新課綱首次學測數學爆難，怎麼出題才適中？點評高中數學教學與111年數學學測

文：張鎮華（台灣大學數學系名譽教授）

111年學測於今（2022）年元月下旬登場，這是108課綱實施之後的第一次學測，各界都引頸觀望大考中心會如何回應108課綱，這更是教學現場師生關注的焦點。在數學科有兩個為人重視的方向，其一是回應數學自高二起分流教學，數學A和數學B如何命題；其二是學測數學科考題近年來在難易間來回擺盪，今年會是如何。

學測宜回歸「初步篩選門檻」的定位

學測始於民國83年，其定位是「初步篩選門檻」。但是數學科的考題並沒有對位，一直到民國100年之前，試題普遍都較難，滿級分人數占考生的百分比幾乎各年都只比1％略多，民國85年的0.16％更是歷年來滿級分比例最低的一次。這樣的難題，引發大部分學生害怕數學，現場老師更無法正常教學。自民國100年起，數學科考題逐漸回歸基礎，但卻在難易之間來回擺盪，讓師生每年惴惴不安。

民國108、109年的學測數學科試題極為適當，但卻因為滿級分考生的百分比高而獲罪，讓人無法理解；隔年數學科考題轉難，這雖在大家預料之內，但是各界熱切期望其回歸基本。本來期盼分程度測驗的數學A和數學B能解此困境，但是在今年數學A考完當晚，許多國高中老師、大學教授紛紛發表評論，對考題表示失望與不解。

筆者因為要協助高中數學學科中心，拍攝數學A和數學B的解答影片，先獨自逐題解答了兩份試卷，感覺題目其實都出得很好，大致上回應了108數學課綱的精神。但是其份量太重，100分鐘的考試時間並不是合理的安排，難怪各界覺得太難；就連數學B試卷，其對象是低數學需求的學生，筆者也認為份量太重。

我猜想，數學A的份量會如此重，可能是想與數學B有所區隔。但是兩份試卷內容都太重了，學測還是應該回歸「初步篩選門檻」的定位，以利現場教學。

數學的教與學宜重視基礎概念，避免依考試題型學習

面對大考，數學的教與學也應該反思。數學的知識密度高，比起其他學科，有更多的邏輯推理，解題更宜細緻緩慢，需要充分的時間。可惜的是，面對「科科等值」的壓力，數學科的考試時間只能和各科一樣。在這樣的限制下，如果數學考題份量適當，也無不可；偏偏各處的考題大多偏難，學生的學習遂常以對付考試為方向，以歷年考試題型為依據，背公式以求速解，忽略基礎概念的學習。

在引導學生的學習應注重基礎概念這件事情，大考中心歷年來極盡努力。以今年數學A第1題為例，早年有關排列組合的學習內容極多，許多內容都是被「製造」出來的考試難題，不關乎組合學的根本。後來99課綱刪除了環狀排列，108課綱則刪除重複組合，將內容回歸到基礎概念。審視大考中心這些年來有關排列組合的試題，其實都是基本的概念，高中師生應該要理解，重視基礎概念才是王道。

再以今年數學A第4題為例，涉及的只有等差數列的定義，以及對數的換底公式和常用對數的3條對數律。早年有關對數的教學，涉及極多一般底的變形對數律公式，也出現底為函數的偏鋒考題，於對數本質的學習幫忙不大，但學生卻窮於背公式、解難題。

其實對數相關的問題，只要以換底公式回歸常用對數，必要時再輔以常用對數的3條對數律，均能順利回答。99及108數學課綱均重視此理念，大考中心的試題亦都契合此想法，高中師生當可放心依此教與學。

今年學測數學A還有許多值得稱道的題目。例如第7題中，絕對值代表數線上兩點間的距離，若能搭配數線上的圖形判斷，並不需要進行去絕對值的耗時計算；第10題有關三次函數的性質，不必記憶對稱中心的公式，不淪為費時的三次配方，是相當用心的題目；第12題揭示，不必背誦一元二次方程式的公式解；第6、15題提醒，不能忘記國中所學的基礎平面幾何知識，凡此種種都很精采。

更多有關今年數學A考題的分析，可參考《高中數學學科中心電子報》文章。

計算機融入教學與評量

108數學課綱除了從高二起分三軌教學以外，還有一個重點，就是計算機融入教學與評量。108數學課綱高中範圍的84條學習內容中，有24條使用計算機作為參考教具。實施要點各處亦闡明，教材要設計計算機相關內容，教學應重視學生使用計算機的方法與態度，教學資源應包括計算機，學習評量宜容許學生使用計算機。

如今，6家出版社的高中數學教科書，均依照課綱的精神將計算機教學融入，學校老師們也開始教導學生正確使用計算機的方法與態度，許多回應都指出，計算機融入教學收到不錯的成效，過去一些害怕數學的學生，因為有了工具，逐漸開始喜歡數學。

只是令人不解的是，大考中心並不允許學生在學測考試時使用計算機，理由之一是害怕學生利用計算機作弊；這是一個不可思議的藉口，請看世界極多國家的考試都已經允許學生使用計算機，並沒發生什麼不良事件。

審視今年學測數學科考題可以發現，為了害怕被批評不能使用計算機，一些需要使用真實數據的應用題目都不見了，因此考題中缺少高二的一些重要學習內容，例如指數、對數、三角函數的應用問題。取而代之的竟然是設計了第2題那種虛假情境的問題，如下：

某品牌計算機在計算對數log_a b時需按

……。

這種考題在以前的題目鋪陳上，是以題目抄錯順序為情境，這次刻意以計算機的操作布題，實為假情境。市售計算機的對數計算皆以10或自然對數e為底，並沒任意底數操作的方式，與現實矛盾的情境，無法回應108數學課綱的理念，倒不如讓學生在考試時使用計算機，才能讓他們更有感。

另外，數學B第15題的答案：機率為14/15，以及第16題的答案：機率為31/45，都不如0.93、0.69能讓人感受機率的大小。讀者可試想，你會跟朋友說買了一間√（2022）坪的房子嗎？當然要說44.97坪才讓人有感。培養「數感」是計算機融入教學的一個重要理念。另外，第19題需要學生動手計算2.3/48、2.3/19、4/57來做答，也不是高中數學學習的重點，應該允許他們用計算機算。