難倒物理學家的「三體問題」，其實與韋伯望遠鏡的觀測點有關？

文：歐柏昇（台大物理系、中研院天文所博士生，全國大學天文社聯盟名譽理事長）

2021年12月，詹姆斯．韋伯太空望遠鏡（James Webb Space Telescope，簡稱韋伯望遠鏡）發射升空。七個月後，美國國家航空暨太空總署（National Aeronautics and Space Administration, NASA）也陸續公布韋伯望遠鏡拍攝到的精彩天文影像，為人類開啟探索宇宙深處的新時代。

不過，只要談到韋伯望遠鏡與它的發射軌道，就經常會提及一個感覺有點難懂的名詞：拉格朗日點（Lagrange point）。到底什麼是拉格朗日點？韋伯望遠鏡又為什麼要放在日地系統的第二拉格朗日點（L2）呢？

在詳細解說之前，先給讀者一句簡短的答案：太陽與地球始終保持在L2的同一方向，因此韋伯望遠鏡可以運用遮罩一併阻擋來自這兩天體的干擾。請讀者們先把這句話放在心上，接著我們要從數百年前的牛頓開始說起。

什麼是拉格朗日點？

中國科幻作家劉慈欣著名的科幻小說《三體》，書名源於物理學上的重大難題⸺三體問題（three-body problem）。從牛頓（Isaac Newton）提出萬有引力定律以來，這項難題困擾了數百年間的眾多天才。

牛頓提出的萬有引力定律非常簡潔，一條簡單的公式即可算出物體之間的重力。兩個可視為質點的天體彼此因重力作用而相互影響的情況，屬於較單純的「二體問題」，因此要預測它們的運動軌跡並不困難。牛頓在1687年出版的書籍《自然哲學的數學原理》（The Mathematical Principles of Natural Philosophy），早已完整解出二體運動軌道的數學形式。兩個質點受彼此重力而互繞，則運行軌道會是圓錐曲線，例如地球繞行太陽的橢圓軌道。

然而，系統中一旦加入第三個物體，成為「三體問題」，情況就會變得極其複雜，且軌跡通常非常混亂。三體問題在數學上大多不存在解析解（analytical solution）（註），也就是無法找到準確描述該軌道的數學公式，只能靠著電腦一步步推算才能得知下一步的狀態。

1890 年，法國數學家龐加萊（Henri Poincaré）指出，三體運動會出現混沌（chaos）現象⸺由於三體運動的軌跡非常紊亂，只要給予細微的變化就可能導致截然不同的後果，所以我們無法精準預測三體的長期運動軌跡。這種情況就如同極為複雜的大氣現象，氣象預報雖能告訴我們明、後天的天氣，但卻無法精準預測更久以後的狀態。

雖然三體問題沒辦法算出普遍的解析解（analytical solution），不過有些天才數學家卻找到在特殊條件下的解。18世紀數學家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在計算限制性三體問題（restricted three-body problem）時，把第三個物體視作沒有質量的點，加在二體運動的系統（例如太陽與地球互繞的系統）當中。試著將問題簡化後，是否便存在可算出軌跡的特殊解呢？

圖片來源：NASA, STScI

拉格朗日在計算後發現，這個系統中總共有五個點可以使第三個物體處在力平衡狀態（分別稱為L1至L5，圖一）。在這五個位置上，該物體所受到太陽與地球的重力總和，剛好等於它隨地球公轉所需的向心力。換句話說，在這五個拉格朗日點時，太陽重力、地球重力與離心力三者的作用正好達成力平衡，所以物體可以跟隨地球一起公轉，對於太陽和地球而言，也就能保持在固定不動的相對位置上，這五個點就相當於三體問題的五個特殊解。

為什麼韋伯望遠鏡要放在L2？

韋伯望遠鏡位於日地系統的L2，繞行太陽的軌道比地球更外圈。如果它只受太陽重力影響以橢圓軌道繞著太陽公轉，那麼依據克卜勒定律，它的公轉週期會比地球更長，而跟不上地球的腳步。不過，若是把這個問題視為三體運動（太陽＋地球＋韋伯）而非二體運動（太陽＋韋伯），結果就會有所不同。除了太陽以外，韋伯望遠鏡實際上還受到地球重力的吸引，這股力量會加速望遠鏡的公轉，讓它剛好可以跟上地球公轉的腳步。

讀者們還記得前面曾經提過，位在拉格朗日點的物體可以自動跟著日地系統同步移動嗎？這項物理特性使得拉格朗日點在太空科技上具有應用價值。

不過，太空望遠鏡其實也不一定都要放在拉格朗日點。例如哈伯太空望遠鏡（Hubble Space Telescope）就位於離地面約540公里的近地軌道，因此當初發現鏡面出現問題時，還能發射太空梭以協助維修。

那為什麼韋伯望遠鏡不放在近地軌道，而是大老遠地來到距離地球150萬公里的L2？科學家的用意是什麼？

韋伯望遠鏡之所以放在L2的關鍵原因，在於它的主要任務是「紅外光天文觀測」。我們周遭環境中充斥著無數能發出紅外光的物體⸺人體可以發出紅外光，地球更是個強烈的紅外光源。甚至就連望遠鏡本身如果溫度不夠低，也會發出夠強的紅外光波段熱輻射。因此紅外光天文望遠鏡必須冷卻到極低溫度才能運作，韋伯望遠鏡運作的溫度就大約是－225°C。

至於太陽和地球這兩個強烈的紅外光源，可能使韋伯望遠鏡溫度升高而影響觀測，也是必須隔絕的兩大干擾。因此韋伯望遠鏡利用一組稱為太陽盾（sunshield）的遮罩阻擋輻射，以達到冷卻效果（圖二）。

圖片來源：NASA GSFC/CIL/Adriana Manrique Gutierrez