輯:潘柏翰
核稿編輯:翁世航


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隨著基礎建設的逐步完備,5G頓時成了推動各式產業向前躍進的大浪,即便各式場景都將因5G而進入下一章,但也考驗著當前掌舵手從技術到場域整合的實力,這艘船應該怎麼順著5G浪潮航行,更凸顯產業對「有能力駕馭5G場景應用」人才的渴求。

對此,經濟部工業局也超前部署,為解決未來5G產業人才缺口,推動「5G+產業新星揚帆啟航計畫」,藉由企業對市場敏銳的嗅覺進行出題,攜手學子的創新與創意,以產學合作的方式讓人才有機會搶先跨入實戰場域,不只是學以致用,更能為研究計畫或職涯規劃帶入全新觀點。

今年,有不少加入「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的實驗室與學生,透過計畫豐富的資源,在各自研究的領域上有了全新體驗。「5G+產業新星揚帆啟航計畫」經過密集聯繫了解後,找出三所各有特色的學校教授,作為本次訪談對象,其中包括:推動跨域人才的國立臺灣科技大學主任秘書暨電子工程系呂政修教授和科技管理所黃振皓助理教授;國立成功大學工程科學系綠能元件實驗室張御琦教授;以及專攻天線應用領域的國立高雄科技大學電訊工程系所天線及微波工程實驗室陸瑞漢教授。

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從推薦學生加入「5G+產業新星揚帆啟航計畫」後,教授們觀察到學生有什麼樣的改變?以及如何以傳道授業解惑的角度帶領同學成長?以下是本次《關鍵評論網》直擊各實驗室教授們對於5G全新世代的見解,也帶大家了解產官學如何方向一致的航行在5G大浪上,發現市場與需求的新契機。

鼓勵學生參與計畫,發揮創意接招產業出題挑戰

Q1:您對於經濟部工業局推動「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的看法及觀察為何?

國立臺灣科技大學(以下簡稱臺科大)呂政修教授:這就像「試婚」過程。產業始終在面臨人才荒,若能藉由產學合作會是個好的開始,透過企業出題,尋求學界支援,讓業界培養未來所需人才,同時學生也能在步入職場前了解市場上正面對的挑戰及自我欠缺的技能,加速未來5G產業的落地應用,特別是也有機會培育出跨域人才,讓5G發展更加多元。

國立成功大學(以下簡稱成大)張御琦教授:我認為這是一個很棒的計畫。我們的學生在台郡科技股份有限公司業師的帶領下,發揮自己課堂所學,捲起袖子動手解決產業提出的挑戰,對技術落地、成本考量以及跨部門溝通都有大幅度進步,這是課本無法提供的寶貴經驗,並且產學合作的計畫中,讓學生能更快了解他們的所學究竟在解決未來5G產業的哪些問題,相當有意義。

國立高雄科技大學(以下簡稱高科大)陸瑞漢教授:就我觀察,這樣的計畫能發揮兩個不同價值,其一是率先掌握產業需要的技術研發、其二則是培育產業人才庫。我一直很鼓勵學生在能力可及下多參與這樣的計畫,目的是希望藉由產業合作過程中,減少產學之間的落差,特別是5G產業發展日新月異,需要更有韌性的學習態度才能因應未來各種挑戰。

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左起為:獵戶科技股份有限公司柯承佑執行長、國立臺灣科技大學主任秘書暨電子工程系呂政修教授、國立臺灣科技大學科技管理所黃振皓助理教授。

Q2:「5G+產業新星揚帆啟航計畫」對未來產業將帶來哪些潛在的影響?

臺科大呂政修教授:5G產業的應用已不再是單一領域,需要集結跨域人才一同找出解方。當獵戶科技股份有限公司願意任用非本科系的研習生時,我想就已成功一半。因為產業需要整合有技術、創意與場域應用等各式人才,透過計畫讓學生能學到跨域知識,同時創造彼此的溝通機會,對未來推動5G產業發展將能激盪出更有創意的火花。

成大張御琦教授:產學合作是串起業界跟學界的橋樑。學生目前所面臨到的產業題目,多半都還是跟製程有關,但當全球都在倡議淨零碳排的此刻,實驗室所賦予他們的能力或許在不久的將來有機會導入到產業中,可以說在計畫的推動下,開始讓學生學習多元思考,從不同角度看問題,就能為產業未來的發展注入一股創意活水,創造產業與學界互利、共創價值的生態。

高科大陸瑞漢教授:我們所投入的產業比較專一,就是以天線技術為本位,相比其他應用領域可能需要的跨域人才,這塊所追求的反而是,在本職學能上的實際場域該如何落地應用。因此,在計畫的推動下,我相信能讓學生們更早了解在整個5G產業鏈中,筆電、移動裝置、電動車等不同應用上,天線的設計該如何發揮最佳效益,以求為產業未來發展取得最佳利基點。

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國立高雄科技大學電訊工程系所天線及微波工程實驗室陸瑞漢教授,分享產業與學界應如何互助合作,開創更多產業發展新機會。

企業靠計畫超前部署,培育5G場域人才應戰

Q3:您認為「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的產學合作能如何紓解求才若渴的現象?

