關於〈從統計角度看廢死〉一文中統計學使用的謬誤

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作者：廖冠焯（研究助理人員、生物統計兼任講師）

近日看到〈從統計角度看廢死：避免冤案和伸張正義本就無法兼顧〉一文，關於其中所提的統計角度，我有不同的看法。

作者利用丟硬幣模型來模擬司法判決不甚恰當，首先，作者將投擲硬幣所得到的結果＝證據，根據實驗結果所做出的判斷＝判決；在此忽略了三個重點：

1. 每次投擲硬幣的結果十分直觀，且標準一致，正面即正面，反面即反面，不管多少人來檢定這個結果都不會變動。但在司法判決中，證據並不一定帶有公正性及一致性，因此不能用科學實驗的結果來比擬證據。

2. 實驗結果的判讀需要訂定一致性的標準，操作者依據判定標準來取得結論（例如硬幣正反面出現機率是否等於50%）；但在司法判決上，由證據到最後的判決這個過程中，經歷的是法官或陪審團們的心證，並不具有科學實驗中判定標準的一致性。因此在前兩點上作者並無考量到實驗方法中對一致性的要求，導致用這樣的統計模型來解釋較為生硬不通。

3. 丟硬幣模型在統計上的檢定時，需採二項機率分布加以計算後判別結果，但司法判決之有無罪，個人不認為可以簡單的用二項機率分布來解釋。也許作者希望採用簡單的例子來解說故採用此模型，但無考量到在背後支撐模型的機率理論不適用於司法判決，個人認為至少要用logistic回歸可能較貼切。

作者提到「當擲硬幣數次所得出的結果，正反面出現的比例相差夠大時，我們才有足夠的信心做出硬幣不公正的結論。」；在統計學觀點上，作者此段論述具有瑕疵，所謂的比例相差夠大，或是所謂的足夠的信心，來源皆來自於二項機率分布的計算所導出，否則我們怎麼知道比例要差到多大才是所謂的夠大呢？足夠的信心又是多少呢？作者在此犯了一個通病，就是知道如何運用相對應的統計方法，但卻疏於理解統計方法背後的機率分布與理論。

作者提到：「但在硬幣實驗中，就算公正的銅板理論上也有可能連續10次甚至100次擲出同一面，因此不管擲出的結果比例相差再多都無法百分百肯定硬幣不公正。審判也一樣，無論蒐集再多的證據，我們幾乎永遠無法肯定被告的確有犯案。」

但所謂公正的銅板是指丟擲無限多次後，正反面出現的比率皆等於50%，因此就算前100次皆出現同一面，但後100次呢？後1000次呢？再來我們簡單算一下，每丟擲一次正反面出現的機率各為50%，連續10次出現同一面的機率是50%的10次方，也就是約0.00098；而連續100次出現同一面的機率是50%的100次方，約是7.89×10^-31；而台灣大樂透的中獎機率也不過才7.1×10^-8，所以連續100次出現同一面的機率，遠比中大樂透的機率還要來的低非常非常多。

且若真是公正的銅板，在100次的投擲中依照機率分布，根本不可能出現連續100次同面的情況。所謂的理論上連續100次丟出同一面，是建基於丟無限多次的前提下，所以作者舉了個這麼極端的例子，要來解釋不論如何都會有冤案的存在，實在是牛頭不對馬嘴。

作者用統計學的型一錯誤及型二錯誤，來舉例認為司法判決中的錯罰（型一錯誤）及錯放（型二錯誤）的可能性無法同時降低，也是似是而非的論點。首先，在討論型一錯誤及型二錯誤的大小時，討論的前提是在對同一個虛無假設作判斷的情況下所產生，此時若是判斷的標準有所變動，則型一與型二誤差會有相對應的變動；但是在司法判決上，不同案件的判斷標準不同，例如詐欺案與強盜殺人案的判定標準，我相信絕對不同，因此統計學上的判定標準以及隨之而來的誤差產生，實不宜套用到司法判決的冤案上解釋。

作者最後提到：「於是從統計角度只能得出三個實然面的結論：1. 冤案必然存在，死刑存廢與冤死間確實有關；2. 想避免無辜者蒙不白之冤，與懲罰犯罪者以伸張正義，兩者無法同時兼顧；3. 對於正常程序下發生的冤案，我們通常一無所知。」

我只想說：1. 冤案必然存在，不需由統計角度就可以知道，因為在現實世界中沒有什麼是100%或0%的，僅是機率多寡而已。另外由作者的文章，我看不出作者在何處利用統計論證出死刑存廢與冤死間確實有關。

2. 想避免無辜者蒙不白之冤，與懲罰犯罪者以伸張正義，兩者無法同時兼顧；前面已經討論過，在這個命題利用統計學中的型一錯誤及型二錯誤來解釋，存在根本上的邏輯錯誤。

3. 對於正常程序下發生的冤案，我們通常一無所知；同樣的在作者原本的文章中完全看不出在此用統計學解釋了什麼。

僅以此文，指出些統計學上的使用謬誤。