從品客洋芋片到教堂屋頂都愛用,自然界找不到的「雙曲拋物面」究竟有什麼魅力?

從品客洋芋片到教堂屋頂都愛用,自然界找不到的「雙曲拋物面」究竟有什麼魅力?

我們想讓你知道的是

和洋芋片需要抗壓的需求不同,以雙曲拋物面作為屋頂造型的原因,主要是因為其容易建造且不需額外的支撐,畢竟屋頂只需要防止塌陷,而不用擔心會被人從兩側捏碎。

文:陳志偉(中山大學應用數學系助理教授)

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Take Home Message

  • 品客洋芋片的特殊造型稱為「雙曲拋物面」,它是一種對外在壓力具有較高承受度的曲面,無論從哪一側擠壓,都比較不容易破碎。
  • 直紋曲面是由一條直線在空間中連續變動所掃出的曲面,如果曲面由兩條不同的直線各自連續變動而掃出,就會被稱為雙直紋曲面。而雙曲拋物面上任一點都有兩條直線通過,幾何學家就稱這類曲面為「雙直紋曲面」,雙曲拋物面、平面、單葉雙曲面都是一種雙直紋曲面。
  • 雙曲拋物面是一種簡單、容易建造的建築屋頂造型。優點是由材料重量所產生的力,可以由向上彎曲部分所產生的張力來拉住,不用在下方設置許多樑柱來支撐屋頂,而屋頂的重量也不像圓頂會對整個外牆都產生外推的力。
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你有沒有過「花錢買空氣」的經驗呢?先別急著否認,其實我們每個人或多或少都曾做過這件事,那就是——買洋芋片。每當我們興沖沖地買了洋芋片回家,打開包裝卻發現裡面的份量只有三分之一後,那種失落感想必是大家的共同回憶之一。但消費者真的只是花錢買空氣的冤大頭嗎?其實洋芋片包裝裡的大量氮氣,除了可以防止洋芋片氧化之外,還有防止洋芋片碰撞後碎裂的功能。

不知道大家腦中有沒有想到另一種洋芋片,它被裝在圓柱形的筒子裡,形狀長得很特別——沒錯,就是品客(Pringles)洋芋片。但其實根據其原製造公司寶僑(Procter & Gamble, P&G)的說法,品客的馬鈴薯含量不到50%,而且具有「自然界找不到的特殊形狀」,只能算是加工後的脆片或餅乾,和一般由馬鈴薯切成薄片油炸而成的洋芋片不同。

寶僑之所以希望品客被歸類為餅乾,並不是出自於他們對食物分類的職人堅持,而是希望這些洋芋片被賣到英國時,能夠免徵高達17.5%的洋芋片加值稅。

特殊「雙曲拋物面」,解決洋芋片易碎的問題

暫且不談稅金的問題,寶僑所謂「自然界找不到的特殊形狀」是什麼意思呢?品客洋芋片每一片的形狀都一模一樣,像是一個圓盤的東西兩端向上翹,南北兩端則向下凹(圖一),看起來蠻美觀的,不過這種形狀有什麼特殊之處嗎?

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Photo Credit: Shutterstock / 達志影像
圖一:品客洋芋片的形狀被寶僑形容為「自然界找不到的特殊形狀」,它像是一個圓盤的東西兩端向上翹,南北兩端則向下凹,這種造型有什麼特別之處?

這就得從1950年代說起。當時寶僑為了洋芋片易碎的問題傷透腦筋,他們找了美國有機化學家與食品儲存科學家包爾(Fredric John Baur)來解決這個問題。包爾想了兩個方法,一個是從洋芋片的形狀下手,另外則是設計堅固的包裝。由於包爾對油炸用油也很有研究,他認為把洋芋片炸成「雙曲拋物面」(hyperbolic paraboloid)的形狀可以讓洋芋片不易碎裂,而他也重新設計了圓筒型的包裝材料,進一步確保洋芋片受到撞擊時可分散衝擊力。

包爾的這兩個設計持續到今日,一直是品客的招牌特色呢!而寶僑為了把洋芋片做成雙曲拋物面的形狀並順利裝筒,更聘請了好幾位專家來設計各個環節,包括將馬鈴薯切成細粉、加料、重新塑形成圓盤狀、擺好油炸、最後疊好。因為這樣的設計,品客便不再是單純的洋芋片,而是調味過的「馬鈴薯脆片」囉。

不過寶僑這樣大費周章,就只是為了把洋芋片弄成雙曲拋物面的形狀嗎?沒錯,當其他洋芋片都是「花錢買空氣」時,品客卻因為其特殊的幾何設計而能塞滿整罐,還被戲稱為最有良心、最實在的洋芋片呢。

為什麼雙曲拋物面能承受較大的壓力?

