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無所不在的π:難以想像的用處,在沒有圓的地方也出現了圓周率?

無所不在的π:難以想像的用處,在沒有圓的地方也出現了圓周率?
Photo Credit: Shutterstock / 達志影像

我們想讓你知道的是

測量一個圓的周長,然後除以它的直徑,無論是什麼大小的圓,這個比值永遠都是一樣的。這個常數比值就叫做pi,用希臘字周長的第一個字母記為π,這是1706 年由數學家瓊斯(William Jones)提出的。關於圓周率,我們要研究的有兩件事情:圓的周長和直徑的比值為什麼都一樣?第二,要如何決定π的準確值?

文:張鎮華(台灣大學數學系名譽教授)

Take Home Message

  • 圓形普遍存在於我們的生活周遭,從月亮、馬克杯、車輪、果實等皆是,只要計算這些圓的周長與半徑的比值,永遠會得到同樣的數值π。
  • 自古以來,有許多學者採取不同方法來得到更精確的π值,阿基米德利用幾何方法,近代人則採用無窮級數,現代更透過雲端服務達到前所未有的精確度。
  • 看似與圓周率無關的事物,也能夠計算出圓周率。例如法國博物學家布豐的投針實驗,進一步推動了數學機率論的發展。

去(2022)年9月14日,一名日本網友在Twitter分享他買了一本很瘋狂的書,名為《圓周率100萬位數表》(円周率1,000,000桁表),整本書只有圓周率(π)小數點後的數字。書本的售價同樣是「很圓周率」的314日圓(約新臺幣69元)。

這本書的作者牧野貴樹就讀大學時非常痴迷圓周率,不但自己寫程式計算圓周率,甚至後來決定把數據列印成書,1996年委託「暗黑通信團」出版,首刷30本。沒想到,這本書在日本的漫畫二創展覽會上廣受好評,於是他決定二刷300本,並在市區書店上架販賣。

牧野表示當初只是抱著好玩的心態,心想庫存賣光後就不再印刷,但意外的是顧客及書局的訂單不斷上門,需求量大到讓他決定重新印刷。這本書一賣就是25年,從「第3.14 刷」(3刷)、「第3.141刷」、「第3.1415刷」,到去年3月的「第3.141592653589刷」(15刷),截至去年5月底,已經賣出3萬8172本。

圍繞在生活周遭的圓

宋詞「但願人長久,千里共嬋娟」。抬頭仰望天空,月亮在滿月時總是圓的,這是為什麼?古人早就由這個現象推斷月亮是一個球體,不論從哪一個方向看過去,它都是圓的,不會「橫看成嶺側成峯,遠近高低各不同」。

自然界中充滿圓的形狀,像是星球、彩虹、樹幹、果實、珍珠等;日常的食衣住行育樂也常見圓形,如圓盤、馬克杯、圓領、手鐲、圓拱、車輪、籃球、摩天輪等。人類研究圓,也就成為一個自然的問題。

測量一個圓的周長,然後除以它的直徑,無論是什麼大小的圓,這個比值永遠都是一樣的。這個常數比值就叫做pi,用希臘字周長的第一個字母記為π,這是1706年由數學家瓊斯(William Jones)提出的。它的值滿足:

3 <π< 22/7

關於圓周率,我們要研究的有兩件事情:第一,不管圓是小如硬幣、或者大如車輪,它的周長和直徑的比值為什麼都一樣?第二,要如何決定π的準確值?

π出現在許多圓形的物體裡,舉例來說,一個半徑為r的圓盤,它的周長是2πr,面積是πr2。在空間中上下移動圓盤,可以掃出一個直圓柱,它的體積和表面積涉及π;旋轉一個直角三角形掃出一個直圓錐,它的體積和表面積一樣涉及π;旋轉一個半圓盤掃出一個球體,它的體積和表面積也涉及π;如果觀察甜甜圈狀的環面,它的表面積是4π2Rr,而體積是2π2Rr2;一顆行星繞太陽一周所花的時間為:

未命名

更驚人的是,π發生在一些和圓不相關的地方。舉例來說,在玩彈珠檯時,球會隨機掉落在下方的洞,其機率分配函數中呈現一個鐘型曲線,稱為高斯曲線(Gaussian curve,y=ae-(x-b)²/2c²),有些老師用高斯曲線給學生打分數;微積分課堂的學生,計算出曲線y=e-x² 下的面積為√π;電子工程師發現交流電與收音機及電視的輻射之間的相關公式也涉及π。綜合來說,在生活周遭你都會遇到π。

圓周長和直徑的比值是常數

在發明輪子之前,人們就已經發現圓是一個強而有力的符號,它有無限的對稱性,這在月亮或花朵的形狀上都可以發現。為了建造圓形寨子或圓形寺廟,人們需要估計繞一圈的長度和橫跨距離之間的關係。

早期文明時人們就已經了解,所有圓周長和直徑的比值都一樣,經過小心的測量,他們發現這個比值略大於3。《聖經》有π的估計,用的值是3。

巴比倫人用的值是3.125。埃及人用的值略微不同,是256 除以81,大約是3.16。

雖然人們知道所有圓周長和直徑的比值都一樣,但直到希臘人才首先解釋,為何圓會有這種類似線型圖形的性質:若將兩個圓看成相似形,直徑和周長都看成「邊」,則對應「邊」長的比值一樣。

這可如此說明:將圓的直徑放大c倍,得到另一個圓,則它的內接正n邊形周長同樣放大c倍由於邊數變大時,圓內接正多邊形周長趨近於圓周長,所以圓周長也放大c 倍。歸結到對於所有圓,圓周和直徑的比值都是一樣的,現在我們常用π表示。因此如果圓的半徑是r,它的周長就是2πr。利用圓的內接正n邊的面積趨近於圓面積可以類似地說明,圓面積除以半徑的平方也是一個常數,這一個比值是自然界的另一個基本常數。

希臘時期數學家阿基米德(Archimedes)有一個令人吃驚的發現,這個新的常數其實就是我們的老朋友π。也就是說,半徑是r的圓,它的面積是r2π。這個公式在不同文明中,一再被重複發現。

一種常見的說法是:將圓盤等分成偶數片,把其中半數排列成齒狀,另一半插入齒間的空隙中,形成一個幾乎是平行四邊形的形狀(圖一),但是面積和原來的圓一樣。當等分的片數越來越多,這個形狀越來越接近一個高為半徑、底為半周長的長方形,面積慢慢變成πr•r=r2π。

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Photo Credit: 科學月刊

另一種解釋的方法則是:將圓盤分成一些等寬的同心環,然後將每一個環拉成一個約和它等面積的長方形,最長的長方形的長是2πr。它們疊成一個鋸齒狀,上短下長的「類直角三角形」(圖二)。當等分的環數愈來愈多,這個形狀愈來愈接近高為半徑、底為周長的直角三角形,面積也就慢慢變成:

未命名
637_π_圖2
Photo Credit: 科學月刊

沒有圓的圓周率

圓周率還有一些難以想像的用處,在沒有圓的地方也出現了圓周率。