網絡討論提供協助 數學家陶哲軒破解80年難題

網絡討論提供協助 數學家陶哲軒破解80年難題
Photo Credit: Terence Tao, CC BY-SA 2.0
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天才數學家陶哲軒最近宣佈,他破解了一道80年來未有人解決的難題。在他解決問題的過程中,網絡討論提供了不少協助。

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菲爾茲獎得主、加州大學洛杉磯分校教授陶哲軒最近宣佈,他破解了一道由匈牙利著名數學家保羅·艾狄胥(Erdős Pál)於1932年提出的難題。雖然證明內容涉及不少高深的數學理論,但問題本身可以用以下這個遊戲去理解。

惡魔的遊戲

設想一下,某天你被惡魔捉走,困在一間房中,左右各有一道門。惡魔告於你,左右兩邊的門均連接下一間房,然後又有另一間……如此類推。但房間的數目有限——可能是10間,可能是100萬間——只要你能夠走到盡頭,不論是哪一邊,都會找到出口離開。

也許你會想︰「這還不容易,只要選好一邊不斷開門便是了。」可是,惡魔那有這麼容易放走你?當然還有更多附帶條件︰

  1. 每一道門都上了鎖,要用惡魔的匙卡才可以打開;
  2. 惡魔會給你一張特製匙卡,每次只能夠打開一邊的門;
  3. 所有房間都有感應器,打開了門便必須進去,然後門會再度鎖上。

不難看出,惡魔只需要把匙卡設定成「左、右、左、右……」梅花間竹地開門,便能夠把你永遠困在兩個房間之中了。為了令事情更好玩,惡魔再增加兩項條件︰

  1. 你能夠預先查看特製匙卡每次能打開哪一邊門,比方說,你可以預先查看第137次使用時,能夠打開左邊還是右邊的門;
  2. 你有一次機會向惡魔提出修改匙卡,但只有一種修改方式︰給惡魔一個數字,例如6,以後每次開門時,匙卡就會以為你開了6次門。

換言之,假如惡魔把匙卡設定成,不斷重覆的「左、右、左、右……」,你可以向惡魔要求修改成每次開門時,匙卡都以為開了兩次門,那麼匙卡的設定就會變成「左、左、左、左……」,於是你可以不斷向左邊行走,找到出口離開。

那麼,你有信心逃脫嗎?

陶哲軒的證明告訴我們,假如你不幸被這個惡魔捉走,不論出口相距起點多遠,惡魔的特製匙卡如何設定,你都能夠逃脫。

網絡合作協助證明

這問題被數學界稱為「艾狄胥差異問題」(Erdős Discrepancy Problem),已經存在超過80年,一直懸而未決。

2010年,另一位菲爾茲獎得主高華斯(Timothy Gowers)透過其創立的「博學者計劃」(Polymath Project),召集了不少數學家於網上討論,試圖攻克這個難題。陶哲軒當時也有參與討論,並提出一些新見解,但集眾人之力仍未能把問題解決。

Photo Credit: John D. and Catherine T. MacArthur Foundation, CC BY 4.0

直到今年初,兩名數學家解決Kaisa Matomäki及Maksym Radziwiłł在另一個數論問題提出新見解,陶哲軒開始跟他們合作研究兩人所創的新方法。

今年9月,陶哲軒在其博客上宣佈,他利用上述方法解決了一個數學問題,並給出細節。幾天後,另一位數學家Uwe Stroinski留言指出,他解決問題的方法也許適用於艾狄胥的問題上。

陶哲軒當時表示,兩個問題僅在表面上相似,並解釋了為何他認為兩者有實質分別。但在深入細想後,他發現新方法能夠解決艾狄胥的問題。某個下午,正當他在等候兒子的鋼琴課完結時,想到了解決方法。兩個星期內,陶哲軒便把證明寫好,放在論文預印本存庫arXiv上,有待審批。

他把論文投稿至高華斯最近創立的開放式期刊《Discrete Analysis》上,該期刊的最大特點是,期刊論文都放到arXiv上,以降低出版費用。陶哲軒認為,這份期刊是個大有可為的實驗,能夠推廣完全開放式的論文出版。

高華斯認為,雖然當年的博學者計劃未能直接解決問題,但能夠加深參與者——包括他和陶哲軒——對問題的理解,有助日後攻克難題。他相信這也是博學者計劃的成果,並希望未來有更多人開展其他計劃,解決更多難題。

艾狄胥的獎金

陶哲軒曾於10歲時,在一個數學會議上遇到艾狄胥,當時艾狄胥向他講述數學問題,後來也為他寫推薦信到普林斯頓大學。

艾狄胥是上世紀其中一位最奇特的數學家,一生發表了超過1500篇論文。他相信數學家應該互相合作解決難題,身體力行跟超過5百位數學家合作。高華斯、陶哲軒等數學家的協作模式,可算是繼承了艾狄胥的信念。

當艾狄胥提出問題時,往往會給予獎金金額,而首個解決問的人能夠獲得獎金,差異問題的獎金是500美元。在他死後,其他人負責為艾狄胥的問題付獎金。

被問到如果有人頒發獎金時會否領取獎金,陶哲軒回應道︰「艾狄胥在生時,大家都習慣不去把他的支票兌現,而是放好在相框中。」

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