數學家聚首牛津 嘗試破解望月新一的神秘數學證明

數學家聚首牛津 嘗試破解望月新一的神秘數學證明
Derived Image. Original Image Credit: Kanijoman
我們想讓你知道的是

一批數學家在牛津舉行工作坊,討論、交流對一套複雜數學理論的見解。這套由數學家望月新一所創的理論,據稱能夠證明一個重要猜想,然而數學界目前仍未能透徹了解此理論及驗證其真偽。

唸給你聽
powered by Cyberon

2012年8月,數學家望月新一(Shinichi Mochizuki)在其網站上貼了4篇論文,宣稱證明了「abc猜想」——一個名不副實地困難的數學問題。3年過後,數學界仍然未能確定他的證明是否正確。

然而這又並不像騙局或惡作劇。現年46歲的望月新一,是京都大學數學科學研究所教授。他1988年以16歲之齡於普林斯頓大學數學系畢業,同年進入該校研究院,7年後取得博士學位。1996年,望月新一成為京都大學數學科學研究所副教授,兩年後證明了非阿貝爾幾何格羅森迪克猜想。其後他一直有重要的數學貢獻,2002年正式晉升為京都大學教授。

受到關注的4篇論文長達512頁,但真正令數學家束手無策的並非證明長度,而在於他使用了大量自創的新概念和技巧,去介紹其「跨宇宙塔赫梅拿理論(Inter-universal Teichmüller theory,簡稱IUT)」。而據望月新一所言,這套理論跟他過去創立的幾套數學理論有關連。

即使習慣研究抽象理論的數學家,也需要花上大量時間和精神去掌握IUT。目前已有一些數學家嘗試了解及檢證這套理論,並提出了數以百計的問題和評論。

突破與沮喪

兩個星期前,一批算術幾何(arithmetic geometry)——望月新一的專業領域——的專家,便聚集在牛津大學的工作坊,希望能夠更深入理解這套理論。工作坊的網頁表示,其目的是「介紹及分析望月新一理論中的關鍵原則、概念、物件和證明,以及研究此理論與現時不同領域中之理論的關係,協助增加此理論的專家人數,並促進更多應用」。

在工作坊的第3天,來自加州大學聖地牙哥分校的Kiran Kedlaya教授指出,2008年望月新一的一篇論文中把abc猜想跟其Frobenioid理論連結起來。在座的數學家立即辨認出,這是望月新一整個證明策略的重要一步。(20151222更新︰原文按《自然》的報導寫成「把abc猜想跟拓撲學連結起來」,但按該報導註腳的文章以及Conrad的筆記,應是跟望月新一的Frobenioid理論有關。)

史丹福大學的數論專家Brian Conrad表示,這是研究人員一直等待的突破時刻,但其後未能更進一步。在工作坊餘下的兩天,很多聽眾都如墜五里霧中,對講課內容感到不明所以。Conrad認為主要原因是,這些講課的內容需要聽眾本來就明白課題,才可以跟得上,否則需要在短時間內掌握大量術語、定義。

Photo Credit: Peter M. Fisher / Corbis / 達志影像

此外,聽眾一直希望有些具體的例子可以說明相關概念,而講者卻沒有提供,使聽眾更難明白。因此講課多次被聽眾的問題打斷,使進度落後。而後來者為趕上進度,又加快講課內容,使更多聽眾跟不上,於是提問更多問題。Conrad認為,假如最後兩天的計劃,並非要完全講述完IUT,而是先把當中某些重要概念解釋清楚的話,對讀者而言將更有啟發性。

他認為這個問題的其中一個原因,是明白IUT的學者不夠努力去把這套理論講解清楚。如果學界打算了解IUT,目前最重要的事,這些學者需要找方法更同行溝通,讓其他數學家有個大概印象及明白IUT的要點,再去花時間了解技術細節。

理論有待簡化

而另一個問題是,望月新一在想出IUT這套理論時,加了太多後來沒有用到的東西進去。如果要讓更多人了解、檢驗abc猜想的證明,學界必須想辦法把這套理論變得更精簡。Kedlaya也認為,他當日的發現仍需要很多人跟進研究,他表示︰「關於事情最終會如何拼合,目前我們未有清楚答案」。但至少他現在有更大動力去研究望月新一的證明,並希望在這過程中能將之簡化。

來自牛津大學的會議主辦者金明迥(Minhyong Kim)則認為,大部份參加者在工作坊之前,都對望月新一的證明感到迷惑。然而現在起碼有一些人猜到其整體策略,亦能夠把引起混淆的範圍收窄。

下一次的工作坊將會在來年7月舉行,地點正是京都大學數學科學研究所。向來不喜歡出國的望月新一,或會出席是次工作坊,向學界講解其理論。Kedlaya也打算出席,他認為望月新一的宣稱如果屬實,將會是極其重要的發現,即使可能要花數年時間去確認,對數學界而言仍然值得。