笛卡爾與三葉蟲

笛卡爾與三葉蟲
Remixed Image. Background: Heinrich Harder, Public Domain; Figure Illustration: from Le Plutarque Francais by Edmond Mennechet; Credit: Stefano Bianchetti / Corbis / 達志影像

我們想讓你知道的是

法國哲學家笛卡爾在1637年發表了《幾何學》,這本書中的一張插圖有錯,一直要等到近4個世紀後的公元2012年才被發現。奇怪的是發現這個錯誤的人,不是數學家,不是歷史學家,而是研究三葉蟲的古生物學家。

法國哲學家笛卡爾(René Descartes)在1637年發表了《幾何學》(La Géometrie)。這篇長文是《方法論》的一部份,它首創分析幾何學,是西方文明最重要的著作之一。不過這本書中的一張插圖有錯,一直要等到近4個世紀後的公元2012年才被發現。奇怪的是發現這個錯誤的人,不是數學家,不是歷史學家,而是研究三葉蟲的古生物學家。為什麼古生物學家會鑽研笛卡爾?笛卡爾跟三葉蟲到底有什麼關係?

這張有錯誤的圖出現在《幾何學》的第二冊。笛卡爾在這裡解釋如何繪製一種我們今日稱為「笛卡爾橢圓」(Cartesian ovals)的平面曲線。為什麼笛卡爾要大費周章的研究這種曲線?這個問題不是很容易解答,連笛卡爾自己都沒有在書裡解釋清楚,我們要稍微瞭解一下笛卡爾的學術生涯才行。

不僅是「我思故我在」的笛卡爾

笛卡爾在1637年發表了《方法論》(Discours de la méthode)。他在這本書裡討論如何用理性思維精確地獲得知識。眾所皆知的「我思故我在」,就首次出現於《方法論》的第四講。有些介紹笛卡爾的文章太過於強調《方法論》裡抽象的哲學思維,讓讀者以為笛卡爾用《方法論》當工具,得到最重要的成果,是證明了上帝與自我的存在。

其實《方法論》只是導論,笛卡爾在《方法論》後附上三篇長文,用來展示這種思考方式得到的成果。這三篇長文分別是:《氣象學》(Les Météores)、《折光學》(La Dioptrique)、與《幾何學》(La Géométrie),這說明了笛卡爾相信他的方法學,主要的應用是在於自然科學與數學。

La Dioptrique

笛卡爾的思考是非常深刻而且多樣化的,這三篇長文討論三個看似獨立的主題,其實有許多共同的脈絡。以《折光學》為例,笛卡爾在《折光學》的第二講裡推導出了光波折射,入射角與折射角之間的數學關係1。這是一個了不起的成就,因為它是解釋許多自然現象的關鍵,例如《氣象學》就利用這個公式解釋彩虹的形狀。

在《折光學》裡,笛卡爾把折射定律運用在人體最重要的光學器官 — 眼睛。他解釋了影像是如何投射在視網膜上,推測近視與遠視的成因,並且討論如何用透鏡彌補眼睛構造天生的不足。為了看到肉眼不能看到的東西,笛卡爾分析了放大鏡、望遠鏡、顯微鏡的原理。《折光學》展現出務實的笛卡爾,他追隨法蘭西斯·培根(Francis Bacon)等人的論點,致力於發展一種為人類需求服務的知識。

創業者笛卡爾

講起務實,笛卡爾可能比大部分人的想像還要務實的多。《折光學》最後一講描述一種機器,在理論上可以自動磨出前所未有的高品質鏡片。事實上在《折光學》發表之前,笛卡爾就已經花了超過10年的時間研發這種機器。在1620年代,笛卡爾還住在法國的時候,他就跟工匠合作試圖磨出特殊設計的鏡片。體弱多病,一天到晚躲在房間裡的笛卡爾,甚至在工廠裡親自監工。1629年笛卡爾移居荷蘭,不過還是不忘從遠方監督法國工廠的進度。

笛卡爾構想的機器

笛卡爾構想的機器

用我們今天的話講,笛卡爾是17世紀的新創公司創業者。當時的產業界跟今日沒有很大的差別,也是有許多競爭者,有非常高的風險。笛卡爾花了大筆投資人的錢,雖然製造出了一些產品的原型,不過品質達不到期望的標準,最後放棄。在《折光學》的最後一章,笛卡爾乾脆把他的商業機密用開源(open source)的形式提供給歐洲學界,希望有別人能夠完成他的夢想。

透鏡在從中古時代被就用來矯正視力2,所以磨透鏡在笛卡爾的時代並不是什麼新鮮事。不過17世紀初,透鏡突然變成了不折不扣的高科技,這是因為伽利略這些科學家開始發展出高倍數望遠鏡。這些新的儀器除了有天文學的應用外,還有軍事價值,立刻就受到各界的注意。當時的笛卡爾掌握了這方面的關鍵技術:他推導出來的折射定律,讓他成為最早能用分析性思維,探討透鏡跟視覺關係的人。這跟當時磨鏡片的工匠,用經驗法則行事,有很大的不同。

此外,笛卡爾發明了分析幾何學。他把幾何與代數這兩個原來不相關的學問結合起來,發現許多困難的幾何問題,都能迎刃而解。這些發現最後發表在《幾何學》裡。《幾何學》是數學史上最重要的著作之一,它的主要內容看似非常理論化,是要解決古希臘數學的幾何曲線分類的問題,不過笛卡爾沒有忽略分析幾何在解決實際問題上的威力。《幾何學》第二冊裡有相當的篇幅討論各種橢圓形的畫法,其實那些都是光線在不同介質裡折射問題的解。《幾何學》的這個部分,是在發展設計透鏡的數學工具。

《折光學》與非球面鏡片

17世紀使用的光學鏡片,跟我們熟悉的放大鏡類似,都是球面鏡片。也就是說這些鏡片雖然不是球體,不過它們的兩個曲面,都是球面的一小部分。球面鏡片容易磨製,而且希臘人認為球體是完美的形狀,不難理解為什麼用在鏡片上。笛卡爾用他自己發明的數學工具分析成像,發現球面鏡片有重大的缺點,那就是遠方傳來的平行光,在球面鏡片的彎折後,不會聚焦在同一點上,因此造成模糊的影像。這個現象我們今日稱為「球面像差」(spherical aberration)。笛卡爾推導出非球面鏡片的公式,用來解決球面像差的問題。


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