這個特別的「雙曲拋物面」究竟有什麼特點,為什麼包爾會選擇將洋芋片設計成這個造型呢?雙曲拋物面的標準方程式為:

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它與三維空間中的xz平面相交於一條開口朝下的拋物線,與yz平面相交於一條開口朝上的拋物線,而若是拿一個水平的平面來切這個雙曲拋物面,則會截出一條雙曲線或兩條相交於原點的直線(圖二b的綠色虛線),因此它才被稱為雙曲拋物面。

雙曲拋物面是一種對外在壓力具有較高承受度的曲面,例如我們常見的單側彎曲面(圓柱面的一部分)在左右兩側的擠壓下,很容易會沿著中心線裂開(圖二a);而雙曲拋物面無論從哪一側擠壓,都比較不容易破碎。

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Photo Credit: 科學月刊
圖二:雙曲拋物面對壓力的承受能力較高

假設將雙曲拋物面從東西兩側最低處往內擠壓時,南北方向向上翹的造型會提供額外的支撐力;若是從東南方和西北方擠壓時,在圖二b所畫較長的綠色虛線也會阻止曲面破裂。因此不管從那個方向擠壓,雙曲拋物面都不像單側彎曲面那麼容易碎裂。

圖二中的兩條綠色虛線,使得雙曲拋物線更堅固。而事實上,雙曲拋物面上任一點都有兩條直線通過,幾何學家稱這類曲面為「雙直紋曲面」(doubly ruled surface)。直紋曲面(ruled surface,圖三)是指由一條直線在空間中連續變動所掃出的曲面,如果曲面可以由兩條不同的直線各自連續變動而掃出,就會被稱為雙直紋曲面。除了雙曲拋物面之外,平面(plane)和單葉雙曲面(one-sheeted hyperboloid)也都是雙直紋曲面。

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Photo Credit: 科學月刊
圖三:(a)直紋曲面是指由一條直線在空間中連續變動所掃出的曲面,如果曲面可以由兩條不同的直線各自連續變動而掃出,就會被稱為雙直紋曲面;圖(b)為雙曲拋物面應用於兒童遊樂器材上的實例,圖中的遊樂設施位於高雄市新興國小。(AndrewHarvey4, Public Domain, Wikimedia Commons;作者拍攝)

只要利用直線型材料就可以建構出直紋曲面,例如廣州電視觀光塔知名的西班牙建築大師高第(Antoni Gaudí)就運用單葉雙曲面來設計聖家堂(Sagrada Família)的天頂造型(圖四);而中國第二高塔——廣州電視觀光塔(圖五),本身就是一個巨大的單葉雙曲面。

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由 SBA73 from Sabadell, Catalunya - Tot conflueix / All's conected, CC BY-SA 2.0
圖四:西班牙聖家堂(Sagrada Família)從下往上仰望中殿的屋頂景觀。聖家堂大廳屋頂有許多特殊造型,是高第以單葉雙曲面設計而成。
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由 Zhangzhugang - 自己的作品, CC BY-SA 3.0
圖五:位於中國廣州市的中國第二高塔「廣州電視觀光塔」,其建築本身就是一個巨大的單葉雙曲面。

應用於各式建築中的雙曲拋物面設計

每一種直紋曲面的力學特性都不同,例如平面狀的物體容易折成兩半,因此某些品牌的洋芋片會以另一種直紋曲面「波浪面」,增加洋芋片的結構強度。

波浪狀或圓弧狀的設計可以協助曲面分散壓力,例如在中世紀前期,火砲引入歐洲之後,許多城牆也都加入圓柱形的設計,不再是一面平直的牆壁,這正是為了利用「圓弧」來分散砲彈的衝擊力。而許多拱門、大教堂的圓頂,以及巨蛋體育館的屋頂也是類似的原理,利用弧狀的結構將屋頂的重量分散到周圍支撐的柱子或牆壁上。

然而大教堂的圓頂不易施作,且單純的球形屋頂會對下方壁面產生往外的推力,因此需要用其他結構來提供額外的支撐。單就這兩點來說,若要設計屋頂的話,採用雙曲拋物面是比圓頂更好的設計。以設計混凝土曲面建築聞名的西班牙與墨西哥建築師坎德拉(Felix Candela)曾說過:「各種可能的薄殼結構中,最簡單且最實際可造的就是雙曲拋物面。」只要使用條狀的建材就能建構出雙曲拋物面。