關於〈從統計角度看廢死〉一文中統計學使用的謬誤

關於〈從統計角度看廢死〉一文中統計學使用的謬誤
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Photo Credit: AndreaLaurel CC BY SA 2.0

作者:廖冠焯(研究助理人員、生物統計兼任講師)

近日看到〈從統計角度看廢死:避免冤案和伸張正義本就無法兼顧〉一文,關於其中所提的統計角度,我有不同的看法。

作者利用丟硬幣模型來模擬司法判決不甚恰當,首先,作者將投擲硬幣所得到的結果=證據,根據實驗結果所做出的判斷=判決;在此忽略了三個重點:

1. 每次投擲硬幣的結果十分直觀,且標準一致,正面即正面,反面即反面,不管多少人來檢定這個結果都不會變動。但在司法判決中,證據並不一定帶有公正性及一致性,因此不能用科學實驗的結果來比擬證據。

2. 實驗結果的判讀需要訂定一致性的標準,操作者依據判定標準來取得結論(例如硬幣正反面出現機率是否等於50%);但在司法判決上,由證據到最後的判決這個過程中,經歷的是法官或陪審團們的心證,並不具有科學實驗中判定標準的一致性。因此在前兩點上作者並無考量到實驗方法中對一致性的要求,導致用這樣的統計模型來解釋較為生硬不通。

3. 丟硬幣模型在統計上的檢定時,需採二項機率分布加以計算後判別結果,但司法判決之有無罪,個人不認為可以簡單的用二項機率分布來解釋。也許作者希望採用簡單的例子來解說故採用此模型,但無考量到在背後支撐模型的機率理論不適用於司法判決,個人認為至少要用logistic回歸可能較貼切。

作者提到「當擲硬幣數次所得出的結果,正反面出現的比例相差夠大時,我們才有足夠的信心做出硬幣不公正的結論。」;在統計學觀點上,作者此段論述具有瑕疵,所謂的比例相差夠大,或是所謂的足夠的信心,來源皆來自於二項機率分布的計算所導出,否則我們怎麼知道比例要差到多大才是所謂的夠大呢?足夠的信心又是多少呢?作者在此犯了一個通病,就是知道如何運用相對應的統計方法,但卻疏於理解統計方法背後的機率分布與理論。

作者提到:「但在硬幣實驗中,就算公正的銅板理論上也有可能連續10次甚至100次擲出同一面,因此不管擲出的結果比例相差再多都無法百分百肯定硬幣不公正。審判也一樣,無論蒐集再多的證據,我們幾乎永遠無法肯定被告的確有犯案。」

但所謂公正的銅板是指丟擲無限多次後,正反面出現的比率皆等於50%,因此就算前100次皆出現同一面,但後100次呢?後1000次呢?再來我們簡單算一下,每丟擲一次正反面出現的機率各為50%,連續10次出現同一面的機率是50%的10次方,也就是約0.00098;而連續100次出現同一面的機率是50%的100次方,約是7.89×10-31;而台灣大樂透的中獎機率也不過才7.1×10-8,所以連續100次出現同一面的機率,遠比中大樂透的機率還要來的低非常非常多。

且若真是公正的銅板,在100次的投擲中依照機率分布,根本不可能出現連續100次同面的情況。所謂的理論上連續100次丟出同一面,是建基於丟無限多次的前提下,所以作者舉了個這麼極端的例子,要來解釋不論如何都會有冤案的存在,實在是牛頭不對馬嘴。

作者用統計學的型一錯誤及型二錯誤,來舉例認為司法判決中的錯罰(型一錯誤)及錯放(型二錯誤)的可能性無法同時降低,也是似是而非的論點。首先,在討論型一錯誤及型二錯誤的大小時,討論的前提是在對同一個虛無假設作判斷的情況下所產生,此時若是判斷的標準有所變動,則型一與型二誤差會有相對應的變動;但是在司法判決上,不同案件的判斷標準不同,例如詐欺案與強盜殺人案的判定標準,我相信絕對不同,因此統計學上的判定標準以及隨之而來的誤差產生,實不宜套用到司法判決的冤案上解釋。

作者最後提到:「於是從統計角度只能得出三個實然面的結論:1. 冤案必然存在,死刑存廢與冤死間確實有關;2. 想避免無辜者蒙不白之冤,與懲罰犯罪者以伸張正義,兩者無法同時兼顧;3. 對於正常程序下發生的冤案,我們通常一無所知。」

我只想說:1. 冤案必然存在,不需由統計角度就可以知道,因為在現實世界中沒有什麼是100%或0%的,僅是機率多寡而已。另外由作者的文章,我看不出作者在何處利用統計論證出死刑存廢與冤死間確實有關。

2. 想避免無辜者蒙不白之冤,與懲罰犯罪者以伸張正義,兩者無法同時兼顧;前面已經討論過,在這個命題利用統計學中的型一錯誤及型二錯誤來解釋,存在根本上的邏輯錯誤。

3. 對於正常程序下發生的冤案,我們通常一無所知;同樣的在作者原本的文章中完全看不出在此用統計學解釋了什麼。

僅以此文,指出些統計學上的使用謬誤。

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