萬維鋼《高手相對論》：為什麼去黑洞一趟，回來發現別人都比你老得快？詳解「孿生子弔詭」

文：萬維鋼

詳解孿生子弔詭

我們專門用一章把「孿生子弔詭」（twin paradox）徹底解釋清楚，這些內容不影響你理解相對論的大局。我們不會用到什麼特別的數學，但是推導過程有些「燒腦」，需要調用比較多的短期記憶力，所以這篇文章專門獻給愛鑽研的讀者。

有些民間科學家認為孿生子弔詭說明相對論是錯的，有人認為必須學會廣義相對論才能理解孿生子弔詭，還有人用到「閔考斯基時空」裡的「世界線」來解釋孿生子弔詭。

其實孿生子弔詭一點都不神祕，它在相對論的教科書裡是常規專案。我在這裡用一個最直觀的解釋幫助你理解。我們將會看到孿生子弔詭的確會涉及一點廣義相對論，但是它本質上是個狹義相對論的效應。

基礎準備

先做一點準備，我們要用到相對論的三個效應。

第一，運動物體的時間會變慢。

第二，運動物體的長度會收縮。

第三，「同時」是相對的。

除此之外，我還想再次強調「事件」這個概念。所謂事件，就是在特定的時間和地點發生的事情，它是一個非常當地語系化的東西。

比如，我們面對面在一個地方相聚，這是一個事件。事件是實實在在發生的，它是絕對的，不是相對的。哪怕我們是高速擦肩而過，只要在某個時刻，我們曾經非常靠近，可以迅速打個照面，就構成了一個事件。

在這個事件中，你看我是幾歲或我看你是幾歲，都是清清楚楚的。不管是誰，在哪個座標系裡看這個事件裡的你我，誰年輕、誰年老都是一目了然，沒有任何異議。

但是，如果在這個相聚事件中，你說你有一個兄弟在五光年以外的一個星球上工作，並告訴我他現在的年齡，那我可就不一定認同你的觀點了。我與你構成一個事件，因為你就在我身邊。但我與你的兄弟，可不算構成事件。

如果你說你的兄弟今年三十歲，那是在你的座標系中的看法。如果我與你之間存在相對運動，也許在我的眼裡，他現在就不是三十歲——因為你的「現在」不等於我的「現在」。「現在」是個幻覺，「同時」是相對的。

有了這些理論準備，我們就可以仔細考察孿生子弔詭了。

為了將這件事徹底講明白，我們假定有兄妹三人，他們是三胞胎。妹妹一直待在地球上。哥哥坐著太空船從地球出發前往A星球，再從A星球回到地球。姐姐則一直待在A星球。

假設地球和A星球之間沒有相對運動，也就是說，A星球對地球來說只不過是個比較遠的地方而已。那麼，我們就可以建立一個讓地球和A星球都靜止的座標系，顯然在這個座標系中，妹妹和姐姐也是靜止的——她們可以在這個座標系裡「同時」成長，她們的年齡總是一樣。

我們再假設在相對於妹妹靜止的座標系中，地球到A星球的距離是二十光年，哥哥的太空船速度是○．八光速。為了盡可能地去除廣義相對論效應，我們假設哥哥一直保持高速，加速和減速都不需要花時間。

有了前述的限定條件，現在我們定義三個事件。

事件一：哥哥和妹妹在地球告別。

事件二：哥哥到達A星球和姐姐見面。

事件三：哥哥回到地球和妹妹見面。

如果孿生子弔詭沒錯，相對論沒問題，那麼這三個事件當事人的年齡，就應該與兄妹二人所在的座標系無關。

現在我們就思考一下，在兩個座標系中，三個事件發生時當事人的年齡。

妹妹的座標系

在妹妹的座標系中，她和姐姐是靜止不動的，哥哥在做運動。地球到A星球的距離是二十光年，哥哥的速度是○．八光速。

事件一發生的時候，哥哥和妹妹在一起，而姐姐和妹妹在同一個座標系裡互相靜止，所以兄妹三人的年齡是一樣的，為求簡單起見，我們乾脆假設這時候他們都是零歲。

Photo Credit: 遠流出版

在妹妹看來，哥哥要飛行二十五年才能到達A星球。所以事件二發生的時候，妹妹和姐姐應該都是二十五歲。但是因為哥哥在高速運動，他相對於妹妹的座標系有個時間變慢的效應，所以哥哥這時候應該只有十五歲。

Photo Credit: 遠流出版

所以哥哥和姐姐一見面，就已經比姐姐年輕了十歲！你可能會問：為什麼是哥哥比姐姐年輕？難道相對於哥哥，姐姐不也在做高速運動嗎？這個問題我們後續會提到，因為那是哥哥的座標系裡的事情。

等到事件三，在妹妹的座標系下，哥哥又要飛二十五年才能回到地球，這時候妹妹已經五十歲了。而因為哥哥是高速運動，他又有時間變慢的效應，他飛行這段距離還是只用了十五年。哥哥這時候是三十歲。

哥哥飛了一圈，妹妹原地不動，結果哥哥比妹妹年輕了二十歲。

人們對孿生子弔詭的全部質疑，就是在哥哥不動的座標系裡，妹妹不也相當於飛了一圈嗎？為什麼不是妹妹更年輕呢？

哥哥的座標系

在相對於哥哥靜止的座標系中，是指哥哥的太空船靜止不動，妹妹和從地球到A星球的這段距離在以○．八光速的速度運動。既然這段距離在運動，它就有相對論長度收縮的效應，所以在哥哥的眼中，地球到A星球的距離不是二十光年，而是十二光年。

Photo Credit: 遠流出版

事件一發生的時候，哥哥和妹妹在一起，他們都是零歲。但是在哥哥的座標系中，遠在A星球的姐姐可不是零歲。

這是因為「同時」是相對的！在妹妹的座標系中，妹妹和姐姐是同時長大的，但是在哥哥的座標系中，姐姐會比妹妹先長大！在哥哥眼中，在發生事件一的時候，姐姐不是零歲，而是十六歲。

從事件一到事件二，哥哥看到的是十二光年的距離以○．八光速的速度運動，應該用上十五年。所以事件二發生的時候，哥哥是十五歲。

Photo Credit: 遠流出版