臺科大呂政修教授:我們希望能「以戰養才」,而這項計畫相比單點式的競賽而言,更具全面性及前瞻性。透過企業出題讓學生能將實驗室及課堂所學與實務結合,在了解產業問題之前也能洞察自己本職學能的不足,進而誘發學生主動求知的慾望,想必對未來5G產業的人才培育上將有長足的助益。

成大張御琦教授:我們有不少博士生加入這項計畫。過去社會整體氛圍一直對博士生有偏見、認為他們多以學術研究為主要任務,在實務經驗上相對缺乏,但我認為博士生的技術養成是條漫漫長路,同時也為培育未來人才帶來機會:產業能善用博士生的獨立思考和解決問題的能力訓練他們在本職學能上的深化,同時在實驗室研究計畫的時間管理上,也能發揮統御能力,例如掌握好碩士班學弟妹的研究進度,為未來成為管理職做準備,透過計畫是博士生領導力培養的最佳練兵場。

高科大陸瑞漢教授:我們已經與川升股份有限公司簽訂MOU,可以見得產業相當積極希望透過產學合作育才、留才。我也告訴實驗室的學生們,市場上不只有一個護國神山,其實還有許多領域值得去關注,並發揮解決問題的能力,所以我不認為市場上真的存在人才荒,反倒是企業應挹注資源與學界合作,儘早培育產業需要的人才技能;而學生也該透過這樣的訓練,找出自己的興趣,提早對未來職涯作出規劃,深度挖掘自己的潛能。

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Photo Credit:TNL Brand Studio
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Q4:您如何看待「5G+產業新星揚帆啟航計畫」中,教授與學生其角色扮演的重要性?

臺科大黃振皓教授:學生比我們都還要積極爭取這項計畫的實習機會。對我們來說,學生在其中得到的不只是與業界溝通的能力,也能將經驗帶入研究計畫,並傳承給學弟妹為學習帶來更正向的影響;而作為教授,則是盡量讓學生自由發揮,確保學生在加入計畫後能獲得有系統的訓練,而這項計畫也確實為學生規劃了非常紮實的內容,這也是為什麼我會支持學生持續參與。

成大張御琦教授:技職體系的學生有比較多銜接產業的技能,我認為高教體系的教授應該要站在「鼓勵」的角度出發,讓學生能多參與這類讓學生可近距離接觸產業的計畫,提早培養跨域的技能與接觸相關環境,唯有教授願意放手讓學生嘗試,學生才會在求學過程中找出自己的興趣並學以致用,5G產業的多元性也才能遍地開花。

高科大陸瑞漢教授:身為教授非常贊成學生投入產學合作,但我認為參與計畫不應因噎廢食,反而要懂得學習時間分配,實驗室的計畫、論文的研究及實習的案子,都能帶來不同的學習與腦力激盪,不只是本職學能更是職場態度的磨練,每個角色對學生都充滿挑戰,能為實驗室裡注入活力,學生更應該要感激政府這類的人才培育計畫帶來的學習機會。

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國立成功大學工程科學系綠能元件實驗室張御琦教授與參與「5G+產業新星揚帆啟航計畫」的實驗室學生。

計畫持續進行,助5G產業揚帆升級

面對學生加入這項「5G+產業新星揚帆啟航計畫」,教授們不約而同地認為從個人到實驗室,學生們都像是脫胎換骨般帶來了全新活力,對於知識的渴求也比過往更加積極,並且讓學弟妹們看見參與計畫帶來的前後改變。正因5G列車已經開始啟動,臺灣作為全球產業鏈中的要角,接棒人才更應持續強化技術量能保有即戰力、並更接地氣,而透過未見歇止的計畫推動,在這個趨勢浪潮上縱使產業發展仍充滿挑戰,但能攜手產官學各方力量,在不同場域中持續磨刀練兵,依舊能為下個新世代在5G產業裡找到自己發揮的舞台與新天地。

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